通用的解題思路：
特殊三角形的討論問題，常見于中考試卷的壓軸題中，其融合了特殊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角比的應(yīng)用等數(shù)學(xué)核心知識，考查了學(xué)生的分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等數(shù)學(xué)思想。雖部分特殊三角形的存在性問題有一定“套路”可循，但大多題目試題命題靈活，并無單一模式，對學(xué)生提出了相當(dāng)大的挑戰(zhàn)。然而萬變不離其宗，從特殊三角形本身的性質(zhì)入手，結(jié)合邊、
角的相互轉(zhuǎn)化，就能撥開迷霧、追尋真跡。
一：等腰三角形的存在性
根據(jù)等腰三角形的定義，若為等腰三角形，則有三種可能情況：（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．但根據(jù)實(shí)際圖形的差異，其中某些情況會不存在，所以等腰三角形的存在性問題，往往有2個(gè)甚至更多的解，在解題時(shí)需要尤其注意．
解題思路：
（1）利用幾何或代數(shù)的手段，表示出三角形的三邊對應(yīng)的函數(shù)式；
（2）根據(jù)條件分情況進(jìn)行討論，排除不可能的情況，將可能情況列出方程（多為分式或根式方程）
（3）解出方程，并代回原題中進(jìn)行檢驗(yàn)，舍去增根．
二：直角三角形的存在性
在考慮△ABC是否為直角三角形時(shí)，很顯然需要討論三種情況：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多數(shù)問題中，其中某兩種情況會較為簡單，剩下一種則是考察重點(diǎn)，需要用到勾股定理。
解題思路：
（1）按三個(gè)角分別可能是直角的情況進(jìn)行討論；
（2）計(jì)算出相應(yīng)的邊長等信息；
（3）根據(jù)邊長與已知點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
三：等腰直角三角形的存在性
既要結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，又要結(jié)合直角三角形的性質(zhì)。需要分類討論哪個(gè)角是直角。
四：相似三角形的存在性
相似三角形存在性問題，分類討論步驟：
第一步：找到題目中已知三角形和待求三角形中相等的角；
要先確定已知三角形是否有直角，或確定銳角（借助三角函數(shù)值-初中階段衡量角度問題的計(jì)算手段，二次函數(shù)角的存在性壓軸專題應(yīng)用更為突出）
①若有已知的相等角，則其頂點(diǎn)對應(yīng)；
②若沒有相等的角，則讓不確定的三角形的角和已知三角形的特殊角相等。
第二步：確定相似后，根據(jù)對應(yīng)邊成比例求解動點(diǎn)坐標(biāo)：
①若已知三角形各邊已知，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大?。?br>②若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后用相似來列方程求解。
題型一：等腰三角形的存在性
1．（2024?運(yùn)城模擬）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，是第一象限拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接，，，．
（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)四邊形的面積有最大值時(shí)，求出的值．
（3）在（2）的條件下，在軸上是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）解方程得到或，求得，，；設(shè)直線的解析式為，把（2），代入即可得到直線的解析式為；
（2）如圖，過作軸的垂線交于，設(shè)，則，根據(jù)三角形的面積公式得到四邊形的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，求得，當(dāng)，得到，或，；當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在的垂直平分線上，作的垂直平分線交軸于，交于，則，過作于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，．
【解答】解：（1）令，得，
解得或，
，，
令，得，
；
設(shè)直線的解析式為，
把（2），代入得，
解得，
直線的解析式為；
（2）如圖，過作軸的垂線交于，
設(shè)，則，
四邊形的面積，
，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，
當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，的值為2；
（3），
，
，
設(shè)，
，
當(dāng)，
，
解得或，
，或，；
當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在的垂直平分線上，
作的垂直平分線交軸于，交于，則，
過作于，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
綜上所述，，或，或，．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2024?青島一模）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，連接、．
（1）請直接寫出二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）判斷的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）若點(diǎn)在軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）由拋物線表達(dá)式為，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而求得，，，所以，即可得為直角三角形；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)三角形相似對應(yīng)邊成比例求得，構(gòu)建二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可；
（4）分別以、兩點(diǎn)為圓心，長為半徑畫弧，與軸交于三個(gè)點(diǎn)，由的垂直平分線與軸交于一個(gè)點(diǎn)，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
解得．
拋物線表達(dá)式為：；
（2）為直角三角形，
理由如下：
由拋物線表達(dá)式為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，，
，
，
為直角三角形；
（3）為直角三角形，．
．
，
．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
，
，
，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，面積最大是5，
點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)面積最大時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為；
（4）由（3）知，，
①以為圓心，以長為半徑作圓，交軸于，此時(shí)的坐標(biāo)為，
②以為圓心，以長為半徑作圓，交軸于，此時(shí)的坐標(biāo)為，或，，
③作的垂直平分線交于，交軸于，
，
，即，
，
此時(shí)的坐標(biāo)為，
綜上，若點(diǎn)在軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或，或或，．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)以及函數(shù)的最值等是解題的關(guān)鍵．
3．（2024?遼寧一模）如圖1，正方形的頂點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，頂點(diǎn)，在第一象限．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿正方形按方向運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為，的面積（平方單位）．
（1）正方形的邊長為 10 ；
（2）當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，已知隨著點(diǎn)在上運(yùn)動時(shí)，的面積與時(shí)間之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖2所示），
求：①點(diǎn)，兩點(diǎn)的運(yùn)動速度為 ；
②關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為 ；
（3）當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)的面積是關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，其中與部分對應(yīng)取值如下表：
求：的值及關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（4）在（2）的條件下若存在2個(gè)時(shí)刻，對應(yīng)的的形狀是以為腰的等腰三角形，點(diǎn)沿正方形按方向運(yùn)動時(shí)直接寫出當(dāng)時(shí)，的面積的值．
【分析】（1）由，的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可得出答案；
（2）①由圖2可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)，即點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)用了，結(jié)合進(jìn)行計(jì)算即可；②由題意得，，，則，計(jì)算出，則，再由計(jì)算即可；
（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（4）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1），的坐標(biāo)分別為，，
，
正方形的邊長為10，
故答案為：10；
（2）①由圖2可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)，
點(diǎn)從點(diǎn)移動到點(diǎn)用了，
由（1）得：，
，
、兩點(diǎn)的速度為1單位秒，
故答案為：1單位秒；
②如圖1，
，
由題意得：，，，
，
，
，
，
即；
（3）由題意可得：
由題意可得：時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)處，，
，
過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，如圖2，
，
則，
，
，四邊形為矩形，
四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，的坐標(biāo)分別為，，
，，，
，，，
，，
點(diǎn)坐標(biāo)，
，
設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，
，
由②①，③②得：，
解得：，
；
（4）解：由題意得：，，，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，作于，如圖3，
，
則，四邊形是矩形，
，
，
解得：；
當(dāng)時(shí)，，
，
解得：，
綜上可得：，，
，
，
當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、等腰三角形的定義及性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
4．（2024?康縣一模）如圖，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)為軸上一動點(diǎn)，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）把拋物線沿它的對稱軸向下平移個(gè)單位長度，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點(diǎn)，求的最大值．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出答案；
（2）設(shè)，根據(jù)是以為底邊的等腰三角形可得，然后利用兩點(diǎn)距離公式構(gòu)建關(guān)于的方程，然后求解即可；
（3）先求直線解析式，然后設(shè)平移后的拋物線解析式為，聯(lián)立方程組，化簡得，根據(jù)拋物線與直線始終有交點(diǎn)得出△即可求解．
【解答】解：（1）拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，
，
解得，
，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（2）設(shè)，
是以為底邊的等腰三角形，
，即，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
（3）設(shè)平移后的函數(shù)解析式為，
設(shè)直線解析式為，
把，代入，得：
，
解得，
，
聯(lián)立得：，
整理：，
拋物線與直線始終有交點(diǎn)，
△，
，
的最大值為．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題等知識，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．
5．（2024?澄海區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)、在軸正半軸上，點(diǎn)、在軸正半軸上，且，，，過、、三點(diǎn)的拋物線上有一點(diǎn)，使得．
（1）求過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)，，代入函數(shù)解析式，求出，，的值即可；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)，證明，得，代入相關(guān)數(shù)據(jù)得，求出的值，再進(jìn)行判斷即可；
（3）由得對稱軸為直線，設(shè)，分，，三種情況討論求解即可．
【解答】解：（1），，
，，，
、、三點(diǎn)在拋物線上，
，
解得，
拋物線的解析式為：；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖1，
，
，
，
，
，
又，
，
，
設(shè)，
，，
，，
，
解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，是增根，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）由知，拋物線的對稱軸為直線，如圖2，
設(shè)點(diǎn)，
，，
，，，
是等腰三角形，
分三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，即，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，即，
，
解得或
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
③當(dāng)時(shí)，即，
，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或
點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，，三點(diǎn)共線，不能組成三角形，故舍去，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)評】本題主要考查運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合等知識以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2024?仁和區(qū)一模）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對稱軸為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，連接．當(dāng)線段長度最大時(shí)，判斷四邊形的形狀并說明理由；
（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且．在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，進(jìn)而求解；
（3）當(dāng)，則，則直線和直線關(guān)于直線對稱，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，再分、、三種情況，分別求解即可．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得，
故拋物線的表達(dá)式為①；
（2）四邊形為平行四邊形；理由如下：
對于，令，
解得或4，令，則，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式為，則，
解得，
故直線的表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
，
故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為，
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
，，
故四邊形為平行四邊形；
（3）在軸上存在點(diǎn)，使得為等腰三角形；理由如下：
是的中點(diǎn)，則點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)，同理可得，直線的表達(dá)式為，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則，故，
而．
，
則直線和直線關(guān)于直線對稱，如圖2，
故設(shè)直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得，
故直線的表達(dá)式為②，
聯(lián)立①②并解得（不合題意的值已舍去），
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得：，
同理可得，當(dāng)時(shí)，即，
解得；
當(dāng)時(shí)，即，方程無解；
當(dāng)時(shí)，即，
解得；
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)，解答本題的關(guān)鍵要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．
7．（2024?即墨區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，在軸上有一點(diǎn)，連接．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)，使為以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）先求出直線解析式為，設(shè)則，根據(jù)轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式即可得到，．
（3）分兩種情況進(jìn)行討論①為等腰三角形，且以為底邊，②為等腰三角形，且以為底邊，得到點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，
，解得，
二次函數(shù)解析式為：，
（2）設(shè)直線的解析式為：，則，解得，
直線的解析式為：，
如圖1，作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
設(shè)，則，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，的面積最大，
，．
（3）拋物線解析式為，
拋物線對稱軸為直線，
設(shè)，
①為等腰三角形，且以為底邊，
，
，
解得，，
或．
②為等腰三角形，且以為底邊，
，
，
，
解得，，
或．
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
8 ．（2023?青海）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為，對稱軸與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積（請?jiān)趫D1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得是以為底邊的等腰三角形？若存在，請求出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D2中探索）．
【分析】（1）將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，進(jìn)一步得出結(jié)果；
（2）連接，將二次函數(shù)的解析式配方求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)，令求得的坐標(biāo)，從而求得，，的長，再根據(jù)求得結(jié)果；
（3）設(shè)，表示出和，根據(jù)列出方程求得的值，進(jìn)而求得結(jié)果．
【解答】解：（1）由題意得，
，
，
；
（2）如圖，
連接，
，
，
，，
由得，
，，
，
；
（3）設(shè)，
由得，
，
，
．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識．
9．（2024?浦東新區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)．
（1）求、的值；
（2）如果點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，射線平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）將拋物線平移，使得新拋物線的頂點(diǎn)在射線上，拋物線與軸交于點(diǎn)，如果是等腰三角形，求拋物線的表達(dá)式．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明△為等腰直角三角形，則點(diǎn)在上，點(diǎn)代入上式得：，即可求解；
（3）當(dāng)時(shí)，列出等式，即可求解；當(dāng)或時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，
則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，
則，解得：，
即，；
（2）由（1）知，拋物線的表達(dá)式為，則其對稱軸為直線，
作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，
平分，
則，
過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，連接，
，
則，則為等腰直角三角形，
同理可得：△為等腰直角三角形，
則△為等腰直角三角形，則點(diǎn)在上，
設(shè)點(diǎn)，，則，
則點(diǎn)，，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)，
將點(diǎn)代入上式得：，
解得：，
則點(diǎn)，；
（3）設(shè)點(diǎn)，
則拋物線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
即點(diǎn)，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，，
當(dāng)時(shí)，
則，
解得：（舍去）或，
則拋物線的表達(dá)式為：；
當(dāng)或時(shí)，
則或，
解得：（不合題意的值已舍去），
即拋物線的表達(dá)式為：，
綜上，拋物線的表達(dá)式為：或．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到點(diǎn)的對稱性、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等，分類求解是解題的關(guān)鍵．
10．（2024?金州區(qū)一模）【概念感知】
兩個(gè)二次函數(shù)只有一次項(xiàng)系數(shù)不同，就稱這兩個(gè)函數(shù)為“異族二次函數(shù)”．
【概念理解】
如圖1，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，二次函數(shù)與是“異族二次函數(shù)”，其圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
【拓展應(yīng)用】
（2）如圖2，直線，交拋物線于，，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求直線的解析式；
（3）如圖3，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，，連接，，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求得，，再求得的中點(diǎn)，將代入，即可求得答案；
（2）方法一：根據(jù)題意可得拋物線可以由拋物線向右移動1個(gè)單位，再向上移動1個(gè)單位得到，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得，，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；方法二：設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得點(diǎn)，代入，即可求得、的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（3）設(shè)，則，，利用兩點(diǎn)間距離公式得出，，，分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）在中，令，得：，
，
令，得，
解得：，，
，，
的中點(diǎn)的坐標(biāo)是，
二次函數(shù)與是“異族二次函數(shù)”，
，，
將代入，得：，
解得：，
二次函數(shù)的解析式為；
（2）方法一：
拋物線，
拋物線，
拋物線的頂點(diǎn)為，，拋物線的頂點(diǎn)為，，
拋物線與拋物線的值相同，
拋物線可以由拋物線向右移動1個(gè)單位，再向上移動1個(gè)單位得到，
四邊形為平行四邊形，，，
，，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得：，
解得：，
直線的解析式為：；
方法二：
設(shè)點(diǎn)，
四邊形為平行四邊形，
，，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)代入，
得：，
解得：，
，，
同理可得：直線的解析式為：；
（3）設(shè)，則，，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）或，
；
當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）或，
；
當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）或，
；
綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等，理解并應(yīng)用新定義“異族二次函數(shù)”是解題關(guān)鍵．
11．（2024?濟(jì)南一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，判斷點(diǎn)是否落在拋物線上，并說明理由；
（3）求的最大值；
（4）如果是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．
【分析】（1）兩點(diǎn)式設(shè)出解析式，將點(diǎn)代入求出解析式即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出的坐標(biāo)，進(jìn)行判斷即可；
（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；
（4）分，，，三種情況進(jìn)行討論求解即可．
【解答】解：（1）拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，
把，代入，得：，
，
；
（2）不在拋物線上；理由如下：
過點(diǎn)作軸，，
旋轉(zhuǎn)，
，，
，
△，
，，
，，
，，
，
，
，當(dāng)時(shí)，，
不在拋物線上；
（3），，
設(shè)直線，將代入，得：，
；
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．
，．，．
．
當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為．
（4），，，
，，，
當(dāng)是等腰三角形時(shí)，分三種情況，
①時(shí)，則：，
解得：（舍，（舍，；
②時(shí)，則：，
解得：（舍，；
③時(shí)，則：，
解得：（舍，（舍，；
綜上：，，．
【點(diǎn)評】本題考查待定系數(shù)法求解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的定義，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．本題的綜合性強(qiáng)，屬于常見的中考壓軸題．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想求解，是解題的關(guān)鍵．
12．（2024?微山縣一模）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為的拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，是直線上方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接交拋物線的對稱軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接．在點(diǎn)運(yùn)動過程中，是否存在使為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）作點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸得對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)的周長最小，即可求解；
（3）當(dāng)時(shí)，列出等式即可求解；當(dāng)或時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）由題意得：，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）如下圖，作點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸得對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)的周長最小，
理由：為最小，
由點(diǎn)的對稱性知，點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：；
（3）存在，理由：
由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，同理可得：，
當(dāng)時(shí)，
則，
解得：（舍去）或2，
即點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，
同理可得：或，
解得：（舍去）或或2.5；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或或．
【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
13．（2024?庫爾勒市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，并與軸交于另一點(diǎn)．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
①若點(diǎn)在第一象限內(nèi)，試問：線段的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)的值；若不存在，請說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到某一位置時(shí)，能構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及等腰的面積．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）令，解得：（舍去）或1，即可求解；
（3）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為，構(gòu)建二次函數(shù)，然后由二次函數(shù)的最值問題，求得答案；
②求出的垂直平分線的解析式，用方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可解決問題．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）令，
解得：（舍去）或1，
即點(diǎn)；
（3）①存在，理由：
如圖2中，
點(diǎn)在拋物線上，
且軸，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在第一象限，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
線段的長度的最大值為；
②解：如圖3中，
由題意知，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，
又由①知，，
的中垂線同時(shí)也是的平分線，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在拋物線上，于是有，
，
解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，，
若點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，此時(shí)點(diǎn)在第一象限，
在和中，，
，
，
；
若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，此時(shí)點(diǎn)在第三象限，
同理可得：．
綜上所述的面積為：或．
【點(diǎn)評】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段垂直平分線的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱解決最小值問題，學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考壓軸題．
14．（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．
（1）求該拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移5個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）分、兩種情況，列出等式，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）令，則或3，則點(diǎn)，
由點(diǎn)、知，直線的表達(dá)式為：，
過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，則，
則，則，
則，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
即的最大值為：，此時(shí)點(diǎn)；
（3）平移后的拋物線的表達(dá)式為：，
則點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，
則，，，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
當(dāng)時(shí)，則，
解得：或，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或，或，．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．
15．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．試探究：是否存在常數(shù)，使得始終成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)，則，，，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，或，；
（3）設(shè)，，聯(lián)立方程整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，直線的解析式為，直線的解析式為，求出，，，，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則，再由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系整理得方程，解得或．
【解答】解：（1）將、代入，
，
解得，
；
（2）設(shè)，
，，
，，，
當(dāng)時(shí)，，
，
或，
；
當(dāng)時(shí)，，
解得或，
，或，；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或，或，；
（3）存在常數(shù)，使得始終成立，理由如下：
設(shè)，，
聯(lián)立方程，
整理得，
，，
直線的解析式為，直線的解析式為，
，，，，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型二：直角三角形的存在性
16．（2024?安慶一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與此拋物線交于點(diǎn)．
①若點(diǎn)在第一象限，連接、，求面積的最大值；
②此拋物線對稱軸與直線交于點(diǎn)，連接，若為直角三角形，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）①由的面積，即可求解；
②根據(jù)題意可分和兩種情況，當(dāng)時(shí)，可知軸，則可求得點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，可求得直線解析式，聯(lián)立直線和拋物線解析式可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，
則，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）①由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則的面積，
則面積的最大值為；
②由題意知軸，則，
為直角三角形，分和兩種情況，
當(dāng)時(shí)，即軸，則、的縱坐標(biāo)相同，
點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
點(diǎn)在拋物線上，
，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)在直線上，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)坐標(biāo)為，或，；
當(dāng)時(shí)，
，，
直線解析式為，
直線解析式為，
，
直線與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，
聯(lián)立直線與拋物線解析式有，解得或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)坐標(biāo)為或，
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，或，或或．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法、直角三角形的判定及性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識點(diǎn)，分類求解是解題的關(guān)鍵．
17．（2024?任城區(qū)一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，在對稱軸上是否存在點(diǎn)，使是以為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，點(diǎn)在直線下方的拋物線上，連接交于點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）將點(diǎn)、、代入，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，證明，得到，即可求解；當(dāng)時(shí)，同理可解；
（3）證明，即可求解．
【解答】（1）將點(diǎn)、、代入，
得，解得：，
；
（2）存在，理由：
過點(diǎn)作軸的垂線，在上存在點(diǎn)，使是直角三角形若存在；理由如下：
，點(diǎn)在上，
如圖2，當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)，
，，
，
，
，即，
，
；
如圖3，當(dāng)時(shí)，
過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，，
，
，
，即，
，
；
綜上所述：是直角三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或；
（3）如圖1，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，過作軸交直線于點(diǎn)，
，
，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
設(shè)，則，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)，．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，通過構(gòu)造平行線將的最大值問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題是解題的關(guān)鍵．
18．（2024?涼州區(qū)一模）拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是線段下方拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交于，交軸于．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，．
①求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得；
（2）①求出，設(shè)，可得，，由，知，解得；
②設(shè)，可得，，，分三種情況：當(dāng)為斜邊時(shí)，，當(dāng)為斜邊時(shí)，，當(dāng)為斜邊時(shí)，，分別解方程可得答案．
【解答】解：（1）把和代入得：
，
解得，
；
（2）①如圖：
在中，令得，
，
設(shè)，則，，
，
，，
，
，
解得，
；
②如圖：
由①得：，，
設(shè)，
，，，
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
，
化簡得，
解得（與重合，舍去）或，
；
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
，
解得，
；
當(dāng)為斜邊時(shí)，，
，
解得（舍去），
綜上所述，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
19．（2024?德陽模擬）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）如圖，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，是否存在點(diǎn)使最小，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將代入，待定系數(shù)法求解析式，進(jìn)而分別令，，解方程即可求解；
（2）根據(jù)題意，對稱軸為直線，設(shè)，根據(jù)勾股定理，，，分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在點(diǎn)使最小，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，求得直線的解析式，直線的解析式為，聯(lián)立方程即可求解．
【解答】解：（1）將代入，
即，
解得：，
，
令，則，
令，則，
解得：，，，；
（2）存在點(diǎn)，使是直角三角形，
，對稱軸為直線，
設(shè)，
，，
，，，
①當(dāng)時(shí)，，
，
解得：；
②當(dāng)時(shí)，，
解得：；
③當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
綜上所述：，，，；
（3）存在點(diǎn)使最小，理由如下：
作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
由對稱性可知，，
，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
，，
，
，
由對稱性可知，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得：，
直線的解析式，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
聯(lián)立方程組，
解得：，
，．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，待定系數(shù)求解析式，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)求線段長的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?煙臺）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求直線及拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動點(diǎn)，請求出的最小值．
【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點(diǎn)及的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組
，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組
，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【解答】（1）解：拋物線的對稱軸，，
，，
將代入直線，得，
解得，
直線的解析式為；
將，代入，得
，解得，
拋物線的解析式為；
（2）存在點(diǎn)，
直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
①當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
解方程組，得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
解方程組，解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，
，，
，
的最小值為．
【點(diǎn)評】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
21．（2024?廣安二模）如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式．
（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的垂線，與交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連接，，求四邊形的面積的最大值．
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把，代入，求出和的值，即可得出函數(shù)解析式；
（2）由四邊形的面積，即可求解；
（3）當(dāng)斜邊為時(shí)，由，列出等式即可求解；當(dāng)斜邊為、時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
該二次函數(shù)的解析式．
（2）如圖：連接，，
，，
，，
則，
設(shè)，則，
，
則，
四邊形的面積，
，
當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為16；
（3）存在，理由：
設(shè)，，
，，
，
同理可得：，，
當(dāng)斜邊為時(shí)，，
則，
解得：；
，或，；
當(dāng)斜邊為時(shí)，，
即，
解得：，
，；
當(dāng)斜邊為時(shí)，，
即，
解得：，
，；
綜上，的坐標(biāo)為，或，或，或，．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2024?金山區(qū)二模）已知：拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）平移拋物線，使得平移后的拋物線頂點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在軸右側(cè)．
①若點(diǎn)平移后得到的點(diǎn)在軸上，求此時(shí)拋物線的解析式；
②若平移后的拋物線與軸相交于點(diǎn)，且是直角三角形，求此時(shí)拋物線的解析式．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，此時(shí)拋物線的解析式是，由平移的性質(zhì)知，，即可求解；
②如果，即軸不合題意；如果，證明，得到，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：，
，
故拋物線的解析式為，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)是；
（2）①設(shè)直線的解析式是，
則，解得：，
直線的解析式是，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，此時(shí)拋物線的解析式是，
點(diǎn)平移后得到的點(diǎn)在軸上，
拋物線向上平移了3個(gè)單位，
，即，
此時(shí)拋物線的解析式是；
②拋物線與軸的交點(diǎn)是，
如果，即軸不合題意，
如果，
，，
，
，
，
作軸于點(diǎn)，則，
，
，，
，
解得：（不合題意，舍去）或1，
，
則此時(shí)拋物線的解析式是．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖象的平移、直角三角形的性質(zhì)，分類求解是解題的關(guān)鍵．
23．（2024?宿豫區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過、、三點(diǎn)，已知，，．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；
（2）點(diǎn)在上方時(shí)，延長與軸相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，先求出，再利用等積法求出，勾股定理求出，則，得到，再證明，則，即可得到，得到點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，與拋物線解析式聯(lián)立，進(jìn)一步即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，同理可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，分別求解即可．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將，，代入得，
，
解得：，
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，延長與軸相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
，令，則，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，
解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或（舍去），
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，設(shè)交軸于，
，，，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，
解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或（舍去），
點(diǎn)的坐標(biāo)是，；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是或，；
（3）①當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，眼饞交軸于，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
同理得直線的解析式為，
聯(lián)立得，解得或（舍去），
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
②當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)交軸于，
同理得，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，解得或（舍去），
點(diǎn)的坐標(biāo)是；
③當(dāng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，
，，
，
，
，
，
，
設(shè)，
，解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，．
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是或或，或，．
【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
24．（2024?雙峰縣模擬）如圖，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是拋物線在第四象限上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若拋物線上存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）先由點(diǎn)在直線上求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出、的坐標(biāo)，從而可表示出和的長，由條件可知到關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的方程，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）點(diǎn)在直線上，
，
，
把、、三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得，
，
解得，
拋物線解析式為；
（2）設(shè)，則，，
則，，
，
，
解得或，
但當(dāng)時(shí)，與重合不合題意，舍去，
；
（3）設(shè)點(diǎn)，
，，
，，，
是以為直角邊的直角三角形，
或，
或，
解得或，
的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出和的長是解題關(guān)鍵．
25．（2024?濱州一模）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動點(diǎn)，請求出的最小值
【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點(diǎn)及的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組
，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組
，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【解答】（1）解：拋物線的對稱軸，，
，，
將，代入，得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）在拋物線上存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形；理由如下：
直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
，
①當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立得：，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，
，
，
，
，
又，
，
，即，
，
當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，
，，
，
的最小值為．
【點(diǎn)評】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
26．（2024?倉山區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸為直線，連接直線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，連接，如圖2所示，記的面積為，的面積為，求的最大值；
（3）若點(diǎn)為對稱軸上一點(diǎn)，是否存在以，，為頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明，則，而，即可求解；
（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論即可求解．
【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸為直線，則點(diǎn)，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，
即，
解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
軸，
，
，
和同高，
，
即的最大值為；
（3）存在以，，為頂點(diǎn)的直角三角形；理由如下：
設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得：
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，即：，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng) 時(shí)，，即：，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，即：，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或，．
【點(diǎn)評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析 式、二次函數(shù)與三角形面積的綜合題、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的存在問題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
27．（2024?荊州模擬）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）將該拋物線在軸上方的部分沿軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個(gè)“”形狀的圖象，若直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）求出、的坐標(biāo)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸，設(shè)，分，， 三種情況討論求解即可；
（3）依據(jù)題意，分兩種情況，分別求解即可．
【解答】（1）直線，令，則，令，則，
故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，
將點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式得：
，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）在該拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；理由如下：
，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
設(shè)，
又，
，，，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)直角三角形不存在，
綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或；
（3）圖象翻折后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與該“”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)，，三點(diǎn)共線，；
②當(dāng)直線 與該“”形狀的圖象在，兩點(diǎn)之間（不包含點(diǎn)的部分只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線 與該“”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，由題意得，向下翻折的那部分拋物線在翻折后的解析式為：
，令，△ ，
解得：，
綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過數(shù)形變換，確定變換后圖形與直線的位置關(guān)系，難度不大．
題型三：等腰直角三角形的存在性
28．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)是拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，作拋物線關(guān)于直線對稱拋物線，則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，若為等腰直角三角形，求出拋物線的解析式．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，則，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，其頂點(diǎn)為：，
如下圖，設(shè)交于點(diǎn)，
若為等腰直角三角形時(shí)，
則，
設(shè)點(diǎn)，
則，
解得：（舍去）或5，
即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
而原拋物線的對稱軸為直線，
則新拋物線的對稱軸為直線，
則新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
則拋物線的解析式為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖象的對稱、等腰直角三角形的性質(zhì)等，綜合性強(qiáng)，難度適中．
29．（2024?涼州區(qū)二模）如圖1，已知拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（1）填空： ， ， ；
（2）在圖1中，若點(diǎn)在軸上方的拋物線上運(yùn)動，連接，當(dāng)四邊形面積最大時(shí)，求的值；
（3）如圖2，若點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，連接、，是否存在點(diǎn)使為等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點(diǎn)，代入，可得，，可得拋物線的解析式，令解方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得的值；
（2）連接，由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為得，根據(jù)面積和可得四邊形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最大值；
（3）分三種情況：作輔助線，構(gòu)建全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)列方程求得的值，即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)，代入得，
，解得，
拋物線的解析式：，
，則，解得或1，
，
，
故答案為：3，，；
（2）連接，
，軸交拋物線于點(diǎn)，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
，解得或4，
，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
的值為；
（3），
拋物線的對稱軸為直線，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
分三種情況：
①當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，如圖2，過作軸，過作于，過作于，
，
是等腰直角三角形，且，，
，
，
，
，
，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
，
，解得或或
點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或，；
②當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，如圖3，過作軸，過作于，過作于，
同理，
，
，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
，
，解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；
如圖5，
同理，
，，
，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
，
，解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，；
③當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，如圖4，過作于，過作于，
同理，
，，
，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
，，
，
，解得或5或3，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，或，或，或，或，或或或．
【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法，解第（2）問時(shí)需要運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，解第（3）問時(shí)需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題．
30．（2024?高唐縣一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與兩端點(diǎn)重合），是否存在以、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由面積，即可求解；
（3）當(dāng)為直角時(shí)，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)為直角時(shí)，即，即可求解；當(dāng)為直角時(shí)，證明，即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
則，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
則面積，
，
故函數(shù)有最大值，
此時(shí)，
則點(diǎn)，；
（3）當(dāng)為直角時(shí)，
則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；
當(dāng)為直角時(shí)，
即，
則點(diǎn)和點(diǎn)或重合，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，
當(dāng)和重合時(shí)，也符合題意，則點(diǎn)，
當(dāng)為直角時(shí)，
如下圖：設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，
過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，交過點(diǎn)和軸的平行線于點(diǎn)，
，，
，
，
，
且，
即且，
解得：，
當(dāng)時(shí)，即，
解得：（不合題意的值已舍去），
即點(diǎn)，，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或，．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形全等、面積的計(jì)算，分類求解是解題的關(guān)鍵．
31．（2024?咸豐縣模擬）綜合與探究
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接．若點(diǎn)在線段上運(yùn)動（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（1）求點(diǎn)，，的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)解析式．
（2）若，求的值．
（3）在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，是否存在使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)求、、的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；
（2）由題可知，則，，再由，得到方程，求出的值即可；
（3）先求出，，，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍；當(dāng)時(shí)，，解得或（舍．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
解得或，
，，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入可得，
解得，
直線的解析式為；
（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，則，，
，，
，
，
解得（舍或；
（3）存在使得為等腰直角三角形，理由如下：
由（2）可得，，，，
當(dāng)時(shí)，，即，
解得或（舍；
當(dāng)時(shí)，，即，
解得或（舍；
綜上所述：的值為3或2．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型四：相似三角形的存在性
32．（2024?金平區(qū)校級一模）如圖，二次函數(shù)交軸于點(diǎn)和交軸于點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，在第一象限有一點(diǎn)，到點(diǎn)距離為2，線段與的夾角為，且，連接，求的長度；
（3）對稱軸交拋物線于點(diǎn)，交交于點(diǎn)，在對稱軸的右側(cè)有一動直線垂直于軸，交線段于點(diǎn)，交拋物線手點(diǎn)，動直線在沿軸正方向移動到點(diǎn)的過程中，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）把和代入拋物線解析式得出二元一次方程組，解方程組得出、的值，即可得出二次函數(shù)的解析式；
（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）由平行線的性質(zhì)得出，當(dāng)時(shí)，，則，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）二次函數(shù)交軸于點(diǎn)和，
把、代入，得：，
解得：，
二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2）二次函數(shù)交交軸于點(diǎn)，
對于，當(dāng)，則，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
（3）存在，如圖：
，
點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得：，
所在直線的表達(dá)式為：，
將代入得：，
點(diǎn)，
由題意得：，
，
與有共同的頂點(diǎn)，且在的內(nèi)部，
，
只有時(shí)，，
，
、，
，
設(shè)點(diǎn)為，則為，
，
，，
，
解得：，
當(dāng)，時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為：．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
33．（2024?東莞市一模）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上一動點(diǎn)，連接、，設(shè)直線交線段于點(diǎn)，的面積為，的面積為．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，是否在數(shù)軸上存在一點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明，得到，即可求解；
（3）當(dāng)點(diǎn)在軸時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，存在、兩種情況，利用解直角三角形的方法即可求解；當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，同理可解．
【解答】解：（1）把代入，得：，
．
把代入得：，
，
將、代入得：
，解得：，
拋物線的解析式為；
（2）如右圖，分別過點(diǎn)、點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)和點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，
則，
當(dāng)時(shí)，
，，
，
，
，
，
則，
，
解得，，
點(diǎn)坐標(biāo)為或；
（3）存在，理由：
由題意得，點(diǎn)，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，
則，則，，，
當(dāng)點(diǎn)在軸時(shí)，
以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，
當(dāng)時(shí)，
則，
則，
則點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，點(diǎn)、重合且符合題意，
故點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，
只有，
則，
則點(diǎn)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，分類求解是解題的關(guān)鍵．
34．（2024?亳州一模）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和．
（1）試確定該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖，設(shè)該拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），其頂點(diǎn)為，對稱軸為，與軸交于點(diǎn)．
①求證：是直角三角形；
②在上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）①由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，，即可求解；
②，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則或，即或，即可求解．
【解答】（1）解：由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）①證明：令，則或5，
即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、，
則拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，，
即，
則是直角三角形；
②解：存在，理由：
，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，
則或，
由點(diǎn)的坐標(biāo)得：，
則或，
設(shè)點(diǎn)，
則或，
解得：或，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或或．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用等，分類求解是解題的關(guān)鍵．
35．（2023?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)，為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）直接寫出拋物線和直線的解析式；
（2）如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入求，進(jìn)而得到拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可得到直線的解析式．
（2）由題可得坐標(biāo)，分別求出，，，對等腰三角形中相等的邊界線分類討論，進(jìn)而列方程求解．
（3）對點(diǎn)在點(diǎn)左右兩側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而得到點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）拋物線過點(diǎn)，，
拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入得，，
，
拋物線的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將，代入得，
，
解得，
直線的表達(dá)式為．
（2）點(diǎn)在直線上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得；
②若，則，
即，
解得或（舍去）；
③若，則，
即，
解得或（舍去）．
綜上，或或．
（3）點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)，
或，
①若點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，
則，
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，
解得或（舍去），
，即，
，即，
解得，
，
當(dāng)，即時(shí)，
，
，即，
解得（舍去）．
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得，（負(fù)值舍去），
，．
②若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，
則，，
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，
解得或（舍去），
，
，即，
解得，
，
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得或（舍去），
，
綜上，，或，或，或，．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識．
36．（2024?青海一模）如圖，二次函數(shù)的對稱軸是直線，圖象與軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)是對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（請?jiān)趫D1中探索）；
（3）二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使的面積與的面積相等？若存在，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（請?jiān)趫D2中探索）．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明 是等腰直角三角形，，則，即可求解；
（3）點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，由，得到，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
二次函數(shù)的解析式是；
（2）設(shè)對稱軸與軸交于點(diǎn)，
由（1）及已知得，，
是等腰直角三角形，
又點(diǎn)在對稱軸上，且，
是等腰直角三角形，，
，
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，坐標(biāo)是，
當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，坐標(biāo)是，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)是或；
（3）存在，理由：
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對稱軸 對稱，
點(diǎn)的坐標(biāo)是，
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，
，
，
解得：，，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)是或 或．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到三角形相似、等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱等，分類求解是解題的關(guān)鍵．
37．（2024?虹口區(qū)二模）新定義：已知拋物線（其中，我們把拋物線稱為的“輪換拋物線”．例如：拋物線的“輪換拋物線”為．
已知拋物線的“輪換拋物線”為，拋物線、與軸分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的上方，拋物線的頂點(diǎn)為．
（1）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸與直線相交于點(diǎn)，如果四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值．
【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，即可求解；
（2）當(dāng)四邊形為平行四邊形，則，即，即可求解；
（3）由得到，即，即可求解．
【解答】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，
則，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
則的表達(dá)式為：．
則和軸的交點(diǎn)，
則拋物線的對稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，，
即的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
當(dāng)時(shí)，，
故拋物線的對稱軸和的交點(diǎn)，
點(diǎn)在點(diǎn)的上方，
故，
解得：，
則，
四邊形為平行四邊形，
則，即，
解得：，
即點(diǎn)；
（3）點(diǎn)在拋物線上，
當(dāng)時(shí)，，
即點(diǎn)，
點(diǎn)、點(diǎn)、、，
則，
同理可得：，
，，
，
則，即，
解得：或．
【點(diǎn)評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
38．（2024?安溪縣模擬）已知拋物線與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求的值；
（2）若將拋物線向右平移1個(gè)單位長度得到拋物線，拋物線與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為．
①試問：拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得？
②若直線與拋物線交于，，，，點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)記為與不重合），軸交直線于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）由△，即可求解；
（2）①由點(diǎn)、、的坐標(biāo)知，為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，則也為等腰直角三角形，即可求解；
②設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，則點(diǎn)，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）△，
解得：；
（2）①，
則點(diǎn)；
，則拋物線與，
則點(diǎn)、，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)知，為等腰直角三角形，
當(dāng)時(shí)，則也為等腰直角三角形，
如下圖：
而點(diǎn)、，
根據(jù)拋物線的對稱性，則點(diǎn)；
②如下圖：
設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)，則點(diǎn)，
聯(lián)立拋物線和的表達(dá)式得：，
整理得：，
則，，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，
即，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)，，
同理可得：點(diǎn)，，
則，
同理可得：，
，
則，
則．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到根和系數(shù)的關(guān)系、三角形相似等，數(shù)據(jù)處理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
39．（2024?蘇州一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)分別為，，，，其中，且，與軸的交點(diǎn)為，直線軸，在軸上有一動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為、．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；
（3）當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）由面積，即可求解；
（3）以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或3，即可求解．
【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線，
，
則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、；
則拋物線的表達(dá)式為：，
則，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
設(shè)交于點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則面積，
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，則面積，
，故面積有最大值，
當(dāng)時(shí)，面積最大值為：；
當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，則面積，
，
在時(shí)，面積隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，面積最大，最大值為24，
綜上，面最大值24．
（3）存在，理由：
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
在中，，
則以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，
或3，
即或，
解得：（舍去）或14或或．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用涉及到三角形相似、解直角三角形、面積的計(jì)算等知識，分類求解是解題的關(guān)鍵．
40．（2024?雁塔區(qū)校級四模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線．
（1）求此二次函數(shù)表達(dá)式和點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，將拋物線平移得到拋物線拋物線，使得拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)．是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，請你寫出平移過程，并說明理由．
【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解；
（2）以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，或3，即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：，
令，則或3，
即點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為：、；
（2）設(shè)點(diǎn)，
則平移后的拋物線表達(dá)式為：，
則點(diǎn)，
則，，
在中，，
則以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，
或3，
即或3，
解得：（舍去）或，
則點(diǎn)，，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，
平移的過程為：將向左平移個(gè)單位向上平移即可．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到圖象的平移、三角形相似、解直角三角形等，綜合性強(qiáng)，難度適中．
41．（2023?樂至縣）如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)是拋物線在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線與直線交于點(diǎn)，求的長的最大值；
（3）點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，連結(jié)交軸于點(diǎn)．是否存在點(diǎn)，使與相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【分析】（1）首先求得、點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；
（2）設(shè)，則，，進(jìn)而表示出的長；接下來用含的二次函數(shù)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答；
（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求解即可．
【解答】解：（1）直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，
，，
拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)．
，
解得，
；
（2）設(shè)，
作軸，與直線交于點(diǎn)，
，解得，
，，
，
當(dāng)時(shí)，的長的最大值為4；
（3）設(shè)，
，，
，
分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
或3（舍去），
，
，，，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
聯(lián)立解得或（不合題意，舍去）
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作于，
，
，，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，，
，解得，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，，
同理得直線的解析式為，
聯(lián)立解得或（不合題意，舍去）
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識與方法，解本題的關(guān)鍵是利用方程的思想和函數(shù)的思想方法解決問題．利用相似三角形的判定得出關(guān)于的方程是解題關(guān)鍵，第（3）問中，注意要分類討論，以防遺漏．
42．（2024?恩施市校級一模）如圖，拋物線交軸于，，交軸于點(diǎn)，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線上找點(diǎn)，使為以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在拋物線上是否存在異于的點(diǎn)，過點(diǎn)作于，使與相似？若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）先確定，設(shè)交點(diǎn)式，然后把點(diǎn)坐標(biāo)代入求出即可得到拋物線的解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法確定直線的解析式為，設(shè)，討論：當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，當(dāng)時(shí)，利用兩點(diǎn)的距離公式得到，然后分別解方程求出即可得到滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先利用勾股定理的逆定理證明為直角三角形，，由于，與相似，則只有，設(shè)直線交軸于，作于，則，證明，利用相似比得到，在中利用勾股定理可計(jì)算出，則，再利用待定系數(shù)法確定直線的解析式為，然后解方程組可得到點(diǎn)坐標(biāo)．過點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于，作于，則△，易得直線的解析式為，解方程組點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1），，
，
設(shè)拋物線解析式為，
把代入得，解得，
拋物線的解析式為，即；
（2），
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得，解得，
直線的解析式為，
設(shè)，
為以為腰的等腰三角形，
或，
當(dāng)時(shí)，即，解得，，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，
當(dāng)時(shí)，即，解得（舍去），，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，；
（3），，，
，
為直角三角形，，
，
，
與相似，
，
平分，
設(shè)直線交軸于，作于，則，
，
，
，
在中，，
，解得（舍去）或，
，
設(shè)直線的解析式為，
把，得，解得，
直線的解析式為，
解方程組，解得或，
，．
過點(diǎn)與直線垂直的直線交拋物線于，作于，
則，
△，
易得直線的解析式為，
解方程組得或，
，．
綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；能運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式和相似比計(jì)算線段的長；會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．
43．（2024?陽泉模擬）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，對稱軸與軸交于點(diǎn)，連接，作直線．
（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出直線的表達(dá)式．
（2）如圖1，若點(diǎn)是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)分別作軸、軸的垂線，交直線于點(diǎn)，，試探究線段長的最大值．
（3）如圖2，若點(diǎn)是二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，連接，在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）對于，當(dāng)時(shí)，，令，即可求解；
（2）證明，而，即可求解；
（3）當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，存在或，求出點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）對于，當(dāng)時(shí)，，
令，則或8，
即點(diǎn)、、的坐標(biāo)分別為：、、，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：；
（2）由的表達(dá)式知，，
則，
則，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
，
故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為4，
則的最大值為：；
（3）存在，理由：
由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線，則點(diǎn)，
由點(diǎn)、、、的坐標(biāo)得，，，，，，，
則，
當(dāng)以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，
存在或，
即或，
即或，
解得：或8，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：或，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：或，
聯(lián)立和拋物線的表達(dá)式得：或，
解得：（舍去）或或，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，分類求解是解題的關(guān)鍵．
44．（2024?龍江縣一模）綜合與探究：
如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，連接，，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
② ；
③點(diǎn)在拋物線上，，則的取值范圍是 ；
（3）若點(diǎn)在直線上，且，求的值；
（4）在第四象限內(nèi)存在點(diǎn)，使與相似，且為的直角邊，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）由函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，分別利用相似三角形性質(zhì)求解即可；
（4）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別運(yùn)用相似三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1），令，得，
解得：，
，
，
，
，
，
在中，，
．
把，代入拋物線中，得：
，
解得：，
拋物線的解析式為：；
（2）①聯(lián)立拋物線表達(dá)式和得：，
解得：（舍去）或6，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
由點(diǎn)、、的坐標(biāo)得，，，，
則，
則為直角三角形，
則；
③由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
則的取值范圍是；
故答案為：；90；；
（3）令，
解得：，，
，
，
．
在中，，
①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
軸，
軸，
，
，即，
，
；
②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
軸，
軸，
，
，即，
，
，
綜上所述，的值為或；
（4）當(dāng)時(shí)，
，，
，
，
，
，，
，
，
即，
點(diǎn)在直線上，
由點(diǎn)、坐標(biāo)得，直線的解析式為，
設(shè)，
如圖3，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，
，
，
在中，，
或，
或，
或，
或，
或，
或8，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng)時(shí)，如圖4，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
，
，
設(shè)，，則，
或，
或，
，
或，
或，
在中，，
或，
或8，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩點(diǎn)間距離公式，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義等，涉及知識點(diǎn)較多，難度較大，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想思考解決問題．
45．（2023?武漢）拋物線交軸于，兩點(diǎn)在的左邊），交軸于點(diǎn)．
（1）直接寫出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），作直線，分別交軸，線段，拋物線于，，三點(diǎn)，連接，若與相似，求的值；
（3）如圖（2），將拋物線平移得到拋物線，其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)作直線（異于直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．問點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由．
【分析】（1）分別令、為0，解方程即可求得點(diǎn)、、的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況：①若△△ 時(shí)，可得，由平行線的判定可得，即軸，點(diǎn)與的縱坐標(biāo)相同，建立方程求解即可．②若△△ 時(shí)，過 作軸于點(diǎn)．可證得△，，即，解方程即可求得答案；
（3）由題意知拋物線，聯(lián)立方程求解即可得．根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得．設(shè)，，可得直線的解析式為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得．同理，直線的解析式為；直線的解析式為．聯(lián)立方程組求解可得，．代入，整理得，比較系數(shù)可得，，故點(diǎn)在定直線上．
【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，，
，，．
（2）是直線與拋物線的交點(diǎn)，
．
①如圖，若△△時(shí)．
則，
．
，
．
解得：（舍去）或．
②如圖，若△△時(shí)．
過 作軸于點(diǎn)．
，
，，
，
又，
△，
，
，，
，．
，，
，
，
解得：（舍去）或，
綜上，符合題意的的值為2或；
（3）點(diǎn)在一條定直線上．
由題意知拋物線，
直線的解析式為，
．
是的中點(diǎn)，
．
設(shè)，，直線的解析式為．
則，
解得：，
直線的解析式為．
直線經(jīng)過點(diǎn)，
．
同理，直線的解析式為；直線的解析式為．
聯(lián)立，得，
直線與相交于點(diǎn)，
．
解得：，
，
，．
設(shè)點(diǎn)在直線上，則，
整理得，，
比較系數(shù)，得，
，．
當(dāng)，時(shí)，無論，為何值時(shí)，等式恒成立．
點(diǎn)在定直線上．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，運(yùn)用分類討論思想思考解決問題．
46 ．（2023?沈陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，和點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)，在軸正半軸上，，點(diǎn)在線段上，．以線段，為鄰邊作矩形，連接，設(shè)．
①連接，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；
②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，將線段繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到△，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，連接．當(dāng)△的邊與線段垂直時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）①利用已知條件用含的代數(shù)式表示出點(diǎn)，，，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段的長度，利用分類討論的思想方法和相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出結(jié)論；
②利用已知條件，點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)求得，和的長，利用分類討論的思想方法分三種情形討論解答，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，勾股定理求得相應(yīng)線段的長度即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，，
，
解得：，
此拋物線的解析式為；
（2）①令，則，
解得：或，
，，
．
，，，
，．
四邊形為矩形，
，，
，，，，，，
．
Ⅰ．當(dāng)時(shí)，
，
，
；
Ⅱ．當(dāng)時(shí)，
，
，
．
綜上，當(dāng)與相似時(shí)，的值為或；
②點(diǎn)與點(diǎn)重合，
．
，，，，
．
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，．
．
Ⅰ．當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，
，，
，
，，三點(diǎn)在一條直線上，
．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，
，
，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
Ⅱ．當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，
，
，
設(shè)的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，則軸，．
，
，
．
，
．
，
，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；
Ⅲ．當(dāng)所在直線與垂直時(shí)，如圖，
，，
，
，，三點(diǎn)在一條直線上，則，
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，
此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
綜上，當(dāng)△的邊與線段垂直時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度和正確利用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．
47．（2024?濟(jì)南模擬）拋物線與軸交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
（1）求拋物線的表達(dá)式和，的值；
（2）如圖1，過點(diǎn)作軸的垂線與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若，求的值；
（3）如圖2，若點(diǎn)在直線下方的拋物線上，過點(diǎn)作，垂足為，求的最大值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)，可知，再求出，，，，建立方程求出的值即可；
（3）過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，先求出直線的解析式為，得到，再由直角三角形的三角形函數(shù)值分別求出，，，可得，當(dāng)時(shí)，有最大值．
【解答】解：（1）將點(diǎn)代入，
得，
解得，
拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入，
得，
解得（舍或，
，
將點(diǎn)代入，
，
解得；
（2）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
，
由（1）直線的解析式為，
，
，
，
，，，，
，
，
，
解得或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)不構(gòu)成直角三角形，
綜上所述：的值為；
（3）過點(diǎn)作的平行線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
，
四邊形是矩形，
，，
，
直線的解析式為，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
48．（2024?錫山區(qū)一模）如圖，拋物線交軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），交軸于點(diǎn)，連接，其中．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)為線段上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過線段上的點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，或， ．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，可證得，則，即，，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，設(shè)，可求得，，代入拋物線解析式即可求得答案；
（3）過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于，延長交軸于，連接，設(shè)，則，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1），，
，
，
把，代入，
得，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）如圖1，過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于，
則，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
設(shè)直線的解析式為，把，代入，
得，
解得：，
直線的解析式為，
設(shè)，則，
，
，
，
，，
點(diǎn)為線段上方拋物線上一動點(diǎn)，
，，
解得：或（舍去），
；
（3）如圖2，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于，延長交軸于，連接，
則軸，
在中，令，
得，
解得：，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
設(shè)，則，
，，
軸，
，
與相似，
或，
①當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：或（舍去），
，；
②當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：或（舍去），
，；
綜上所述，當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵．
49．（2024?倉山區(qū)校級模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸為直線，連接直線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，連接，如圖2所示，記的面積為，的面積為，求的最大值；
（3）若點(diǎn)為對稱軸上一點(diǎn)，是否存在以，，為頂點(diǎn)的直角三角形，若存在，直接寫出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；
（2）證明，則，而，即可求解；
（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論即可求解．
【解答】解：（1）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸為直線，則點(diǎn)，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，
即，
解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得，直線的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，即，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，
則，
軸，
，
，
和同高，
，
即的最大值為；
（3）存在以，，為頂點(diǎn)的直角三角形；理由如下：
設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)、的坐標(biāo)得：
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，即：，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
當(dāng) 時(shí)，，即：，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，，即：，
解得：，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，；
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或，．
【點(diǎn)評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析 式、二次函數(shù)與三角形面積的綜合題、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的存在問題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
50．（2024?荊州模擬）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，頂點(diǎn)為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）將該拋物線在軸上方的部分沿軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象軸下方的部分組成一個(gè)“”形狀的圖象，若直線與該“”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求的值．
【分析】（1）求出、的坐標(biāo)，將點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式，即可求解；
（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸，設(shè)，分，， 三種情況討論求解即可；
（3）依據(jù)題意，分兩種情況，分別求解即可．
【解答】（1）直線，令，則，令，則，
故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，
將點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式得：
，
解得：，
則拋物線的表達(dá)式為：；
（2）在該拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)，使以，，為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形；理由如下：
，拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
設(shè)，
又，
，，，
當(dāng)時(shí)，，
，
解得，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，則，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)直角三角形不存在，
綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或；
（3）圖象翻折后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
①當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，與該“”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，
此時(shí)，，三點(diǎn)共線，；
②當(dāng)直線 與該“”形狀的圖象在，兩點(diǎn)之間（不包含點(diǎn)的部分只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線 與該“”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，由題意得，向下翻折的那部分拋物線在翻折后的解析式為：
，令，△ ，
解得：，
綜上所述，的值為或．
【點(diǎn)評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過數(shù)形變換，確定變換后圖形與直線的位置關(guān)系，難度不大．
51．（2024?平?jīng)鲆荒＃┤鐖D，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．連接，．為上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）過點(diǎn)作，垂足為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，請用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出當(dāng)為何值時(shí)有最大值，最大值是多少？
（3）點(diǎn)在運(yùn)動過程中，是否存在一點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把，，代入得可解得；
（2）求出直線解析式為，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，知，；故，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；
（3）由，，，知以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，只需或；設(shè)，則或，解方程并檢驗(yàn)可得答案．
【解答】解：（1）把，，代入得：
，
解得，
；
（2）由，得直線解析式為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，交拋物線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
，；
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值2；
答：，當(dāng)時(shí)，的最大值為2；
（3）存在一點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，理由如下：
，，，
以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，只需或；
設(shè)，則，，
或，
解得或；
經(jīng)檢驗(yàn)，，均為方程的解，
，或，．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)合相關(guān)線段的長度．
52．（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，．的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)在拋物線上，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)與相似時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）把，代入可解得拋物線的解析式為；
（2）求出，直線解析式為，由直線軸，，得，，，故，而，根據(jù)，有，即可解得的值；
（3）由，，得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故，而與相似，且，可知在的右側(cè)，且或，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，可解得，直線解析式為，聯(lián)立解析式可解得的坐標(biāo)為，或，；當(dāng)時(shí)，同理得的坐標(biāo)為，或，．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）在中，令得，
，
由，可得直線解析式為，
直線軸，，
，，
，
，
，，，
，
，
，
解得或與重合，舍去），
的值為2；
（3），，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
與相似，且，
在的右側(cè)，且或，
設(shè)，
由（2）知，，，，
，，，，
當(dāng)時(shí)，如圖：
，
解得或（此時(shí)在左側(cè)，舍去），
，
由，得直線解析式為，
解得或，
的坐標(biāo)為，或，；
當(dāng)時(shí)，如圖：
，
解得（舍去）或，
，，
由，，得直線解析式為，
解得或，
的坐標(biāo)為，或，；
綜上所述，的坐標(biāo)為，或，或，或，．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．
53．（2024?茌平區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸分別相交于，兩點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)是第一象限內(nèi)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
①求的最大值；
②若是的中點(diǎn)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則求出直線的解析式，得到，求出，并根據(jù)二次函數(shù)的最大值得到答案；
②根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得到，根據(jù)勾股定理求出長，由①知，，分兩種情況：和，建立方程求出，得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將，代入拋物線，得：
，
解得，
該拋物線的解析式為．
（2）①由拋物線的解析式為，得．
設(shè)直線的解析式為，將，代入，得：
，
解得，
直線的解析式為．
設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
，，
．
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，為9．
②，，，
，，，，
，，，
，
，
．
軸于點(diǎn)，
，
．
以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，只需或．
是的中點(diǎn)，，，
，，．
由①知，，
．
當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去），
．
當(dāng)時(shí)，，
解得或（舍去），
．
綜上所述，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評】此題考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，二次函數(shù)的最值問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
54．（2024?海勃灣區(qū)校級模擬）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
（1）分別求出，的值和直線的解析式；
（2）直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作平行于軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的周長的最大值；
（3）在（2）的條件下，如圖2，在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
【分析】（1）先求得的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；先求得拋物線的對稱軸，從而得到點(diǎn)，然后可求得直線的解析式；
（2）求得，接下來證明為等腰直角三角形，所當(dāng)有最大值時(shí)三角形的周長最大，設(shè)，，則，然后利用配方可求得的最大值，最后根據(jù)的周長求解即可；
（3）當(dāng)時(shí)，如果或時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，，然后根據(jù)題意列方程求解即可．
【解答】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
令，則，
，，
，
，
，
設(shè)拋物線的解析式為，
將，代入得：，
解得，
拋物線的解析式為；
，；
拋物線的對稱軸為，，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
；
設(shè)直線的解析式為．
將、代入得：
，
解得，，
直線的解析式；
（2）直線的解析式，
直線的一次項(xiàng)系數(shù)，
．
平行于軸，
，
．
的周長．
設(shè)，則，
則．
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為4．
的周長的最大值；
（3）在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似；理由如下：
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
①如圖2.1，
若時(shí)，．
則，整理得：．
得：（負(fù)值舍去），
點(diǎn)為，；
②如圖2.2，
若時(shí)，，
則，整理得：，
得：（負(fù)值舍去），
點(diǎn)為，，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．
【點(diǎn)評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的交點(diǎn)式、配方法求二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的長與的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
55．（2024?涼州區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸分別交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，求的最大值；
（3）如圖2，連接，，過點(diǎn)作直線，點(diǎn)，分別為直線和拋物線上的點(diǎn)，試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使．若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1），代入，解方程即可得到拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)，證明，得出，求出直線的解析式為，設(shè)，則，可得出的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）①設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，得出，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得的值即可，②當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，由①的方法同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，，代入拋物線的解析可得出答案．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交的延長線于點(diǎn)，
，
，
．
在中，令，則，
解得：，，
；
設(shè)直線的解析式為，代入得：
，
解得，
直線的解析式為，
，
，
，
設(shè)，則，
．
．
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是；
（3）在第一象限存在這樣的點(diǎn)，，使；符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．理由如下：
，
直線的解析式為，
①當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，如圖2.1，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于點(diǎn)，
設(shè)，，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得，
解得（舍去）或．
，．
②當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，如圖2，
作軸于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
把，代入得：
，
整理得：，
解得，（不合題意，舍去），
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是，或，．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
56．（2024?香洲區(qū)校級一模）已知拋物線與軸交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖1，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，當(dāng)四邊形恰好是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，且，在直線上是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）用待定系數(shù)法可得；
（2）由，可得直線解析式為，設(shè)，由，有，即可解得；
（3）可得直線的表達(dá)式為，知在直線上，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作軸于，根據(jù)，可得直線和直線關(guān)于直線對稱，有，，，從而可得直線的表達(dá)式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即得，，故，與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．
【解答】解：（1）把，代入得：
，
解得：，
；
（2）由，可得直線解析式為，
設(shè)，則，
，
，要使四邊形恰好是平行四邊形，只需，
，
解得，
；
（3）在直線上存在點(diǎn)，使得與相似，理由如下：
是的中點(diǎn)，點(diǎn)，
點(diǎn)，
由（2）知，
直線的表達(dá)式為，
，
在直線上，，，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作軸于，如圖：
，故，
，
，
直線和直線關(guān)于直線對稱，
，，
，
由點(diǎn)，可得直線的表達(dá)式為，
聯(lián)立，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，，，
，
，
，
，
，即，
與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
當(dāng)時(shí)，有，
，
解得或（在右側(cè)，舍去），
；
當(dāng)時(shí)，，
，
解得（舍去）或，
，
綜上所述，的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，平行四邊形，相似三角形等知識，解題的關(guān)鍵是證明，從而得到與相似，點(diǎn)與點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)．
題型五：銳角三角形的存在性
57．（2024?南關(guān)區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，是常數(shù)）經(jīng)過、兩點(diǎn)．點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連結(jié)，，求周長的最小值；
（3）已知點(diǎn)，連結(jié)，以為對角線作矩形，且矩形各邊垂直于坐標(biāo)軸．
①拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象隨增大而減小，且最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為2時(shí)，求的值；
②連結(jié)，設(shè)的中點(diǎn)為，當(dāng)以、、為頂點(diǎn)的三角形為銳角三角形時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接與對稱軸交于點(diǎn)，此時(shí)的周長最?。?br>（3）①先確定當(dāng)或時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象隨增大而減小，再分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，，解得或（舍，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍；，解得；
②求出直線的解析式為，可知、、三點(diǎn)共線，過點(diǎn)與垂直的直線解析式，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，解得，即可得時(shí)或時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形為銳角三角形．
【解答】解：（1）將點(diǎn)、代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2），
拋物線的對稱軸為直線，
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
連接與對稱軸交于點(diǎn)，此時(shí)，
，，
周長的最小值為；
（3）①點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)、點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)、點(diǎn)重合，
當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
當(dāng)或時(shí)，拋物線在矩形內(nèi)的部分圖象隨增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，解得或（舍，
當(dāng)時(shí)，，解得或（舍，
，解得；
綜上所述：的值為3或或；
②，，的中點(diǎn)為，
，，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
、、三點(diǎn)共線，
，
，
過點(diǎn)與垂直的直線解析式，
當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，
解得；
當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，
解得，
時(shí)或時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形為銳角三角形．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離是解題的關(guān)鍵．
題型六：鈍角三角形的存在性
58．（2024?綠園區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)恰好落在拋物線上，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，求線段的長；
（3）連結(jié)、、，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，求的取值范圍；
（4）當(dāng)時(shí)，連結(jié)并延長交拋物線的對稱軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連結(jié)、、．當(dāng)折線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括點(diǎn)時(shí)，設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，當(dāng)四邊形（或四邊形的面積是四邊形的面積的一半時(shí)，直接寫出所有滿足條件的的值．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法把點(diǎn)代入拋物線解析式中，求得的值，即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）由點(diǎn)恰好落在拋物線上，把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中可求得的值，從而求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，由勾股定理即可求得的長；
（3）當(dāng)，且時(shí)，求得或，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時(shí)，，即是鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，可求得，得出當(dāng)時(shí)，，即是鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，時(shí)，即是鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，，即是鈍角三角形；
（4）分兩種情況：①四邊形的面積是四邊形的面積的一半時(shí)，則，再根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可求得，，再代入拋物線解析式求得的值；②當(dāng)四邊形的面積是四邊形的面積的一半時(shí)，則得，再根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)，可求得的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求得的值．
【解答】解：（1）拋物線是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）點(diǎn)恰好落在拋物線上，
，
解得：或0，
點(diǎn)不與點(diǎn)重合，
，
，
，，
；
（3），
，又，
當(dāng)，且時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于，設(shè)拋物線對稱軸交軸于，
則，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：（舍去）或或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，即是鈍角三角形；
當(dāng)時(shí)，如圖，
，，
，
即和均為等腰直角三角形，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，即是鈍角三角形；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，即是鈍角三角形；
當(dāng)時(shí)，，即是鈍角三角形；
綜上所述，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，的取值范圍為或或或；
（4），
點(diǎn)在平行于軸的直線上，且距軸3個(gè)單位長度；
如圖，設(shè)交拋物線對稱軸于點(diǎn)，交拋物線對稱軸于點(diǎn)，直線記為，
，，，
，，，
，
；
，，
，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
由中點(diǎn)坐標(biāo)得：，
；
①當(dāng)四邊形的面積是四邊形的面積的一半時(shí)，
，
，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
由中點(diǎn)公式得，；
點(diǎn)在拋物線的圖象上，
，
解得：，，
由于，則；
②當(dāng)四邊形的面積是四邊形的面積的一半時(shí)，
，
，
，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，
由中點(diǎn)公式得，，
點(diǎn)在拋物線的圖象上，
，
解得：，，
由于，則；
綜上所述，當(dāng)四邊形（或四邊形的面積是四邊形的面積的一半時(shí)，的值為或．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，圖形面積，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式等知識，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量較大，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
題型七：全等三角形的存在性
59．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)．
（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）如圖1，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，
若，求的值；
（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點(diǎn)為的拋物線．點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)．當(dāng)以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與全等時(shí)，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出解析式；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，若，則，先求直線的解析式，由點(diǎn)的坐標(biāo)可求出直線的解析式，聯(lián)立直線和拋物線方程可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，由軸對稱的性質(zhì)可求出直線的解析式，同理聯(lián)立直線和拋物線方程則求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先求出的解析式，可設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，表示、坐標(biāo)及、，根據(jù)以，，為頂點(diǎn)的三角形與全等，分類討論對應(yīng)邊相等的可能性即可求點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得．
拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
解得，
直線的解析式為，
如答圖1，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
直線經(jīng)過點(diǎn)，
，
解得：，
直線的解析式為，
，
解得：，（舍去），
，
綜合以上可得的值為；
（3）拋物線平移后得到，且頂點(diǎn)為，
，
即．
設(shè)，則，
，
①如答圖2，當(dāng)在點(diǎn)上方時(shí)，
，，
與全等，
當(dāng)且時(shí)，，
，，
當(dāng)且時(shí)，無解；
②如答圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)下方時(shí)，
同理：，，，
，
則，．
綜合可得點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形全等的判定，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．
題型八：等邊三角形的存在性
60．（2024?南康區(qū)模擬）如圖，已知拋物線與直線相交于，．
（1） ；
（2）拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線向上平移，得到拋物線，拋物線與直線相交于，（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），已知拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
①當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式是 ， ；
②連接，，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）在中，令得，解得或，即可求解；
（2）①由平移的性質(zhì)得到函數(shù)表達(dá)式，即可求解；
②求出，，，，由，得到，即可求解．
【解答】解：（1）在中，令得，
解得或，
，，
，
故答案為：2；
（2）①時(shí)，，
拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)，
拋物線的解析式是，
在中，令得，
解得或，
拋物線與直線的交點(diǎn)為和，
；
故答案為：，4；
②過點(diǎn)作于，如圖：
設(shè)，則拋物線的解析式為，
在中，令得，
解得或，
，，，，
是等邊三角形，
，
，
，
解得或，重合，舍去），
．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及平移變換，等邊三角形等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
61．（2023?恩施州）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸與軸交于點(diǎn)．
（1）如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時(shí)的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若為軸上的點(diǎn)，為軸上方拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)；
（3）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，且，求正整數(shù)，的值．
【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可得，由對稱軸是，可求得；當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象求得的范圍；
（2）連接，在對稱軸上截取，分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意可得、、、四點(diǎn)共圓，先證、、在同一直線上，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式，坐標(biāo)系中的交點(diǎn)坐標(biāo)特征等即可求解．
（3）由拋物線過點(diǎn)，可設(shè)設(shè)拋物線解析式為，于是再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中可得，再利用，，為正整數(shù)求解即可．
【解答】解：（1） ，拋物線的對稱軸為．
，，
解得：，
拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
的取值范圍是：；
（2）連接，在對稱軸上截取，
由已知可得：，，
在中，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
、、、四點(diǎn)共圓，
，
，
是等邊三角形，
，
點(diǎn)在上，
，
，
設(shè)的解析式為，則有：
，
解得：，
的解析式為：，
由，得：
，，
當(dāng)時(shí)，，
，，
設(shè)，則有：
，
解得：，
；
當(dāng)與重合時(shí)，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，符合題意，
此時(shí)，，；
，，或，；
（3）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，
設(shè)拋物線解析式為，
將點(diǎn)代入中，得，
整理得：，
，且，為正整數(shù)，
，
，為正整數(shù)，且，
當(dāng)，時(shí)，
解得：，；
當(dāng)，時(shí)，
解得：，．
，或，．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)特三角函數(shù)求角度，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
62．（2023?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線過點(diǎn)，對稱軸是直線．
（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求出此三角形的邊長；
（3）已知點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式求出，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式即可求的值，從而確定函數(shù)解析式；
（2）設(shè)直線所在的直線為，當(dāng)時(shí)，，，可得，點(diǎn)到直線的距離為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，求出的值即可求三角形的邊長；
（3）設(shè)，，根據(jù)菱形的對角線分三種情況討論，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間距離公式建立方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）對稱軸是直線，
，
解得，
，
將點(diǎn)代入，可得，
函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
頂點(diǎn)；
（2）設(shè)直線所在的直線為，
當(dāng)時(shí)，，，
，
，
點(diǎn)到直線的距離為，
是等邊三角形，
，即，
解得或（舍，
三角形的邊長為；
（3）在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由如下：
設(shè)，，
①當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，
，
解得，
；
②當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，
，
解得或（舍，
；
③當(dāng)為菱形對角線時(shí)，，
，
解得或，
或；
綜上所述：點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
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