1．拋擲同一枚硬幣兩次，若事件“至少有一次正面朝上”，則事件（ ）
A．兩次均正面朝上B．至多有一次正面朝上
C．兩次均反面朝上D．至少有一次反面朝上
2．甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，則兩人拋出的點數(shù)之和為4的概率為（ ）
A．B．C．D．
3．函數(shù)的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
4．兩雙不同的鞋，其中一雙的兩只記為．另一雙的兩只記為．從中隨機(jī)取出2只，記事件“取出的鞋不成雙”；“取出的鞋都是同一只腳的”．則（ ）
A．包含于B．C．與互斥D．
5．過原點的直線與及的圖象都相切，則實數(shù)的值為（ ）
A．0B．1C．D．
6．正項數(shù)列的前項和為，首項，已知函數(shù)有且僅有兩個零點，則（ ）
A．120B．125C．57D．247
7．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，都有，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知橢圓和雙曲線有公共焦點（為上焦點），橢圓與雙曲線在第一象限交于點，直線交軸于點，且平分，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．甲，乙兩個體育社團(tuán)小組成員的某次立定跳遠(yuǎn)成績（單位：厘米）如下：
甲組：
乙組：
則下列說法正確的是（ ）
A．甲組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是
B．乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是
C．從甲、乙兩組各隨機(jī)選取一個成員，兩人跳遠(yuǎn)成績均在厘米以上的概率為
D．乙組中存在這樣的成員，將其調(diào)派到甲組后，甲、乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都降低
10．橢圓的左、右焦點分別為，點在上，圓是以橢圓的短軸為直徑的圓，為圓的一條直徑（在第一象限），直線與圓的另一個交點為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則的面積為
B．若，則直線被橢圓截得的弦長為
C．若是以為其中一腰的等腰三角形，則滿足條件的點有6個
D．若為與軸正半軸的交點，，則直線的斜率為
11．定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，的導(dǎo)函數(shù)為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，下列說法一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
12．經(jīng)過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于點，且，則 ．
13．若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是 ．
14．對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題
15．記是公差大于0的等差數(shù)列的前項和，，且成等比數(shù)列．
(1)求和．
(2)若，證明：數(shù)列的前項和．
16．某中學(xué)高二年級舉行了一次知識競賽，為了了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計，將成績進(jìn)行整理后，分為六組（如圖）：

(1)求的值，并估計本次競賽成績的平均分．
(2)如果用按比例分層抽樣的方法從樣本成績?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取6人，再從6人中選2人，求2人中有來自組的學(xué)生的概率．
(3)某老師在此次競賽成績中抽取了6名學(xué)生的分?jǐn)?shù)：，已知這6個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，若再抽取兩名分?jǐn)?shù)分別為82和88的學(xué)生，求這8個分?jǐn)?shù)的方差．
17．如圖，三棱柱的各棱長均相等，是棱的中點，平面．
(1)求證：平面．
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
18．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若當(dāng)時，存在極大值，求實數(shù)的取值范圍；
(3)證明：函數(shù)存在零點的充要條件是．
19．雙曲線的離心率為，斜率為的直線和斜率為的直線均過原點，且分別與的右支交于點和點．
(1)求實數(shù)的值；
(2)作斜率為的過原點的直線（異于）與的右支分別交于點，記的面積為．
（i）求證：：
（ii）若，且，記，證明：．
1．C
利用對立事件的定義求解即可.
【詳解】因為事件“至少有一次正面朝上”，
所以由對立事件的定義得事件“兩次均反面朝上”，故C正確.
故選：C
2．B
先求出總事件數(shù)，再求出符合條件的事件數(shù)，最后利用古典概型概率公式求解概率即可.
【詳解】因為甲、乙兩人各拋擲一枚骰子，所以共有種情況，
符合條件的有，共種，
且設(shè)概率為，則，故B正確.
故選：B
3．B
利用特殊值排除A，C，D，進(jìn)而得到正確結(jié)果即可.
【詳解】對于，有，，
下面，我們開始分析選項，對于A，C，不滿足，故A，C錯誤，
對于D，不滿足，故D錯誤，
對于B，滿足的全部性質(zhì)，故B正確.
故選：B
4．D
列出所有基本事件，由古典概型概率公式及和事件加法公式即可求解；
【詳解】隨機(jī)取出2只，所有可能結(jié)果：；；；； ；；
包含：；； ；；
包含：；；
包含：；；
對于A： 包含，故錯誤；
對于B：，故錯誤；
對于C：與可以同時發(fā)生，故錯誤；
對于D：，正確；
故選：D
5．A
設(shè)出和的切點，求出切線方程為，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，進(jìn)而得到和的切點為，再代入中，建立方程，求解參數(shù)即可.
【詳解】因為切線方程過原點，所以設(shè)切線方程為，
且設(shè)和的切點為，
因為，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，
則切線方程為，將代入方程，得到，
解得，則切線方程為，設(shè)和的切點為，
且，由斜率的幾何意義得，解得，
代入中，得到切點為，代入中，
得到，解得，故A正確.
故選：A
6．A
利用給定條件分析得到有且僅有一個根，再利用判別式得到，繼續(xù)構(gòu)造等比數(shù)列求出，最后利用公式法求和得到，最后求解即可.
【詳解】因為，
所以，而，
則方程有且僅有一個根，
得到，即，
而是正項數(shù)列，得到，
則，又，得到，
令，，且，
得到是首項為，公比為的等比數(shù)列，
則，得到，即，
故，得到，故A正確.
故選：A
7．C
通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合兩角和差的正弦公式對各個選項進(jìn)行大小比較即可.
【詳解】因為，所以，.
由，得，
則，即，
設(shè)，則，
可得，則在定義域上單調(diào)遞減，
對于A，可得，則，
得到，即，故A錯誤，
對于B，可得，則，
得到，即，故B錯誤，
對于C，可得，則，
而由兩角和的正弦公式得，
得到，故C正確，
對于D，可得，則，
而由兩角和的正弦公式得，
得到，故D錯誤.
故選：C
8．B
設(shè)，根據(jù)雙曲線和橢圓定義得，再利用角分線定理得，最后根據(jù)余弦定義和余弦定理得到方程，解出值，即可得到離心率.
【詳解】如圖所示，設(shè)雙曲線的實軸長為，由題意：，
不妨令，，得：．
由角平分線定理：，即：，
，一方面：，
另一方面：，
(負(fù)舍)，
故雙曲線的離心率為：.
故選：B.

9．BCD
利用總體百分位數(shù)的估計判斷A，利用眾數(shù)的特征判斷B，分別設(shè)出事件，表示概率，結(jié)合獨立事件的概率公式判斷C，求出兩個組的平均數(shù)后判斷D即可.
【詳解】對于A，由題意得甲組數(shù)據(jù)共有個數(shù)字，
而，則第百分位數(shù)是第個數(shù)和第個數(shù)的平均數(shù)，
為，故A錯誤，
對于B，我們發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)了次，其它數(shù)據(jù)只出現(xiàn)了次，
則乙組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是，故B正確，
對于C，甲組中跳遠(yuǎn)成績在厘米以上的有7人，其概率為，
乙組中跳遠(yuǎn)成績在厘米以上的有人，其概率為，
而從甲，乙兩組各隨機(jī)選取一個成員，設(shè)從甲組抽取為事件，
從乙組抽取為事件，兩人跳遠(yuǎn)成績均在厘米以上的概率為，
得到，，而相互獨立，
由獨立事件概率公式得，故C正確；
對于D，甲組的平均成績?yōu)槔迕祝?br>乙組的平均成績?yōu)槔迕祝?br>則將乙組中跳遠(yuǎn)成績?yōu)槔迕谆蚶迕谆蚶迕椎某蓡T調(diào)派到甲組后，
甲，乙兩組的跳遠(yuǎn)平均成績都有降低，故D正確.
故選：BCD
10．AD
對于A，根據(jù)橢圓的定義及余弦定理可得，故求出焦點三角形的面積后可判斷正誤，對于B，根據(jù)可求得，從而可得直線及方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后求出交點坐標(biāo)得弦長后可判斷其正誤，對于C，由題設(shè)條件求出的坐標(biāo)后可判斷其正誤，對于D，由題設(shè)條件可求到直線的距離，求出的斜率后得其直線方程，再聯(lián)立直線方程和圓的方程求出的坐標(biāo)得的坐標(biāo)，故可求直線的斜率，故可判斷D的正誤.
【詳解】由題設(shè)，橢圓，得，
則，，
對于A，因為在橢圓上，所以，
而，即，
則，得，故，
所以，故A正確；
對于B，若，則，
又，故，
故，故直線的斜率為，
故直線的方程為，
由可得，故或，
故直線被橢圓截得的弦長為，故B錯誤；
對于C，設(shè)，則，即，，
因為是以為其中一腰的等腰三角形，，
故或，
當(dāng)時，則，
解得或（舍），故，
可知滿足條件的有2個，即，
由橢圓的對稱性可知時，滿足條件的有2個，
所以滿足條件的共有4個點，故C錯誤；
對于D，由題意，圓的半徑為，
設(shè)，則，設(shè)的中點為，連接，
則，故，
又，
則，故，
故，
因為在第一象限，故在第三象限，
故的斜率存在且為正數(shù)，設(shè)直線的斜率為，
則直線，則，故，
則直線，又圓，
由可得，解得或，
故，則，得，
故，故，故D正確.

故選：AD.
11．ACD
根據(jù)函數(shù)奇偶性和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得的圖象關(guān)于對稱，再次求導(dǎo)得關(guān)于直線對稱，再通過計算得到其對稱中心，從而得到其最小正周期，最后一一分析即可.
【詳解】由為偶函數(shù)，得：，
故，
令，
則：，
即：的圖象關(guān)于對稱；
繼續(xù)求導(dǎo)，得：，
即：關(guān)于直線對稱．
又由為奇函數(shù)，得：，
即：的圖象以為對稱中心.
是周期為的周期函數(shù)，
也是周期為的周期函數(shù)．
對于A，，故A正確；
對于B，，而題設(shè)條件無法支撐B錯，
對于C，根據(jù)對稱性，因為關(guān)于對稱，則，
又因為的周期，則，
又因為關(guān)于直線對稱，則，
則，
，C對；
對于D，同樣根據(jù)對稱性，，
故，D對.
故選：ACD
12．
先求出直線方程，再把其和拋物線聯(lián)立。利用韋達(dá)定理得到，最后利用焦半徑公式建立方程，求解參數(shù)即可.
【詳解】設(shè)，，直線斜率為，
因為傾斜角為，所以，則直線方程為，
聯(lián)立方程組，得到，
由韋達(dá)定理得，由焦半徑公式得，
，
因為，所以，解得.
故答案為：
13．
先對求導(dǎo)，再對分類討論，分析其有兩個零點的情況，進(jìn)而建立不等式，求解參數(shù)范圍即可.
【詳解】因為，所以，
當(dāng)時，，則此時單調(diào)遞增，得到不可能有兩個零點，
當(dāng)時，令，，令，，
得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
因為函數(shù)有兩個零點，
所以需有，
而，此時滿足，解得，則實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
14．
分離參數(shù)得，再設(shè)，證明其單調(diào)性，最后根據(jù)洛必達(dá)法則即可得到答案.
【詳解】由題意：對恒成立，
設(shè)，則，
設(shè)，
則，
因為，則，，，
設(shè)，，則，則在上單調(diào)遞增，
則，則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，又，故，故在上單調(diào)遞增，
又，
故.
故答案為：.
15．(1)；
(2)證明見解析
（1）首先設(shè)出公差，利用等比中項的性質(zhì)建立方程，解出公差，進(jìn)而求出，再利用公式法求和得到即可.
（2）利用給定條件得到，進(jìn)而結(jié)合裂項相消法得到，最后利用證明即可.
【詳解】（1）因為是公差大于0的等差數(shù)列，
所以設(shè)公差為，因為成等比數(shù)列，
所以，即，
解得或，因為，所以符合題意，
則，.
（2）由上問得，因為，
所以，則，
得到，
因為，所以，得到，即得證.
16．(1)；
(2)
(3)
（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求出參數(shù)值，再求解平均數(shù)即可.
（2）利用分層抽樣的性質(zhì)求出每一部分的學(xué)生數(shù)，再結(jié)合古典概型概率公式求解概率即可.
（3）結(jié)合題意算出新的平均數(shù)和，再利用方差公式求解方差即可.
【詳解】（1）因為小長方形面積和為，
所以，
解得，而設(shè)平均分為，
得到，
，
即本次競賽成績的平均分為分.
（2）若從樣本成績?yōu)楹偷膶W(xué)生中共抽取6人，
且成績在的人數(shù)為人，
在的人數(shù)為人，
即從的學(xué)生中取人，從中取人，
設(shè)這名學(xué)生分別為，2人中有來自組的學(xué)生的概率為，
則基本事件為，
，共有種基本事件，
符合條件的有，共種，
則，故2人中有來自組的學(xué)生的概率為.
（3）因為這6個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，
所以這6個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為分，，
則，解得，
設(shè)新的方差為，
，則這8個分?jǐn)?shù)的方差為.
17．(1)證明見解析
(2)
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)和關(guān)鍵平面的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明求解即可.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點的坐標(biāo)和關(guān)鍵平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即可.
【詳解】（1）因為三棱柱的各棱長均相等，
所以不妨設(shè)棱長為，則，
得到是等邊三角形，因為是的中點，
所以，且平面，
如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
因為平面，所以，
因為是棱的中點，
所以，而，由勾股定理得，
同理可得，則，，，，
，，由中點坐標(biāo)公式得，，
由題意得，則，設(shè)，
故，得到，，即，
由中點坐標(biāo)公式得，則，
，，設(shè)面的法向量為，
得到，，
令，解得，，故，
則，而面，故平面.
（2）由上問得，，，
，，則，，
，設(shè)面的法向量為，
則，，
令，解得，，得到，
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
18．(1)答案見解析；
(2)；
(3)證明見解析.
（1）求導(dǎo)得，再利用二次函數(shù)性質(zhì)對導(dǎo)函數(shù)分子分類討論即可；
（2）根據(jù)極大值的特點得到不等式組，解出即可；
（3）分離參數(shù)，等價轉(zhuǎn)化為在有解，再設(shè)新函數(shù)，多次求導(dǎo)得到其值域即可.
【詳解】（1）由，
得：，
令，對稱軸為：，
當(dāng)，即時，，所以，即恒成立，
此時的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；
當(dāng)時，即，
若，即，此時，即恒成立，
此時的單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；
若，即，拋物線開口向上，與軸有兩個交點；
令，可得：，
此時在，，即，
在，，即，
在，，即，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間：和，
單調(diào)遞減區(qū)間：；
綜上所述：時，單調(diào)增區(qū)間是，無減區(qū)間；
當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間：和，單調(diào)遞減區(qū)間：；
（2）由（1）可知，若時，存在極大值，結(jié)合（1）中單調(diào)性知：
需滿足，解得，
所以實數(shù)的取值范圍.
（3），
存在零點在有解在有解，
令，，
令，顯然與同號，
對恒成立，在上單調(diào)遞增，
注意到：，
當(dāng)時，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
，當(dāng)時，，.
當(dāng)時，由于，
故方程有解，有零點．證畢．
19．(1)16
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
（1）根據(jù)離心率公式得到方程，解出即可；
（2）（i）通過聯(lián)立方程求出，，，的坐標(biāo)，再利用兩點斜率公式即可證明平行；
（ii）利用點到直線的距離公式和三角形面積公式求出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，最后再利用放縮和裂項相消法即可證明不等式.
【詳解】（1）雙曲線的離心率，，.
（2）（i）聯(lián)立：，
即：，
同理，有：．
，
同理，有：，
.
比較可得：．
（ii）由（i）知：當(dāng)時，．
，且.
同理有：，
到的距離.
.
令，則，
令，解得，令，解得，
則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，
，當(dāng)時，；當(dāng)時，，
因此，
，
.
又時，.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
D
A
A
C
B
BCD
AD
題號
11









答案
ACD









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