滿分 150 分，考試用時 120 分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號?考場號?座位號在答題卡上填寫.
2.每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦
干，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的）
1. 已知復(fù)數(shù) 滿足 （ 為虛數(shù)單位），則 （ ）
A. B. C. D.
2. 集合 的非空真子集個數(shù)為（ ）
A. 14 B. 15 C. 30 D. 31
3. 已知函數(shù) ，則 的值是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
4. 已知等比數(shù)列 的公比為 ，則“ ”是“ ， ， ”成等差數(shù)列的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分又不必要條件
5. 現(xiàn)有 五人站成一排，則 相鄰且 不相鄰的排法種數(shù)共有（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
6. 已知點 ，若點 滿足 ，則點 到直線
的距離的最大值為（ ）
A 4 B. 5 C. 6 D. 7
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7. 已知函數(shù) ，若存在 滿足 ，則
的值為（ ）
A. B. C. D.
8. 若 ， ，且 ，則（ ）
A B. C. D.
二?多項選擇題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項是
符合題目要求的.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分）
9. 已知向量 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若 ，則
B. 若 ，則
C. 若 在 上 投影向量為 ，則向量 與 的夾角為
D. 的最大值為 3
10. 半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.按照以下方
式可構(gòu)造一個半正多面體：如圖，在一個棱長為 4 的正方體中，
， ，過 三點可做一截面，類似地，
可做 8 個形狀完全相同的截面.關(guān)于該幾何體，下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng) 時，該幾何體是一個半正多面體
B. 若該幾何體是由正八邊形與正三角形圍成的半正多面體，則邊長為
第 2頁/共 5頁
C. 若該幾何體是由正方形與正三角形圍成的半正多面體，則體積為
D. 該幾何體可能是由正方形與正六邊形圍成的半正多面體
11. 已知點 ，曲線 ，則下列說法正確的是（ ）
A. 曲線 上存在點 ，使得
B. 直線 與曲線 沒有交點
C. 若過點 的直線 與曲線 有三個不同的交點，則直線 的斜率的取值范圍是
D. 點 是曲線 上在第三象限內(nèi)的一點，過點 向直線 與直線 作垂線，垂足分別為 ，
則
三?填空題（本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分）
12. 若 的展開式中的常數(shù)項為 0，則 __________.
13. 已知三棱錐 如圖所示， 兩兩垂直，且 ，點 分別是棱
的中點，點 是棱 上靠近點 的三等分點，則空間幾何體 的體積為__________.
14. 已知 中內(nèi)角 滿足 ，若在邊 上各
取一點 ，滿足 ， ，則角 __________，三角形 的面積的
最大值是__________.
四?解答題（共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
15. 某工廠的生產(chǎn)線上的產(chǎn)品按質(zhì)量分為：一等品，二等品，三等品.質(zhì)檢員每次從生產(chǎn)線上任取 2 件產(chǎn)品
進行抽檢，若抽檢出現(xiàn)三等品或 2 件都是二等品，則需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整.已知該工廠某一條生
第 3頁/共 5頁
產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品每件為一等品，二等品，三等品的概率分別為 0.9，0.05 和 0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量情況
互不影響.
（1）求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；
（2）若質(zhì)檢員一天抽檢 3 次，以 表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望.
16. 如圖，側(cè)面 水平放置的正三棱臺 ，側(cè)棱長為 為棱 上
的動點.
（1）求證： 平面 ；
（2）是否存在點 ，使得直線 與平面 所成角的正弦值為 ？若存在，求出點 ；若不存在，
請說明理由.
17. 已知數(shù)列 和 滿足 .記數(shù)列 和
滿足 .
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）記數(shù)列 前 項和為 ，求 .
18. 若定義域為 的函數(shù) 滿足：① ；② 對任
意 且 恒成立，則稱 具有性質(zhì) .
（1）證明：函數(shù) 具有性質(zhì) ；
（2）判斷函數(shù) 是否具有性質(zhì) ，并說明理由；
第 4頁/共 5頁
（3）記 ，若 具有性質(zhì) ，求實數(shù) 的值.
19. 已知雙曲線 的漸近線方程為 ，點 在 上.按如下方式構(gòu)造
點 ：過點 作斜率為 1 的直線與 的左支交于點 ，點 關(guān)于 軸的對稱點為
，記點 的坐標(biāo)為 為坐標(biāo)原點.
（1）求 的面積；
（2）記 ，證明：數(shù)列 為等比數(shù)列；
（3） 分別為線段 中點，記 的面積分別為 .判斷 是否為定
值，如果是定值，求 的值；如果不是，請說明理由.
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