一、單選題
1. 有4件不同款式的上衣和8條不同顏色的長(zhǎng)褲，若一件上衣與一條長(zhǎng)褲配成一套，則不同的配法種數(shù)為（ ）
A. 12B. 32C. 44D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可求解.
【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的配法種數(shù)為：.
故選：B.
2. 展開后，共有（ ）項(xiàng).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理計(jì)算得解.
【詳解】由多項(xiàng)式乘法法則得展開式共有項(xiàng).
故選：A
3. 計(jì)算的值為（ ）
A. 24B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算方法求解即可.
詳解】.
故選：.
4. 函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得，和的幾何意義，結(jié)合圖像可得解.
【詳解】由函數(shù)的圖像可知，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，，.
隨著的增大，曲線在每個(gè)點(diǎn)處的斜率在逐漸減小，即導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減的，
.
故選：A.
5. 已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)列式求解.
【詳解】由，求導(dǎo)得，而函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
則在內(nèi)有解，即，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C
6. 甲校3人、乙校2人、丙校1共6人站成一排合影，要求同校人員不相鄰，則不同排法共有（ ）
A. 48 種B. 96 種C. 120 種D. 144種
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)甲校3人不相鄰分類討論他們的位置，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)榧仔?人不相鄰排列，所以有以下情形的排列方式：
第一類，甲校3人分別在第一、第三、第五個(gè)位置，則有種排法；
第二類，甲校3人分別在第一、第三、第六個(gè)位置，則有種排法；
第三類，甲校3人分別在第一、第四、第六個(gè)位置，則有種排法；
第四類，甲校3人分別在第二、第四、第六個(gè)位置，則有種排法；
因此不同排法共有種，
故選：C
7. 若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)為，,等價(jià)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求出單調(diào)區(qū)間和最大值即得解.
【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，, 由題得，所以切線的斜率為，
所以切線方程為，
所以，
所以有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.
所以，
所以.
故選：D
8. 對(duì)于連續(xù)函數(shù)，若，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).下列所給的函數(shù)中，沒有不動(dòng)點(diǎn)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，令，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷各選項(xiàng)有無(wú)不動(dòng)點(diǎn)即可.
【詳解】由可得.令.
對(duì)于選項(xiàng)A，，則.
令，解得；令，解得，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，即有不動(dòng)點(diǎn)1，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，，
則.
令，解得；令，解得，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，且當(dāng)時(shí)，，
∴由零點(diǎn)存在性定理可知：存在，使，
即有不動(dòng)點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，，則.
令，解得；令，解得或，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
又，且當(dāng)時(shí)，，
∴由零點(diǎn)存在性定理可知：存在，使，
即有不動(dòng)點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，，則.
令，解得；令，解得，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴，故函數(shù)無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.
故選：D.
本題的解題關(guān)鍵在于將方程是否有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷各選項(xiàng)有無(wú)不動(dòng)點(diǎn)即可.
二、多選題
9. 下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A. 一個(gè)函數(shù)的極大值一定大于極小值
B. 曲線的切線可能與該曲線有不止一個(gè)公共點(diǎn)
C. 函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值，一定在極大值點(diǎn)處取到
D. 若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則它的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上滿足
【答案】ACD
【解析】
【分析】舉例判斷AB的正確性，對(duì)CD根據(jù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)可直接判斷.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：函數(shù)的極值是局部性質(zhì)，極大值與極小值的大小不定，
比如，在處有極大值，在處有極小值，極大值小于極小值，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B選項(xiàng)：函數(shù)在處的切線為，與有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故B正確；
對(duì)C選項(xiàng)：函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，有可能在極大值點(diǎn)出取得，也由可能是在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則它的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上滿足，故D錯(cuò)誤.
故選：ACD
10. 某市地鐵按照乘客乘坐的站數(shù)實(shí)施分段優(yōu)惠政策，不超過(guò)9站的地鐵票價(jià)如下表：現(xiàn)有小明、小華兩位乘客同時(shí)從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過(guò)9站，且他們各自在每個(gè)站下地鐵的可能性相同，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種
B. 若小明、小華兩人共花費(fèi)5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種
C. 若小明、小華兩人共花費(fèi)6元，則小明、小華下地鐵的方案共有27種
D. 若小明、小華兩人共花費(fèi)6元，則小明比小華先下地鐵的方案共有12種（同一地鐵站出站不分先后）
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理可求答案.
【詳解】?jī)扇斯不ㄙM(fèi)5元分為兩類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)3元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有種，
同理小明花費(fèi)3元，小華花費(fèi)2元時(shí)，兩人下地鐵的方案也是種，所以共有18種，A不正確，B正確.
兩人共花費(fèi)6元分為三類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)4元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有種；
小明花費(fèi)3元，小華花費(fèi)3元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有種；
小明花費(fèi)4元，小華花費(fèi)2元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有種，
共有27種，C正確.
小明比小華先下地鐵有兩類：小明花費(fèi)2元，小華花費(fèi)4元，此時(shí)兩人下地鐵的方案有種；
小明和小華均花費(fèi)3元，小明比小華先下地鐵僅有3種方案，所以共有12種方案，D正確.
故選：BCD
11 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先構(gòu)造，再根據(jù)求導(dǎo)證明，再放縮即可判斷A；先構(gòu)造，再根據(jù)求導(dǎo)證明，由，再放縮即可判斷B；取特殊值，得到，代入即可判斷C；先根據(jù)題意得到，令，從而得到，，再構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求函數(shù)最小值即可判斷D．
【詳解】由，得，
又，則，解得，
對(duì)于A，構(gòu)造，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以，即，故A正確；
對(duì)于B，構(gòu)造，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
又，所以，
所以，即，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則，
又，則，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，則，所以，
令，則，，所以，
設(shè)，，則，
令，，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，則，
所以在上單調(diào)遞增，則，所以，故D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：比較式子的大小，要善于對(duì)已知條件變形，恰當(dāng)變形可結(jié)合，，放縮后判斷AB選項(xiàng)，變形，再令，變形，是判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵，變形到此處，求導(dǎo)得最小值即可．
三、填空題
12. 已知，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算得解.
【詳解】依題意，，所以.
故答案為：
13. 如圖，5塊相同的正方體壘放在桌子上，每次“變化”會(huì)隨機(jī)讓其中某塊正方體消失，直到所有正方體全部消失不見．如果某次被“變化”的正方體的正上方仍有其他正方體，那么它正上方的正方體會(huì)豎直掉落下來(lái)，我們稱發(fā)生了“坍塌”．5次“變化”叫一次“操作”，則所有的“操作”中，發(fā)生過(guò)坍塌的“操作”次數(shù)為______．
【答案】110
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出5次“變化”不發(fā)生“坍塌”的次數(shù)，再利用排除法求解.
【詳解】依題意，5次“變化”中，壘放在左側(cè)3個(gè)、右側(cè)的2個(gè)正方體都按由上至下的次序消失，不發(fā)生“坍塌”，
因此不發(fā)生坍塌的“操作”次數(shù)為，
所以所有的“操作”中，發(fā)生過(guò)坍塌的“操作”次數(shù)為.
故答案為：110
14. ，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
分析】根據(jù)給定條件，取可得或，再變形給定不等式分離參數(shù)求出范圍.
【詳解】由，恒成立，得當(dāng)時(shí)，，
即，整理得或，解得或，
，不等式，
令，求導(dǎo)得，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
令函數(shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
當(dāng)時(shí)，，由恒成立，得恒成立，而，則，
當(dāng)時(shí)，，由恒成立，得恒成立，則，，
當(dāng)時(shí)，若，則，，不等式成立，
若，則，，不等式成立，
因此當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，不等式對(duì)恒成立，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
四、解答題
15. （1）求值:
（2）求不等式：的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【詳解】（1）；
（2）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)可得，解得，所以不等式解集為．
16. 已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行．
（1）求；
（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值，無(wú)極大值
【解析】
【分析】（1）由于函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，則求解即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性求解極值即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，所以?br>由于函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸平行，
所以，即，所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，所以，
的定義域?yàn)椋海?br>令，解得（舍去）或
若時(shí)，，單調(diào)遞減；
若時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，有極小值為，無(wú)極大值.
17. 已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在處有極值為10，求b的值；
（2）對(duì)任意，在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用已知條件可列出方程組，求出的兩組解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而利用函數(shù)的恒成立問(wèn)題即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，,
又函數(shù)在處有極值為10，
，或，
當(dāng)，時(shí)，，
令，則或，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，
滿足函數(shù)在處有極值為10；
當(dāng)，時(shí)，，
則函數(shù)無(wú)極值點(diǎn).
的值為.
【小問(wèn)2詳解】
對(duì)任意，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在任意，恒成立，
記，
，在上單調(diào)遞增，
在恒成立，
令，
函數(shù)對(duì)稱軸為，，
，的最小值為.
18. 已知函數(shù)．
（1），討論的單調(diào)性；
（2），，若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）寫出函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)其求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0即可討論出單調(diào)性；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)其求二階導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，寫出單調(diào)區(qū)間利用函數(shù)有唯一零點(diǎn)即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
px=xalgax,x>0，則，
令得，
當(dāng)時(shí)，
，，單調(diào)遞增；
，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，
，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增；
【小問(wèn)2詳解】
，則，
考慮函數(shù)，注意到，
則有唯一解，
則，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增；
注意到，，注意到alna2a>1alna1a，
且?alna2a=alna2?2lnalnaalna=a3lna?2lnalnaalna>0，
則恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，
即
19. 設(shè)．
（1）求證：直線與曲線相切；
（2）設(shè)點(diǎn)P在曲線上，點(diǎn)Q在直線上，求的最小值；
（3）若正實(shí)數(shù)a，b滿足：對(duì)于任意，都有，求的最大值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)直線方程求出斜率即可得出切點(diǎn)，便可得出證明；
（2）根據(jù)題意可將直線向曲線平移，當(dāng)平移到相切位置時(shí)取最小值，求出切點(diǎn)到直線的距離即可求得結(jié)果；
（3）將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問(wèn)題，即可得需滿足，即可知，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)，即可得的最大值為.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)直線與相切于點(diǎn)，
易知，則斜率，解得，即切點(diǎn)為；
此時(shí)切線方程為，即，
所以可得直線是曲線在點(diǎn)處的切線方程；
【小問(wèn)2詳解】
根據(jù)題意，將直線往靠近曲線的方向平移，
當(dāng)平移到直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)P與直線間的距離最近，
設(shè)切線方程為，
由（1）可知，當(dāng)切線斜率為時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)切線方程為，
此時(shí)，從點(diǎn)向直線作垂線，垂足為，此時(shí)取最小值，
即，
所以的最小值為；
【小問(wèn)3詳解】
若對(duì)于任意，都有，即可得恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，
所以在處取得最小值，
即滿足即可，
即，
由可得，
設(shè)，則，
令可得，
即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
所以，
即
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性并求得最值，即可實(shí)現(xiàn)不等式問(wèn)題求解.
站數(shù)
票價(jià)/元
2
3
4

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