數(shù)學(xué)試題
命題：毛閏 熊盛吉 審核：吉士欽 打?。盒苁⒓? 校對(duì)：楊茂
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知數(shù)列，則通過(guò)該數(shù)列圖象上所有點(diǎn)的直線的斜率為（ ）
A．B．1C．2D．
2．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（ ）
A．B．C．D．
3．圓與圓交于兩點(diǎn)，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，則點(diǎn)的軌跡方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比，則的最大值為（ ）
A．16B．32C．64D．128
6．已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，且線段的中點(diǎn)在以為直徑的圓上，則三角形的面積為（ ）
A．B．C．4D．6
7．設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：成等差數(shù)列；乙：成等差數(shù)列，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．已知直線l與焦點(diǎn)為F的拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為（ ）
A．B．C．3D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分．
9．已知曲線．（ ）
A．若，則E是一條直線
B．若，則E是圓，其半徑為
C．若，則E是雙曲線，其焦點(diǎn)在y軸上
D．若E的離心率是，則
10．設(shè)首項(xiàng)為1的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列不是等比數(shù)列
C．D．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列
11．如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為，點(diǎn)P為兩曲線位于第一象限的公共點(diǎn)，且，I為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，x軸上的點(diǎn)A，B滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．平分D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則符合條件的a的一個(gè)值為 ．
13．設(shè)是雙曲線上的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是，則直線的斜率為 ．
14．甲、乙、丙、丁四人玩報(bào)數(shù)游戲：第一輪，甲報(bào)數(shù)字1，乙報(bào)數(shù)字2，3，丙報(bào)數(shù)字4，5，6，丁報(bào)數(shù)字7，8，9，10：第二輪，甲報(bào)數(shù)字11，12，13，14，15，依次循環(huán)，直到報(bào)出數(shù)字2025，游戲結(jié)束，則甲在第8輪報(bào)了 個(gè)數(shù)字，報(bào)出數(shù)字2025的人是 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
15．?dāng)?shù)列中，．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列：
(2)求滿足的n的最小值．
16．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是．
(1)求的外接圓M的方程；
(2)一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切，求反射光線所在的直線方程．
17．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是C上一點(diǎn)，，且的面積為4．
(1)求p的值；
(2)設(shè)點(diǎn)P在第一象限，過(guò)點(diǎn)的直線交C于兩點(diǎn)，直線分別與y軸相交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．
18．已知首項(xiàng)不為0的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)用含的代數(shù)式表示t，并求t的最大值；
(2)若且為正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若為等比數(shù)列，試求出所有滿足條件的常數(shù)t的值．
19．已知雙曲線，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：直線與雙曲線E的右支交于兩點(diǎn)（在的上方），過(guò)且斜率為的直線與過(guò)且斜率為1的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于的直線．
(1)求的取值范圍；
(2)判斷是否共線，并說(shuō)明理由；
(3)證明：為定值．
1．D
【分析】根據(jù)已知得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)斜截式得出斜率即可.
【詳解】由，可知，
當(dāng)時(shí)，，即，
數(shù)列為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，
所以，（，），
所以通過(guò)該數(shù)列圖象上所有點(diǎn)的直線的斜率為，
故選：D．
2．B
【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)可知，、、成等差數(shù)列，由此可求得的值.
【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，則、、成等差數(shù)列，
則，所以，.
故選：B.
3．A
【分析】由兩圓方程相減即可求解；
【詳解】①，②，.
②?①化簡(jiǎn)可得，
方程為，
故選：A．
4．B
【分析】根據(jù)已知條件和斜率公式列出等式化簡(jiǎn)可得.
【詳解】
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>由已知，，化簡(jiǎn)得，
故選：B．
5．C
【分析】可根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)公式寫出的表達(dá)式，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】，則，
當(dāng)或4時(shí)，表達(dá)式取得最大值：．
故選：C．
6．A
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，確定為等邊三角形即可求解；
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，
則，
于是，
又，則為正三角形，即．
故選：A．
7．C
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得選項(xiàng).
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.
①∵成等差數(shù)列，
∴，即，
∴，即，
∴，故成等差數(shù)列，充分性成立.
②∵成等差數(shù)列，∴，故，解得，
∴，
∴，
∴，
∴成等差數(shù)列，必要性成立.
綜上得，甲是乙的充要條件.
故選：C.
8．A
【分析】如圖，利用中位線定理和余弦定理的應(yīng)用可得，結(jié)合計(jì)算即可求解.
【詳解】設(shè)，過(guò)點(diǎn)M，N分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
則，如圖，
因?yàn)辄c(diǎn)A為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，
在中，由余弦定理得，
所以，
又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），
所以，
即的最小值為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決本題的思路是利用余弦定理的應(yīng)用得出，結(jié)合分析即可求解.
9．ABC
【分析】選項(xiàng)A，B，C直接代入結(jié)合直線，圓和雙曲線分析可判斷，選項(xiàng)D根據(jù)離心率小于可知是橢圓，化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后結(jié)合的范圍由可求解.
【詳解】若時(shí)，E即，表示直線y軸，A正確；
若表示圓，其半徑為，故B正確；
若表示雙曲線，且焦點(diǎn)在y軸上，故C正確；
由題意，E是橢圓，則且
當(dāng)時(shí)，，故，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，故，所以，解得，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
10．ACD
【分析】通過(guò)構(gòu)造法可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，選項(xiàng)A正確；根據(jù)選項(xiàng)A求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可得選項(xiàng)C正確；根據(jù)可得選項(xiàng)D正確.
【詳解】由題意，可知，
∵，∴，
∴數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；
由A得，，∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，滿足上式，∴，
∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∵，∴，故選項(xiàng)C正確；
∵，∴，
∴數(shù)列是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD．
11．ACD
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓、雙曲線定義及余弦定理求解判斷AB；利用橢圓、雙曲線定義，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理求解判斷CD.
【詳解】設(shè)，而橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，
由雙曲線的定義，得，由橢圓的定義，得，
則，又，
由余弦定理得：，
即，整理得，
對(duì)于A，，即，A正確；
對(duì)于B，，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，又平分，則，由，得，
則，C正確；
對(duì)于D，由為的內(nèi)心，得為的角平分線，則，同理，
則，于是，即，
由，得，則，又三點(diǎn)共線，
即為的角平分線，又平分，則有，
而，則，即，
由，得，即，由選項(xiàng)B知，，D正確．
故選：ACD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：是的角平分線，則.
12．或4
【分析】由點(diǎn)到線的距離公式列出等式求解即可；
【詳解】?jī)牲c(diǎn)到直線的距離相等，則，
解得或4．
故答案為：或4
13．1
【分析】設(shè)，通過(guò)點(diǎn)差法即可求解；
【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)
在雙曲線上，，兩式相減得，
則，則．
此時(shí)，即，聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).
故答案為：1
14． 29 丁
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)計(jì)算第8項(xiàng)，再結(jié)合等差數(shù)列前n和公式計(jì)算求解.
【詳解】第一輪，甲報(bào)數(shù)字1個(gè)，第二輪，甲報(bào)數(shù)字5個(gè)，所以甲第n輪報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)是以1為首項(xiàng)以4為公差的等差數(shù)列，
甲第n輪報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，故甲在第8輪報(bào)了29個(gè)數(shù)．
甲在第n輪報(bào)的第1個(gè)數(shù)為，
令，有，即甲第17輪報(bào)的第1個(gè)數(shù)為2081，
且丁第16輪報(bào)了個(gè)數(shù)，，故報(bào)出2025的人是?。?br>故答案為：29；丁.
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）兩邊同時(shí)除以即可；
（2）先裂項(xiàng)相消求和，然后解不等式.
【詳解】（1），又，
∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
.
（2）由（1）知，，
，
，
，的最小值為11．
16．(1)
(2)或．
【分析】（1）求得的中點(diǎn)，結(jié)合半徑與的長(zhǎng)度關(guān)系確定其為圓心，進(jìn)而可求解；
（2）由對(duì)稱性確定點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而設(shè)反射光線所在的直線方程為，由位置關(guān)系列出等式求解即可；
【詳解】（1），線段的中點(diǎn)，
點(diǎn)與點(diǎn)C的距離，
因此的外接圓M的圓心為，半徑為2，
所以圓M的方程為．
（2）由光的反射定律知，經(jīng)y軸反射后的光線所在直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，
直線與圓M不相切，設(shè)反射光線所在的直線方程為，即，
于是，整理得，解得或，
所以反射光線所在的直線方程為或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線定義表示，可得，，利用三角形面積可求的值.
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示兩根和與積，表示直線方程，計(jì)算點(diǎn)縱坐標(biāo)，求和可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得，，，得，
∴，故，
∴的面積，解得．
（2）
由（1）得，，.
設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，，
由，得，
由，得或，且，
∵點(diǎn)，∴設(shè)直線的方程為，
令，得，
∴，同理，
∴，
故線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件可得，通由此可求最大值.
（2）根據(jù)條件可得，即可證明結(jié)論.
（3）根據(jù)條件可得對(duì)任意均成立，根據(jù)可求t的值．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴．
（2）若，則，
∴，，
兩式相減得，，
整理得，
∵為正項(xiàng)數(shù)列，∴，故是公差為2的等差數(shù)列．
∵，∴，∴.
（3）法一：∵，∴ ，，
兩式相減得，，整理得
設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，∴，
即，對(duì)任意均成立，
∴，解得且，
此時(shí)，故，
故存在常數(shù)，使得是公比為的等比數(shù)列．
法二：若存在常數(shù)t，使得為等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為．
∵，∴，即，可得，
由得，故，
整理得對(duì)任意均成立，故或．
當(dāng)時(shí)，舍去．
當(dāng)時(shí)，，特別地，，
解得（舍去）或．當(dāng)時(shí)，，符合題意．
故存在常數(shù)，使得是公比為的等比數(shù)列．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第（3）問(wèn)的關(guān)鍵是利用條件得到恒等式，根據(jù)系數(shù)等于0求參數(shù)值.
19．(1)
(2)共線，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線，方程有兩個(gè)正根即可；（2）先求出坐標(biāo)，證明斜率為定值即可；（3）根據(jù)的制約關(guān)系，把相關(guān)線段都表示為的表達(dá)式即可.
【詳解】（1）聯(lián)立,
消去y并整理得，
因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)正根，所以,
解得.
（2）共線，理由如下：
因?yàn)橹本€的方程為，
因?yàn)椋?
直線的方程為，
因?yàn)椋?
聯(lián)立，
兩式相加得，則，
因?yàn)椋?br>易知，
則都在直線上，所以共線.
（3）證明：由題意，設(shè)，則.
直線方程為，此時(shí)，
易知，.
．
故，即為定值．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)和第三問(wèn)，關(guān)鍵在于把握與兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的制約關(guān)系，然后通過(guò)靈活消元，進(jìn)而解決問(wèn)題.

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