與圓有關(guān)的位置關(guān)系練習(xí)（原卷版）-中考數(shù)學(xué)二輪專題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識模塊一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系
知識點一：點與圓的位置關(guān)系
點和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外，如下表所示：
已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，
【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系．
知識點二：直線與圓的位置關(guān)系
直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d
知識點三：圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：
知識模塊二：與切線有關(guān)的知識
知識點一：切線的性質(zhì)定理與判定定理
切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓心的直線）
【補充】1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；
2）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心.
切線的判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
用切線的判定定理時,兩個條件缺一不可:1）經(jīng)過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.
知識點二：切線長定理
切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．
【解題技巧】切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解．
知識模塊三：三角形的外接圓與內(nèi)切圓
知識點一：三角形的外接圓與外心
三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.
三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點.
三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.
知識點二：三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心
三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.
三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點.
三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.
考點一：點與圓的位置關(guān)系
1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點P，若OP=5，則點P與⊙O的位置關(guān)系是（）
A．點P在⊙O上B．點P在⊙O內(nèi)C．點P在⊙O外D．無法確定
2．（2022·吉林·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）已知⊙O的半徑為1，點A到圓心O的距離為a，若關(guān)于x的方程x2?2x+a=0不存在實數(shù)根，則點A與⊙O的位置關(guān)系是（）
A．點A在⊙O外B．點A在⊙O上
C．點A在⊙O內(nèi)D．無法確定
考點二：直線與圓的位置關(guān)系
1．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，csA=45，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當(dāng)r=3時，⊙B與AC的位置關(guān)系是（）
A．相離B．相切C．相交D．無法確定
2．（2024·湖北·模擬預(yù)測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關(guān)系是（）
A．相交B．相離C．相切D．以上都不是
3．（2023·湖北孝感·一模）已知⊙O的半徑是一元二次方程x2?3x?4=0的一個根，圓心O到直線l的距離d=6，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是（）
A．相切B．相離C．相交D．相切或相交
4．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標(biāo)系中，點P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2來計算．
例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=Ax0+By0+CA2+B2=2×1+（?1）×2+122+(?1)2=15=55．
根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）求點M（0，3）到直線y=3x+9的距離；
（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r ＝ 4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為n，求n的值；若不相交，說明理由．
考點三：圓與圓的位置關(guān)系
1．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在△ABC內(nèi)，分別以A、B、P為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內(nèi)切，圓P與圓B的關(guān)系是（）
A．內(nèi)含B．相交C．外切D．相離
2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）實驗學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2．已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）
A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米
3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，若O1O2=2，則圖中陰影部分的面積為（）
A．2πB．43πC．πD．23π
考點四：利用切線的性質(zhì)求解
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，直線l與⊙O相切于點D，AB為⊙O的直徑，過點A作AE⊥l于點E，延長AB交直線l于點C．
(1)求證：AD平分∠CAE；
(2)如果BC=1，DC=3，求⊙O的半徑．
2．（2024·北京·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.

(1)求證：OD∥BC；
(2)延長DO交⊙O于點E，連接CE交OB于點F，過點B作⊙O的切線交DE的延長線于點P.若OFBF=56，PE=1，求⊙O半徑的長.
3．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，過點C作⊙O的切線CD交BA延長線于點D，點E為CB上一點，且AC=CE．
(1)求證：DC∥AE；
(2)若EF垂直平分OB，DA=3，求陰影部分的面積．
考點五：切線的性質(zhì)與判定綜合
1．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是BE的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．

(1)求證：DC是⊙O的切線；
(2)若AE=2，sin∠AFD=13，①求⊙O的半徑；②求線段DE的長．
2．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PA與⊙O相切于點A，點C為⊙O上的一點．連接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求證：PC為⊙O的切線；
(2)延長PC與AB的延長線交于點D，求證：PD?OC=PA?OD；
(3)若∠CAB=30°，OD=8，求陰影部分的面積．
考點六：應(yīng)用切線長定理求解或證明
1．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數(shù)為（）
A．28°B．50°C．56°D．62°
2．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，射線BD⊥AB，AB=10，AC=6．CP與⊙O相切時，連接CP，求BP的長．
3．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）在△ABC中，BC為⊙O的直徑，AC為過C點的切線．
(1)如圖①，以點B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點M，連結(jié)CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大?。?br>(2)如圖②，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，求證：AE=EC；
(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA=34，求S△ADE:S△ACM的值．
考點七：由三角形外接圓求值
1．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO=40°，∠ACB=70°，則陰影部分的面積是（）

A．43πB．83πC．163πD．323π
2．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（）

A．8B．4C．3.5D．3
3．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．
考點八：由三角形內(nèi)切圓求值
1．（2023·四川攀枝花·中考真題）已知△ABC的周長為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（）
A．12rlB．12πrlC．rlD．πrl
2．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC邊上一點，且BE=2，點I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．

3．【多選】（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，△ABC的內(nèi)切圓（圓心為點O）與各邊分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接EF,DE,DF．以點B為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧分別交AB,BC于G，H兩點；分別以點G，H為圓心，以大于12GH的長為半徑作弧，兩條弧交于點P；作射線BP．下列說法正確的是（）
A．射線BP一定過點OB．點O是△DEF三條中線的交點
C．若△ABC是等邊三角形，則DE=12BCD．點O不是△DEF三條邊的垂直平分線的交點
考點九：三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合
1．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D，過點D作⊙O的切線與BC交于點E，弦DM與AB垂直，垂足為H．
(1)求證：E為BC的中點；
(2)若⊙O的面積為12π，兩個△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3，求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比．
2．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．
(1)求證：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．
3．（2024·上?！つM預(yù)測）已知△ABC的內(nèi)心為O，AO=3．
(1)如果△ABC的外心也為O，求證：△ABC為等邊三角形，并尺規(guī)作線段AO；
(2)延長AO交邊BC于E，求證：ABBE=ACCE．
重難點一：證明某直線是圓的切線（有明確的交點）
1．（2023·四川資陽·中考真題）如圖，已知⊙O的圓心O在△ABC的邊AC上，與AC相交于A、E兩點，且與邊BC相切于點D，連結(jié)DE．
(1)若BA=BD，求證：AB是⊙O的切線；
(2)若CD=4，CE=2，求⊙O的半徑．
2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，AB,CD為⊙O的直徑，點E在BD上，連接AE,DE，點G在BD的延長線上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°．
(1)求證：AG與⊙O相切；
(2)若BG=45,sin∠DAE=13，求DE的長．
3．（2024·湖北·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點E在AC上，以CE為直徑的⊙O經(jīng)過AB上的點D，與OB交于點F，且BD=BC．
(1)求證：AB是⊙O的切線；
(2)若AD=3，AE=1，求CF的長．
重難點二：證明某直線是圓的切線（無明確的交點）
1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點．
(1)求證：AB與半圓O相切；
(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
2．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，與BC交于點E，F(xiàn)，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；
(2)若DE=2，GH=3，求DE的長l．
3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖1，O是正方形ABCD對角線上一點，以O(shè)為圓心，OC長為半徑的⊙O與AD相切于點E，與AC相交于點F．
(1)求證：AB與⊙O相切．
(2)若正方形ABCD的邊長為2+1，求⊙O的半徑．
(3)如圖2，在（2）的條件下，若點M是半徑OC上的一個動點，過點M作MN⊥OC交CE于點N．當(dāng)CM:FM=1:4時，求CN的長．
重難點三：直線與圓的最值問題
1．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在?ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10．E為邊CD的中點，F(xiàn)為邊AD上的一動點，將△DEF沿EF翻折得△D'EF，連接AD'，BD'，則△ABD'面積的最小值為．
2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則PQ的最小值為
3．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點P在⊙O上，點M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；
（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業(yè)新區(qū)的外環(huán)路，新區(qū)管委會在點B處，點E處是該市的一個交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據(jù)新區(qū)的自然環(huán)境及實際需求，現(xiàn)要在矩形AFDE區(qū)域內(nèi)（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環(huán)道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點N．連接BN，點P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環(huán)道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長．

重難點四：胡不歸問題
1．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP的最小值為．

重難點五：阿氏圓問題
1．（2023·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接BP并延長交⊙P于C，過點C的直線y=2x+b交x軸于D，交y軸于點E，且⊙P的半徑為5，AB=4．
(1)寫出點B，P，C的坐標(biāo)；
(2)求證：CD是⊙P的切線；
(3)⊙P上有一動點M，求5DM+ME的最小值．
2．（2024·廣東廣州·三模）已知，如圖1，PAB為⊙O的割線，直線PC與⊙O有公共點C，且PC2=PA×PB．

(1)求證：①∠PCA=∠PBC；
②直線PC是⊙O的切線；
(2)如圖2，作弦CD，使CD⊥AB，連接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半徑；
(3)如圖3，若⊙O的半徑為2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一點Q，使得PQ+22QM有最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，說明理由．
3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中AB=8，AD=6，點E是矩形ABCD內(nèi)部一個動點，且EB=4，連接CE，則DE+三分之二CE的最小值為（）
A．8B．263C．233D．9
4．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A?1,0，B兩點，AB=4，C為拋物線頂點．
(1)求b，c的值；
(2)點P為直線AC下方拋物線上一點，過點P作PQ⊥x軸，垂足為點Q，交AC于點M，是否存在QM=3PM？若存在，求出此時P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)如圖2，以B為圓心，2為半徑作圓，N為圓B上任一點，求CN+12AN的最小值．
易錯點1：討論與圓有關(guān)位置關(guān)系時漏解
1．（2021·青海·中考真題）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．
2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內(nèi)有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切目錄
01 理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。
02 盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識梳理）
\l "_Tc182324382" 知識模塊一：與圓有關(guān)的位置關(guān)系
\l "_Tc182324392" 知識模塊二：與切線有關(guān)的知識
\l "_Tc182324395" 知識模塊三：三角形的外接圓與內(nèi)切圓
03 究·考點考法：對考點考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點）
\l "_Tc182324398" 考點一：點與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc182324399" 考點二：直線與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc182324400" 考點三：圓與圓的位置關(guān)系
\l "_Tc182324401" 考點四：利用切線的性質(zhì)求解
\l "_Tc182324402" 考點五：切線的性質(zhì)與判定綜合
\l "_Tc182324403" 考點六：應(yīng)用切線長定理求解或證明
\l "_Tc182324404" 考點七：由三角形外接圓求值
\l "_Tc182324405" 考點八：由三角形內(nèi)切圓求值
\l "_Tc182324406" 考點九：三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合
04 破·重點難點：突破重難點，沖刺高分。（5大重難點）
\l "_重難點一：_證明某直線是圓的切線（有明確的交點）" 重難點一：證明某直線是圓的切線（有明確的交點）
\l "_重難點二：_證明某直線是圓的切線（無明確的交點）" 重難點二：證明某直線是圓的切線（無明確的交點）
\l "_重難點三：_直線與圓的最值問題" 重難點三：直線與圓的最值問題
\l "_重難點四：_胡不歸問題" 重難點四：胡不歸問題
\l "_重難點五：_阿氏圓問題" 重難點五：阿氏圓問題
05 辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，夯實基礎(chǔ)。（1大易錯點）
\l "_易錯點1：" 易錯點1：討論與圓有關(guān)位置關(guān)系時漏解

點和圓的位置關(guān)系
點到圓心的距離與半徑的關(guān)系
點在圓內(nèi)
點P在圓內(nèi)?dr
直線和圓的位置關(guān)系
相交
相切
相離
定義
直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交
直線和圓只有一個公共點時，叫做直線與圓相切
直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離
圖示
公共點個數(shù)
2個
1個
無
圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關(guān)系
dr
公共點名稱
交點
切點
無
直線名稱
交線/割線
切線
無
結(jié)論
直線l與⊙O相交?dr
從左端推出右端是直線與圓的位置關(guān)系的性質(zhì)，從右端推出左端是直線與圓的位置關(guān)系的判斷.
位置關(guān)系
圖形
公共點個數(shù)
性質(zhì)及判定
外離
無
兩圓外離?d>R+r
外切
1個切點
兩圓外切?d=R+r
相交
兩個交點
兩圓相交? R?r

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