圓的概念及性質(zhì)練習(xí)（原卷版）-中考數(shù)學(xué)二輪專題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)模塊一：圓的相關(guān)概念
知識(shí)點(diǎn)一：圓的定義
圓的定義[動(dòng)態(tài)]:如圖，在一個(gè)平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓，其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.
圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其中，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.
圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O”.
確定圓的兩個(gè)條件：①圓心（確定圓的位置）；②半徑（確定圓的大小），兩者缺一不可.
知識(shí)點(diǎn)二：弦與直徑
弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.
知識(shí)點(diǎn)三：弧，半圓，優(yōu)弧，劣弧，等弧
弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.弧用符號(hào)“”表示，以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.
半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.
優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，如右圖中的.
等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.
知識(shí)點(diǎn)四：同圓、等圓、同心圓
同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.
等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.
同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓
知識(shí)點(diǎn)五：圓心角與圓周角
圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.
圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
知識(shí)點(diǎn)六：弓形和扇形
弓形: 由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形，如圖，弦AB和組成兩個(gè)不同的弓形.
扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形.如圖所示，和半徑OA，OB組成的圖形是一個(gè)扇形，讀作“扇形AOB”.
知識(shí)模塊二：圓的相關(guān)性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)一：圓的對(duì)稱性
知識(shí)點(diǎn)二：垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.
知識(shí)點(diǎn)三：弧，弦，圓心角之間的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.
知識(shí)點(diǎn)四：圓周角定理
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=12圓心角）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.
知識(shí)點(diǎn)五：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)
圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).
如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.
如圖，∠1=∠2
考點(diǎn)一：利用垂徑定理求解
1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）如圖，在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8，圓心O到AB的距離OE=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）
A．4B．42C．5D．52
2．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為43，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP=5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）
A．點(diǎn)P在⊙O上B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙O外D．無(wú)法確定
3．（2024·新疆·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E．若CD=8，OD=5，則BE的長(zhǎng)為（）
A．1B．2C．3D．4
考點(diǎn)二：利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解
1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，BC,BD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在AB的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)（OE>BE），連接OC,CE，且∠BOC=2∠BCE．
(1)如圖1，若BE=1，CE=5，求⊙O的半徑；
(2)如圖2，若BD=2OE，求證：BD∥OC．（請(qǐng)用兩種證法解答）
2．（2023·山東·中考真題）已知：射線OP平分∠MON,A為OP上一點(diǎn)，⊙A交射線OM于點(diǎn)B,C，交射線ON于點(diǎn)D,E，連接AB,AC,AD．

(1)如圖1，若AD∥OM，試判斷四邊形OBAD的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OM，交OP于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)D作DG⊥ON，交OP于點(diǎn)G．求證：AG=AF．
3．（2023·貴州·中考真題）如圖，已知⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，連接EA，EB．

(1)寫出圖中一個(gè)度數(shù)為30°的角：_______，圖中與△ACD全等的三角形是_______；
(2)求證：△AED∽△CEB；
(3)連接OA，OB，判斷四邊形OAEB的形狀，并說(shuō)明理由．
考點(diǎn)三：在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)
1．（2024·廣東廣州·二模）如圖在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線 y=33x+233與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn) A 在x軸上，求弦AB的長(zhǎng)．
2．（2021·廣西河池·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以M2，3為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A，C兩點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．
3．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，Q為弦AP上一點(diǎn)，2AQ=3PQ．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,?5)，則CQ的最小值為．
考點(diǎn)四：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
1．（2023·山東東營(yíng)·中考真題）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶⑸钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，EB=1寸，CD=10寸，則直徑AB長(zhǎng)為寸．
2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，他設(shè)計(jì)的槳輪船在船的舷側(cè)或尾部裝有帶有槳葉的槳輪，通過(guò)人力踩動(dòng)槳輪軸來(lái)推動(dòng)船體前進(jìn)．這種船的槳輪下半部浸入水中上半部露出水面，因其推進(jìn)方式類似車輪，故又被稱為“槳輪船”或“輪船”．如圖，該槳輪船的輪子的橫截面為⊙O，輪子被水面截得線段AB長(zhǎng)為12m，輪子的吃水深度CD長(zhǎng)為2m，則該槳輪船輪子半徑為（）
A．8mB．6mC．10mD．12m
3．（2024·河北廊坊·二模）如圖是放于水平桌面上的帶底座的魚缸，其主體部分的縱截面是弓形AMB，開口部分AB與桌面平行，將一玻璃棒斜放進(jìn)魚缸(魚缸內(nèi)無(wú)水)，使玻璃棒底端恰在AMB的中點(diǎn)M處，發(fā)現(xiàn)AM=AB，將玻璃棒豎立起來(lái)MN⊥AB時(shí)，測(cè)得MN=37.5cm．
(1)求∠BAM的度數(shù)，并求的AB長(zhǎng)；
(2)求AMB的長(zhǎng)；
(3)若向魚缸內(nèi)加水，使水面的寬度為48cm，求魚缸內(nèi)水的深度．
考點(diǎn)五：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解
1．（2023·湖南常德·中考真題）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出AB長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：s=AB+CD2OA，當(dāng)OA=2，∠AOB=90°時(shí)，l?s= ．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
2．（2023·河北·中考真題）如圖，點(diǎn)P1~P8是⊙O的八等分點(diǎn)．若△P1P3P7，四邊形P3P4P6P7的周長(zhǎng)分別為a，b，則下列正確的是( )

A．a(chǎn)bD．a(chǎn)，b大小無(wú)法比較
3．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，已知點(diǎn)A、B、C在⊙O上，C為AB的中點(diǎn)．若∠BAC=35°，則∠AOB等于（）

A．140°B．120°C．110°D．70°
考點(diǎn)六：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明
1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，AD是⊙O的直徑，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠DAC=∠ABC，AC=4，則⊙O的直徑AD= ．

2．（2024·江蘇南京·二模）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，AC與BD相交于點(diǎn)E，AB=CD．
(1)求證：AC=BD；
(2)連接BC，作直線EO，求證：EO⊥BC．
3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合運(yùn)用
如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)B平分CAD，CA平分∠BCD．
(1)求證：∠CDE=2∠ECD．
(2)若cs∠CBA=12，求證：∠BDC=4∠CBD．
(3)求證：BC2?AB2=CA?AD．
考點(diǎn)七：利用圓周角定理及推論求解
1．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則∠PBA等于（）
A．105°B．100°C．90°D．70°
2．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，AD和EF相交于點(diǎn)M，則∠AMF的度數(shù)為（）
A．26°B．27°C．28°D．30°
3．（2024·西藏·中考真題）如圖，AC為⊙O的直徑，點(diǎn)B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，則AD的長(zhǎng)為（）
A．2B．22C．23D．4
考點(diǎn)八：利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角度
1．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC=20°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．100°B．110°C．120°D．130°
2．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠AOC=128°，則∠CDE等于（）
A．64°B．60°C．54°D．52°
3．（2024·江蘇無(wú)錫·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且DE=AD．
(1)求證：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度數(shù)．
重難點(diǎn)一：弧中點(diǎn)模型
1．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（）
A．33B．32C．3D．32
2．（2020·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，⊙O經(jīng)過(guò)Rt△ACD的直角邊DC上的點(diǎn)F，交AC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是弧EB的中點(diǎn)，∠C=90°，連接AF．
（1）求證：直線CD是⊙O切線．
（2）若BD=2，OB=4，求tan∠AFC的值．
3．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，若AB=2AC，D是弧BC的中點(diǎn)，則∠CAD的度數(shù)為（）
A．15°B．30°C．35°D．45°
重難點(diǎn)二：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距
1．（2024·四川遂寧·中考真題）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬AB為1米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面的面積（）
A．16π?34B．16π?32C．23π?3D．16π?14
2．（2023·寧夏·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線DC是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，AE⊥DC，垂足為E．連接AC．

(1)求證：AC平分∠BAE；
(2)若AC=5，tan∠ACE=34，求⊙O的半徑．
3．（2023·湖北武漢·中考真題）如圖，OA,OB,OC都是⊙O的半徑，∠ACB=2∠BAC．

(1)求證：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4,BC=5，求⊙O的半徑．
重難點(diǎn)三：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角
1．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，若∠B=25°，則∠CAD °．
2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC=2CD，則∠BAD的度數(shù)是 °．
3．（2023·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC，以BC為直徑作⊙O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)E．
(1)求證：DF為⊙O的切線；
(2)若BE=3，csC=45，求BF的長(zhǎng)．
易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)同弦所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)考慮不全面而漏解
1．（2020·湖北襄陽(yáng)·中考真題）在⊙O中，若弦BC垂直平分半徑OA，則弦BC所對(duì)的圓周角等于 °．
2．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）半徑長(zhǎng)為n的⊙O中，有一條弦AB的長(zhǎng)為2n，則弦AB所對(duì)的圓周角度數(shù)等于．
易錯(cuò)點(diǎn)2：對(duì)弦的位置考慮不全面而漏解
1．（2022·黑龍江牡丹江·二模）在半徑為4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=43cm，∠BOD=90°，則AB與CD之間的距離是 cm．
2．（2020·青海·中考真題）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為 cm．目錄
01 理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。
02 盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）
\l "_Tc182324382" 知識(shí)模塊一：圓的相關(guān)概念
\l "_Tc182324386" 知識(shí)模塊二：圓的相關(guān)性質(zhì)
03 究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（8大基礎(chǔ)考點(diǎn)）
\l "_Tc182324398" 考點(diǎn)一：利用垂徑定理求解
\l "_Tc182324399" 考點(diǎn)二：利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解
\l "_Tc182324400" 考點(diǎn)三：在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)
\l "_Tc182324401" 考點(diǎn)四：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
\l "_Tc182324402" 考點(diǎn)五：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解
\l "_Tc182324403" 考點(diǎn)六：利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明
\l "_Tc182324404" 考點(diǎn)七：利用圓周角定理求解
\l "_Tc182324405" 考點(diǎn)八：利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角度
04 破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（3大重難點(diǎn)）
重難點(diǎn)一：弧中點(diǎn)模型
重難點(diǎn)二：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距
重難點(diǎn)三：與圓有關(guān)的常見(jiàn)輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角
05 辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）
\l "_易錯(cuò)點(diǎn)1：" 易錯(cuò)點(diǎn)1：對(duì)同弦所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)考慮不全面而漏解
\l "_易錯(cuò)點(diǎn)2："易錯(cuò)點(diǎn)2：對(duì)弦的位置考慮不全面而漏解
內(nèi)容
圓的軸對(duì)稱性
經(jīng)過(guò)圓心任意畫一條直線，并沿此直線將圓對(duì)折,直線兩旁的部分能夠完全重合，因此圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸.
圓的中心對(duì)稱性
將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°能與自身重合，因此它是中心對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱中心是圓心.將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說(shuō)明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性.

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