知識(shí)模塊一：正多邊形與圓
知識(shí)點(diǎn)一：正多邊形與圓.
正多邊形的外接圓：一般地，用量角器把一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓，正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的外心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
【補(bǔ)充】正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.
知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形與圓的相關(guān)概念
知識(shí)點(diǎn)三：正多邊形的有關(guān)計(jì)算
1）內(nèi)角：正n邊形的每個(gè)內(nèi)角和為.
2）外角/中心角：正n邊形的每個(gè)外角/中心角為.
3）周長：正n邊形的周長.
4）面積：正n邊形的面積.
知識(shí)模塊二：弧長與扇形面積
知識(shí)點(diǎn)一：弧長公式
弧長公式：(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑).
【注意】在弧長公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
【補(bǔ)充】在弧長公式l=nπR180中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量．
知識(shí)點(diǎn)二：扇形面積公式
扇形的面積公式：(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑)=(l是n°為圓心角所對(duì)的弧長).
【補(bǔ)充】
1）根據(jù)扇形面積公式和弧長公式，已知S扇形，l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出另外兩個(gè)量．
2）在利用扇形面積公式求面積時(shí)，關(guān)鍵是明確扇形所在圓的半徑、扇形的圓心角的度數(shù)或扇形的弧長，然后直接代入公式S扇形=nπR2360或S扇形=12lR中求解即可．
知識(shí)點(diǎn)三：圓錐的側(cè)面展開圖及圓錐的側(cè)面積
母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.
圓錐側(cè)面積公式：（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）
圓錐全面積公式：（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）
圓錐的底面半徑r，高h(yuǎn)，母線長l之間可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以滿足r2+?2=l2.
【補(bǔ)充】求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個(gè)扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長，即2πr=nπR180，來建立圓錐底面圓的半徑r、圓錐母線R和側(cè)面展開圖扇形圓心角n°之間的關(guān)系.
【易錯(cuò)點(diǎn)】注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個(gè)概念．
考點(diǎn)一： 求正多邊形的中心角
1．（2022·山東青島·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在AB上，則∠CME的度數(shù)為（ ）

A．30°B．36°C．45°D．60°
【答案】D
【分析】先求出正六邊形的中心角，再利用圓周角定理求解即可．
【詳解】解：連接OC、OD、OE，如圖所示：

∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，
∴∠COD= 3606=60°，則∠COE=120°，
∴∠CME= 12∠COE=60°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的中心角、圓周角定理，熟練掌握正n多邊形的中心角為360n是解答的關(guān)鍵．
2．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，EF∥x軸，點(diǎn)E在雙曲線y=kx(k為常數(shù)，k>0)上，將正六邊形ABCDEF向上平移3個(gè)單位長度，點(diǎn)D恰好落在雙曲線上，則k的值為（ ）
A．43B．33C．23D．3
【答案】A
【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，連接OE，可證明△OED是等邊三角形，則DE=OD，OH=DH=12OH，進(jìn)而得到EH=32OD，設(shè)OD=2m，則OH=m，HE=3m，則Em，3m，D2m，0，即可得到點(diǎn)2m，3在雙曲線上，再由點(diǎn)E也在雙曲線上，得到k=2m?3=m?3m，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，連接OE，
∵原點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，
∴OE=OD，∠EOD=360°6=60°，
∴△OED是等邊三角形，
∴DE=OD，
∵EH⊥OD，
∴OH=DH=12OD，
∴EH=DE2?DH2=32OD，
設(shè)OD=2m，則OH=m，HE=3m，
∴Em，3m，D2m，0，
∵將正六邊形ABCDEF向上平移3個(gè)單位長度，點(diǎn)D恰好落在雙曲線上，
∴點(diǎn)2m，3在雙曲線上，
又∵點(diǎn)E也在雙曲線上，
∴k=2m?3=m?3m，
解得m=2或m=0（舍去），
∴k=2m?3=43，
故選：A．
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形ABCDEF和正六邊形GHIJKL均以點(diǎn)O為中心，連接AG，BH，CI，DJ，EK，F(xiàn)L（A，G，H三點(diǎn)共線），若CI=2,IJ=3，則正六邊形ABCDEF的邊長為（ ）
A．3B．5C．19D．19
【答案】C
【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，30°直角三角形的性質(zhì)，連接OA，OB，OG，OH，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)證明△AOG≌△BOH，得到∠AGO=∠BHO=120°，BH=AG，即可得到B，I，H三點(diǎn)共線，同理可得C，I，J三點(diǎn)共線，D，K，J三點(diǎn)共線，且CI=DJ=2，然后在三角形CJD中計(jì)算即可．
【詳解】連接OA，OB，OG，OH，過D作CJ⊥DM于M，
∵正六邊形ABCDEF和正六邊形GHIJKL均以點(diǎn)O為中心，
∴OG=OH，OA=OB，∠LGH=∠GHI=∠IJK=120°，∠AOB=∠GOH=∠60°，
∴∠AOG=∠BOH=∠60°?∠BOG，∠OHI=∠HGO=∠60°，
∴△AOG≌△BOH，
∴∠AGO=∠BHO，BH=AG，
∵A，G，H三點(diǎn)共線，
∴∠AGO=180°?∠HGO=120°，
∴∠AGO=∠BHO=120°，
∴∠BHO+∠OHI=180°，
∴B，I，H三點(diǎn)共線，
同理可得C，I，J三點(diǎn)共線，D，K，J三點(diǎn)共線，且CI=DJ=2，
∴∠CJD=60°，
∵CJ⊥DM，
∴∠JMD=∠CMD=90°，∠JDM=30°，
∴JM=12DJ=1，DM=JD2?JM2=22?12=3，
∵CI=2,IJ=3，
∴CM=CI+IJ?JM=4，
∴CD=DM2+CM2=42+32=19，
即正六邊形ABCDEF的邊長為19，
故選：C．
考點(diǎn)二： 已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
1．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）一個(gè)正多邊形的中心角為30°，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．8B．12C．3D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)正n邊形的中心角的度數(shù)為360°n，列方程即可得到答案．
【詳解】解：360°n=30°，解得n=12．
這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形中心角的知識(shí)，掌握中心角的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）如圖，M是正六邊形EFGHPQ的中心．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(?1,0)，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（）
A．(?2,0)B．(1,1)C．(1,0)D．(2,0)
【答案】C
【分析】此題考查了正六邊形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)求出ME的長，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出MH，進(jìn)而求出H的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：如圖，連接ME、MH，
∵E點(diǎn)的坐標(biāo)為(?1,0)，
∴ME=1，
∴MH=1，
∴H(1,0)，
故選:C．
3．（2023·江西九江·一模）如圖正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別按照下列要求作圖（保留作圖痕跡）．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D（1）中對(duì)角線BE上作一點(diǎn)M，使得BC=2BM；
(2)請(qǐng)?jiān)趫D（2）中BC邊上作一點(diǎn)P，使得BC=3BP．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）連接AC、BE交于點(diǎn)M即為所求；利用正六邊形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)證明即可；
（2）連接FT交BC于點(diǎn)P即為所求，連接DF交BE于點(diǎn)H，利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明即可．
【詳解】（1）解：如圖，連接AC、BE交于點(diǎn)M即為所求；
∵正六邊形ABCDEF，
∴四邊形ABEF與四邊形CBED關(guān)于BE成軸對(duì)稱，
∴AC⊥BE，AC⊥AF，AC⊥CD，
∵正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：180°×(6?2)6=120°，
∴∠BCM=120°?90°=30°，
∴BC=2BM；
（2）如圖，連接FT交BC于點(diǎn)P即為所求．證明如下：
連接DF交BE于點(diǎn)H，
∴BT=EH，
由（1）得BC=2BM，
∴TH=2BT，
∴TE=3BT，
∵正六邊形ABCDEF，
∴BC∥EF，
∴△BTP∽△ETF，
∴EFBP=BTTH=13，
∴EF=3BP，
∴BC=3BP．
【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)三： 利用弧長公式求弧長
1．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，對(duì)折邊長為2的正方形紙片ABCD，OM為折痕，以點(diǎn)O為圓心，OM為半徑作弧，分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則EF的長度為 （結(jié)果保留π）．
【答案】2π3/23π
【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算、正方形的性質(zhì)及翻折變換（折疊問題），解直角三角形，熟知正方形的性質(zhì)、圖形翻折的性質(zhì)及弧長的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
由對(duì)折可知，∠EOM=∠FOM，過點(diǎn)E作OM的垂線，進(jìn)而可求出∠EOM的度數(shù)，則可得出∠EOF的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式即可解決問題．
【詳解】解：∵折疊，且四邊形ABCD是正方形
四邊形AOMD是矩形，∠EOM=∠FOM，
則OM=AD=2，DM=12CD=1．
過點(diǎn)E作EP⊥OM于P，
則EP=DM=12CD=1，
∵OE=OM=AD=2，CD=AD=2，
∴EP=12OE.
在Rt△EOP中，sin∠EOP=EPOE=12，
∴∠EOP=30°，
則∠EOF=30°×2=60°，
∴EF的長度為：60?π?2180=2π3，
故答案為：2π3.
2．（2024·貴州·中考真題）如圖，在扇形紙扇中，若∠AOB=150°，OA=24，則AB的長為（ ）
A．30πB．25πC．20πD．10π
【答案】C
【分析】本題考查了弧長，根據(jù)弧長公式∶l=nπr180求解即可．
【詳解】解∵∠AOB=150°，OA=24，
∴AB的長為150π×24180=20π，
故選∶C．
3．（2024·湖北·中考真題）Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O在AC上，以O(shè)C為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．且BD=BC．
(1)求證：AB是⊙O的切線．
(2)連接OB交⊙O于點(diǎn)F，若AD=3,AE=1，求弧CF的長．
【答案】(1)見解析
(2)弧CF的長為π3．
【分析】（1）利用SSS證明△OBD≌△OBC，推出∠ODB=∠OCB=90°，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；
（2）設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△AOD中，利用勾股定理列式計(jì)算求得x=1，求得∠AOD=60°，再求得∠COF=60°，利用弧長公式求解即可．
【詳解】（1）證明：連接OD，
在△OBD和△OBC中，BD=BCOB=OBOD=OC，
∴△OBD≌△OBCSSS，
∴∠ODB=∠OCB=90°，
∵OD為⊙O的半徑，
∴AB是⊙O的切線；
（2）解：∵∠ODB=90°，
∴∠ODA=90°，
設(shè)⊙O的半徑為x，
在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2，即x+12=x2+32，
解得x=1，
∴OD=OC=1，OA=2，cs∠AOD=ODOA=12，
∴∠AOD=60°，
∵△OBD≌△OBC，
∴∠BOD=∠COF=12180°?60°=60°，
∴弧CF的長為60π×1180=π3．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)的定義，弧長公式．正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四： 由弧長公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
1．（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）一條弧所對(duì)的圓心角為135°，弧長等于半徑為3cm的圓的周長的5倍，則這條弧的半徑為（ ）
A．45cmB．40cmC．35cmD．30cm
【答案】B
【分析】設(shè)這條弧的半徑為rcm，根據(jù)弧長公式和已知條件列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設(shè)這條弧的半徑為rcm，
由題意得135πr180=2π×3×5，
解得r=40，
∴這條弧的半徑為40cm．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，熟知弧長公式并根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．
2．（2024·云南紅河·模擬預(yù)測(cè)）為了拉動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)振興，某村設(shè)立了一個(gè)草帽手工作坊，讓留守的老人也能賺錢，其制作工藝中用固定規(guī)格的扇形草氈圍成一個(gè)底面周長為10π，側(cè)面積為75π的圓錐形草帽，則制作工藝中所使用扇形草氈的圓心角為（ ）
A．150°B．120°C．180°D．100°
【答案】B
【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積，弧長公式等知識(shí)；設(shè)扇形的半徑為r，扇形面積可求得半徑r；再由弧長公式即可求得扇形圓心角的度數(shù)．
【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，則12×10πr=75π，
解得：r=15；
設(shè)扇形圓心角度數(shù)為n度，則nπ×15180=10π，
解得：n=120，
即扇形圓心角為120°；
故選：B．
3．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖①為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖②馬面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中AD的長度為π3米，裙長AB=0.8米，圓心角∠AOD=∠BOC=60°，則OB的長為（ ）
A．1米B．1.8米C．2米D．2.2米
【答案】B
【分析】本題考查了弧長公式．由題意知，lAD=60π?OA180=13π，求得OA=1，得到OB=1.8米即可．
【詳解】解：由題意知，lAD=60π?OA180=13π，
解得OA=1，
∵裙長AB為0.8米，
∴OB=1.8米，
故選：B．
考點(diǎn)五： 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
1．（2024·吉林·中考真題）某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地，小明繪制的鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖所示，該場(chǎng)地由⊙O和扇形OBC組成，OB,OC分別與⊙O交于點(diǎn)A，D．OA=1m，OB=10m，∠AOD=40°，則陰影部分的面積為 m2（結(jié)果保留π）．
【答案】11π
【分析】本題考查了扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
利用陰影部分面積等于大扇形減去小扇形面積，結(jié)合扇形面積公式即可求解．
【詳解】解：由題意得：S陰影=40π102?12360=11π，
故答案為：11π．
2．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，O為BC中點(diǎn)，OE=AB=4，則扇形EOF的面積為 ．
【答案】4π
【分析】本題考查了扇形的面積公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得∠BOE=45°，∠COF=45°，得到∠EOF=90°，再利用扇形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵BC=2AB，AB=4，
∴BC=42，
∵O為BC中點(diǎn)，
∴OB=OC=12BC=22，
∵OE=4，
在Rt△OBE中，cs∠BOE=OBOE=224=22，
∴∠BOE=45°，
同理∠COF=45°，
∴∠EOF=180°?45°?45°=90°，
∴扇形EOF的面積為90π?42360=4π，
故答案為：4π．
3．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為4，連接OB，OC，OA，若∠CAO=40°，∠ACB=70°，則陰影部分的面積是（ ）

A．43πB．83πC．163πD．323π
【答案】C
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得∠BOC=180°?30°×2=120°，再根據(jù)扇形的面積公式即可求解．
【詳解】解：∵OC=OB，OA=OC，∠CAO=40°，
∴∠OCA=∠OAC=40°，∠OCB=∠OBC，
∵∠ACB=70°，
∴∠OBC=∠OCB=∠ACB?∠ACO=70°?40°=30°，
∴∠BOC=180°?30°×2=120°，
∴S陰影=πr2×120°360°=π×42×13=163π，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及扇形的面積公式等知識(shí)，求出∠BOC=120°是解答的關(guān)鍵．
考點(diǎn)六： 求弓形面積
1．（2021·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，AB=23，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=60°，若點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分面積的最大值是 ．
【答案】43π?34
【分析】陰影面積由弓形ADB面積加上△MNB的面積，而弓形面積不變，因此只需要求出△MNB的最大面積，由M,N為AB,BC的中點(diǎn)，所以MN是△ABC的中位線，所以△BMN∽△BAC，所以S△BMN=14S△ABC，求出△ABC的最大面積即可，而AB邊為定值，當(dāng)點(diǎn)C到AB的距離最大，三角形面積最大，當(dāng)CM⊥AB時(shí)，三角形面積最大，即可求出陰影面積最大值．
【詳解】連接OA,OB，連接OM，如圖
∵∠ACB=60° ,
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，
∴OM⊥AB，AM=BM=12AB=3,∠AOM=BOM=60°
∴∠OAM=30°,
設(shè)OM=x，則AO=2x，在Rt△AOM中
OM2+AM2=AO2, 即
x2+(3)2=(2x)2 ，
解得x=1，
即OM=1,AO=2 ,
S弓形ADB=S扇形OADB?S△AOB=120°×π×22360°?12×23×1=43π?3，
∵M(jìn),N為邊AB,BC的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，
∴△BMN～△BAC,
∴S△BMN=14S△ABC,
當(dāng)C,O,M在同一直線上時(shí)，△ABC的面積最大，
由垂徑定理可知，AC=BC,
又∵∠ACB=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AC=23 ,
在Rt△ACM中，
CM=AC2?AM2=(23)2?(3)2=3,
∴S△ABC的最大值為：12×23×3=33 ,
∴S△BMN=14S△ABC=14×33=334,
∴陰影面積的最大值為：43π?3+334=43π?34．
故填：43π?34．
【點(diǎn)睛】本題考查弓形面積，扇形面積，圓心角與圓周角關(guān)系，三角形的中位線，相似三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解題關(guān)鍵是將不規(guī)則面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
2．（2021·山東泰安·中考真題）若△ABC為直角三角形，AC=BC=4，以BC為直徑畫半圓如圖所示，則陰影部分的面積為 ．
【答案】4
【分析】設(shè)AB與半圓的交點(diǎn)為D,連接DC,根據(jù)題意,得到陰影部分的面積等于S△ACD，計(jì)算即可
【詳解】解：如圖，設(shè)AB與半圓的交點(diǎn)為D，連接DC，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，
則∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圓關(guān)于直線DE對(duì)稱，
∴陰影部分的面積等于S△ACD，
∴S△ACD=12S△ABC=12×12×4×4=4
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓的對(duì)稱性，
利用圓的對(duì)稱性化陰影的面積為三角形的面積加以計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·四川遂寧·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F，若⊙O的半徑為43，∠CDF=15°， 則陰影部分的面積為（ ）
A．16π?123B．16π?243
C．20π?123D．20π?243
【答案】A
【分析】連接AD，連接OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，過O作OH⊥AE于H，解直角三角形得到OH=23，AH=6，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：連接AD，連接OE，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
過O作OH⊥AE于H，
∵AO=43，
∴OH=12AO=23，
∴AH=3OH=6，
∴AE=2AH=12，
∴S陰影=S扇形AOE-S△AOE=120π×432360?12×12×23
=16π?123．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積與三角形的面積公式，圓周角定理等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)七： 求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線
1．（2024·云南·中考真題）某校九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長為40厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．700π平方厘米B．900π平方厘米
C．1200π平方厘米D．1600π平方厘米
【答案】C
【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積，先求出圓錐底面圓的周長，再根據(jù)圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可求解，掌握?qǐng)A錐側(cè)面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：圓錐的底面圓周長為2π×30=60π厘米，
∴圓錐的側(cè)面積為12×60π×40=1200π平方厘米，
故選：C．
2．（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）若用半徑為10cm的半圓形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑為 cm．
【答案】5
【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算．用到的知識(shí)點(diǎn)為：圓錐的側(cè)面展開圖弧長等于底面周長．
根據(jù)題意得圓錐的母線長為10cm，以及圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，也就是圓錐的底面周長，除以2π即為圓錐的底面半徑．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖的弧長為2π×10÷2=10π(cm)，
∴圓錐的底面半徑為10π÷2π=5(cm)，
故答案為：5．
3．（2023·黑龍江·中考真題）已知圓錐的母線長13cm，側(cè)面積65πcm2，則這個(gè)圓錐的高是 cm．
【答案】12
【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式可得到底面半徑，再利用勾股定理即可得到高．
【詳解】解：根據(jù)圓錐側(cè)面積公式S側(cè)=πrl變形可得r=S側(cè)πl(wèi)=65π13π=5cm，
根據(jù)圓錐母線公式l=r2+?2，可得?=l2?r2=132?52=12cm，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和母線公式，熟知上述公式是解題的關(guān)鍵．
4．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）圓錐的側(cè)面展開圖的面積為200πcm2，圓錐母線與底面圓的半徑之比為2:1，則母線長為 ．
【答案】20cm/20厘米
【分析】本題考查圓錐的側(cè)面積，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，則：母線長為2rcm，
由題意，得：12×2πr?2r=200π，
∴r=10（負(fù)值舍去），
∴母線長為2×10=20cm．
故答案為：20cm．
考點(diǎn)八： 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角
1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，圓錐母線AB=6，底面半徑CB=2，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角α的度數(shù)為 ．

【答案】120°
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到απ×6180=2π×2，然后解方程即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得απ×6180=2π×2，
解得：α=120，
∴側(cè)面展開圖扇形的圓心角為120°．
故答案為：120°．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·四川綿陽·三模）在直角三角形ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°，如果把該三角形繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，則該圓錐側(cè)面展開得到的扇形的圓心角大小是 ．
【答案】216
【分析】本題考查求圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)，勾股定理求出BC的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方式，得到底面圓的半徑為6，母線為10，根據(jù)底面圓的周長等于展開圖扇形的弧長，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=AB2+AC2=10，
由題意，得：圓錐的底面圓的半徑為6，母線為10，
設(shè)展開后扇形的圓心角的度數(shù)為n°，則：2π×6=nπ180×10，
解得：n=216；
故答案為：216．
3．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算，這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為 °．
【答案】120
【分析】本題考查了根據(jù)三視圖還原幾何體，勾股定理，弧長等知識(shí)．熟練掌握根據(jù)三視圖還原幾何體，勾股定理，弧長是解題的關(guān)鍵．
由三視圖可知，該幾何體為圓錐，由勾股定理可得，圓錐的母線長為422+22=6，則nπ×6180=π×4，計(jì)算求解，然后作答即可．
【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體為圓錐，
由勾股定理可得，圓錐的母線長為422+22=6，
∴nπ×6180=π×4，
解得 ，n=120°，
故答案為：120．
考點(diǎn)九： 圓錐的實(shí)際問題
1．（2022·湖南邵陽·模擬預(yù)測(cè)）在一次科學(xué)探究實(shí)驗(yàn)中，小明將半徑為5cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進(jìn)行折疊，并圍成圓錐形．
(1)取一漏斗，上部的圓錐形內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口圓的直徑為6cm．當(dāng)濾紙片重疊部分三層，且每層為14圓時(shí)，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼此漏斗的內(nèi)壁（忽略漏斗管口處），請(qǐng)你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明；
(2)假設(shè)有一特殊規(guī)格的漏斗，其母線長為6cm，開口圓的直徑為7.2cm，現(xiàn)將同樣大小的濾紙圍成重疊部分為三層的圓錐形，放入此漏斗中，且能緊貼漏斗內(nèi)壁．問重疊部分每層的面積為多少？
【答案】(1)能，見解析
(2)5πcm2
【分析】此題考查了圓錐側(cè)面積實(shí)際應(yīng)用．
（1）證明表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等．即可得到結(jié)論；
（2）求出扇形弧長為7.2πcm，則圓心角為7.2π÷6×180°π=216°，濾紙片如緊貼漏斗壁，其圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的圓心角也應(yīng)為216°，由重疊部分每層面積為圓形濾紙片的面積減去圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的面積的差的一半，進(jìn)一步即可得到濾紙重疊部分每層面積．
【詳解】（1）解：如圖所示：
∵表面緊貼的兩圓錐形的側(cè)面展開圖為圓心角相同的兩扇形，
∴表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等．
由于濾紙圍成的圓錐形只有最外層側(cè)面緊貼漏斗內(nèi)壁，故只考慮該濾紙圓錐最外層的側(cè)面和漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面的關(guān)系．
將圓形濾紙片按圖示的步驟折成四層且每層為14圓，
則圍成的圓錐形的側(cè)面積=1?2×14S濾紙圓=12S濾紙圓．
∴它的側(cè)面展開圖是半圓，其圓心角為180度，
如將漏斗內(nèi)壁構(gòu)成的圓錐側(cè)面也抽象地展開，展開的扇形弧長為：πd=π×6=6πcm，
該側(cè)面展開圖的圓心角為6π÷6×180°π=180°．
由此可以看出兩圓錐的側(cè)面展開得到的扇形，它們的圓心角相等．
∴該濾紙圍成的圓錐形必能緊貼漏斗內(nèi)壁．
（2）如果抽象地將母線長為6cm，開口圓直徑為7.2cm的特殊規(guī)格的漏斗內(nèi)壁圓錐側(cè)面展開，得到的扇形弧長為7.2πcm，
圓心角為7.2π÷6×180°π=216°，
濾紙片如緊貼漏斗壁，其圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的圓心角也應(yīng)為216°，
又∵重疊部分每層面積為圓形濾紙片的面積減去圍成圓錐的最外層側(cè)面展開圖的面積的差的一半，
∴濾紙重疊部分每層面積=25π?216360×25π÷2=5πcm2．
2．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測(cè)）湖南是全國13個(gè)糧食主產(chǎn)省之一，水稻播種面積、總產(chǎn)量均居全國第一．2024年3月19日，習(xí)近平總書記來到常德市鼎城區(qū)謝家鋪鎮(zhèn)港中坪村，走進(jìn)當(dāng)?shù)丶Z食生產(chǎn)萬畝綜合示范片區(qū)，察看秧苗培育和春耕備耕進(jìn)展．如圖為某農(nóng)戶家的圓錐形糧倉示意圖，已知其底面周長為3π米，高度為3.6米，則此糧倉的側(cè)面積為 m2．（結(jié)果保留π）
【答案】5.85π
【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算，先計(jì)算底面半徑和母線長，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．熟知圓錐的側(cè)面是扇形以及扇形的面積計(jì)算方法是關(guān)鍵．
【詳解】解：∵底面周長為3π米
∴底面半徑為：3π2π=1.5m
母線長為：3.62+1.52=3.9m米
故糧倉的側(cè)面積為：12×3π×3.9=5.85πm2，
故答案為：5.85π．
3．（2023·安徽·二模）《九章算術(shù)》中有如下問題：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 斛．

【答案】22
【分析】根據(jù)米堆的底部的弧度即底面圓周的四分之一為8尺，可求出圓錐的底面半徑，從而計(jì)算出米堆的體積，用體積除以每斛的體積即可求得斛數(shù)．
【詳解】解：設(shè)米堆所在圓錐的底面半徑為r尺，由題意，得：14×2πr=8，
∴r=16π，
∴米堆的體積為：14?13πr2×5=3203π≈35.56，
∴米堆的斛數(shù)為：≈22；
故答案為：22．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算及弧長的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出圓錐的知識(shí)，難度不大．
重難點(diǎn)一： 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度
1．（2024·吉林長春·中考真題）一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB=12 cm．現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線l上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為 cm．（結(jié)果保留π）
【答案】8π
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABC=∠A'BC=60°,即∠A'BA=120°，再根據(jù)點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心，以AB為半徑的圓弧的長即可解答．
【詳解】解：∵將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在直線l上，
∴∠ABC=∠A'BC=60°,即∠A'BA=120°，
∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長至少為120°?π?12180°=8π．
故答案為：8π．
2．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，若AB=23，BC=3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持∠CBP=∠BAP，當(dāng)C，P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為 ．
【答案】33π
【分析】根據(jù)題中的條件可先確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系確定CP的長最小時(shí)點(diǎn)P的位置，進(jìn)而求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長．
【詳解】解：∵AC為⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°.
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC,
∴∠PAB+∠ABP=90°.
∴∴∠APB=90°.
∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且在△ABC的內(nèi)部，
如圖，記以AB為直徑的圓的圓心為O1，連接O1C交⊙O1于點(diǎn)P'，連接O1P,CP.
∵CP≥O1C?O1P,
∴當(dāng)點(diǎn)O1,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P在點(diǎn)P'處時(shí)，CP有最小值，
∵AB=23
∴O1B=3
在RtΔBCO1中，tan∠BO1C=BCO1B=33=3.
∴∠BO1C=60°.
∴BP'=60π×3180=33π.
∴.C,P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長為33π.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)圓周角是直角，弧長公式，由銳角正切值求角度，確定點(diǎn)P的路徑是解答本題的關(guān)鍵．
3．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1個(gè)單位長度，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?1,1，B?2,3，C?5,2．
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)B1的坐標(biāo)；
(2)畫出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB2C2，并寫出點(diǎn)B2的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）
【答案】(1)作圖見解析，B12,3
(2)作圖見解析，B2?3,0
(3)52π
【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對(duì)稱和扇形面積公式等知識(shí)，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變；
（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)B、C以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；
（3）先求出AB=5，再由旋轉(zhuǎn)角等于90°，利用弧長公式即可求出．
【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1為所求；點(diǎn)B1的坐標(biāo)為2,3，
（2）如圖，△AB2C2為所求；B2?3,0，
（3）AB=12+22=5，
點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B2的過程中所經(jīng)過的路徑長90×5π180=52π．
重難點(diǎn)二： 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
1．（2021·廣西柳州·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A，B，C對(duì)應(yīng)的刻度分別為1，3，5，將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)A'，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為（ ）
A．43B．6C．43πD．83π
【答案】D
【分析】由題意可知，AC掃過的圖形為一個(gè)扇形，，半徑為4，求出∠BA'C=30°,∠BCA'=60°，再根據(jù)扇形面積公式求解即可．
【詳解】解：由圖可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴sin∠BA'C=BCA'C=24=12，
∴∠BA'C=30°,∠BCA'=60°，
線段CA掃過的圖形為扇形，此扇形的半徑為CA=4，
∴S扇形ACA'=60°360°π×42=83π，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，讀懂題目明確AC掃過的圖形為一個(gè)扇形，且扇形的半徑為4是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2021·四川涼山·中考真題）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'B'C．已知AC=3,BC=2，則線段AB掃過的圖形（陰影部分）的面積為 ．
【答案】5π3
【分析】由于將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)120°得到△A′B′C′，可見，陰影部分面積為扇形ACA′減扇形BCB′，分別計(jì)算兩扇形面積，再計(jì)算其差即可．
【詳解】解：如圖：由旋轉(zhuǎn)可得：
∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′=120π×AC2360=3π，
S扇形BCB′=120π×BC2360=4π3，
則線段AB掃過的圖形的面積為3π?4π3=5π3，
故答案為：5π3
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積的查是解題的關(guān)鍵．
3．（2024·江蘇鹽城·二模）如圖，在扇形OAB中，OC⊥AB于點(diǎn)D，AB=8，將△ODB繞點(diǎn)O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，則線段DB掃過的圖形面積為是 ．
【答案】8π3
【分析】本題考查了扇形面積和陰影部分的面積計(jì)算．將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積的差是解題的關(guān)鍵．
由于繞點(diǎn)O點(diǎn)逆時(shí)△ODB針旋轉(zhuǎn)60°得到△OD'B'．可見，陰影部分面積為扇形OBB'面積減去扇形ODD',分別計(jì)算兩扇形面積，再計(jì)算其差即可．
【詳解】解：如圖，在扇形OAB中，OC⊥AB于點(diǎn)D，
∴ AD=BD=12AB=4
在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理可得：
OB2?OD2=BD2=16．
∵ △ODB繞點(diǎn)O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△OD'B'，
∴ △ODB≌△OD'B'，
∴ ∠DOD'=∠BOB'=60°，
∴扇形ODD'面積為：60°π·OD2360°=OD26π，
扇形OBB'面積為：60°π·OB2360°=OB26π，
∴陰影部分面積為：OB26π?OD26π=π6OB2?OD2=16π6=8π3，
故答案為：8π3．
重難點(diǎn)三： 求其它不規(guī)則圖形面積
1．（2024·山東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=60°，AB=BC=2AD=2．以點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點(diǎn)F，連接FD交EF于另一點(diǎn)G，連接CG．
(1)求證：CG為EF所在圓的切線；
(2)求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留π）
【答案】(1)見解析
(2)334?π3
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)和判定，圓的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明四邊形ABFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圓的性質(zhì)，證明BF=BE=AD=AE=CF，即可證明四邊形ABFD是平行四邊形，再證明△BFG是等邊三角形，再根據(jù)圓的切線判定定理即可證得結(jié)果．
（2）先求出平行四邊形的高DH，根據(jù)扇形面積公式三角形面積公式，平行四邊形面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：連接BG如圖，
根據(jù)題意可知：AD=AE，BE=BF
又∵AB=BC，
∴CF=AE=AD，
∵BC=2AD，
∴BF=BE=AD=AE=CF，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABFD是平行四邊形，
∴∠BFD=∠DAB=60°，
∵BG=BF，
∴△BFG是等邊三角形，
∴GF=BF，
∴GF=BF=FC，
∴G在以BC為直徑的圓上，
∴∠BGC=90°，
∴CG為EF所在圓的切線．
（2）過D作DH⊥AB于點(diǎn)H，
由圖可得：S陰影=S?ABFD?S扇AED?S扇BEG?S△BFG，
在Rt△AHD中，AD=1，∠DAB=60°，
∴DH=AD?sin∠DAB=1×32=32，
∴S?ABFD=AB?DH=2×32=3，
由題可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴S扇AED=S扇BGE=nπr2360=60πAD2360=60×π×12360=π6，
等邊三角形BFG的面積為：12GF?DH=12×1×32=34，
∴S陰影=S?ABFD?S扇AED?S扇BEG?S△BFG=3?π6?π6?34=334?π3
2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，________．求證：________．

從①DE與⊙O相切；②DE⊥AC中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫序號(hào)），并完成證明過程．
（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求陰影部分的面積．
【答案】（1）②①，證明見解析（或①②，證明見解析）（2）2783?3π2
【分析】（1）一：已知條件為②DE⊥AC，結(jié)論為①DE與⊙O相切；連接OD，先證出OD∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DE⊥OD，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①DE與⊙O相切，結(jié)論為②DE⊥AC；連接OD，先證出OD∥AC，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得DE⊥OD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；
（2）連接OD,OF，先解直角三角形求出OD,AE,DE的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AF的長，從而可得EF的長，然后根據(jù)圓周角定理可得∠DOF=2∠CAD=60°，最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形ODEF的面積減去扇形ODF的面積即可得．
【詳解】解：（1）一：已知條件為②DE⊥AC，結(jié)論為①DE與⊙O相切，證明如下：
如圖，連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
又∵OD是⊙O的半徑，
∴DE與⊙O相切；
二：已知條件為①DE與⊙O相切，結(jié)論為②DE⊥AC，證明如下：
如圖，連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵弦AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE與⊙O相切，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如圖，連接OD,OF，
∵AB=6，∠BAD=30°，
∴OA=OD=OF=3,AD=AB?cs30°=33，∠CAD=30°，
∴DE=12AD=323,AE=AD?cs30°=92，
又∵∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAC=60°，
∴△OAF是等邊三角形，
∴AF=OA=3，
∴EF=AE?AF=32，
由圓周角定理得：∠DOF=2∠CAD=60°，
則陰影部分的面積為S直角梯形ODEF?S扇形ODF=DE?EF+OD2?60π×32360
=323×32+32?3π2
=2783?3π2．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC,BC，AB于點(diǎn)D,E,F，且點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn)．

(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若CE=2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】(1)證明見解析
(2)2?π2
【分析】（1）連接OE、OD，證出OE⊥BC，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)S陰影=S△OEB?S扇OEF，分別求出S△OEB和S扇OEF即可得出答案．
【詳解】（1）連接OE、OD，
∵ ∠C=90°,AC=BC，
∴∠OAD=∠B=45°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∵點(diǎn)E是弧DF的中點(diǎn)，
∴∠DOE=∠EOF=12∠DOF=45°，
∴∠OEB=180°?∠EOF?∠B=90°，
∴ OE⊥BC，
∵ OE為半徑，
∴ BC是⊙O的切線；
（2）∵ OE⊥BC，∠B=45°，
∴ △OEB為等腰直角三角形，
設(shè)BE=OE=x，則OB=2x，
∴AB=x+2x，
∵AB=2BC，
∴x+2x=22+x，
∴x=2，
∴ S陰影=S△OEB?S扇OEF=12×2×2?45°π×22360°=2?π2．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了切線的判定定理、扇形的面積、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理．
重難點(diǎn)四： 圓錐側(cè)面上最短路徑問題
1．（2023·湖北十堰·中考真題）如圖，已知點(diǎn)C為圓錐母線SB的中點(diǎn)，AB為底面圓的直徑，SB=6，AB=4，一只螞蟻沿著圓錐的側(cè)面從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路程為（ ）

A．5B．33C．32D．63
【答案】B
【分析】連接AB，先根據(jù)直徑求出底面周長，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可求出圓錐的側(cè)面展開后的圓心角，可得△SAB是等邊三角形，即可求解．
【詳解】解：連接AB，如圖所示，

∵AB為底面圓的直徑，AB=4，
設(shè)半徑為r,
∴底面周長=2πr=4π，
設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的圓心角為n，
∵圓錐母線SB=6，
根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長可得：4π=nπ×6180°，
解得：n=120°，
∴∠ASC=60°，
∵半徑SA=SB，
∴△SAB是等邊三角形，
在Rt△ACS中，AC=SA?sin60°=6×32=33，
∴螞蟻爬行的最短路程為33，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平面展開—最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，化曲面為平面，用三角函數(shù)求解．
2．（2024·廣東東莞·二模）【綜合與實(shí)踐】
主題：制作圓錐形生日帽．
素材：一張圓形紙板、裝飾彩帶．
步驟1：如圖1，將一個(gè)底面半徑為r的圓錐側(cè)面展開，可得到一個(gè)半徑為l、圓心角為n°的扇形．制作圓錐形生日帽時(shí)，要先確定扇形的圓心角度數(shù)，再度量裁剪材料．
步驟2：如圖2，把剪好的紙板粘合成圓錐形生日帽，

(1)現(xiàn)在需要制作一個(gè)r=10cm，l=30cm的生日帽，請(qǐng)幫忙計(jì)算出所需扇形紙板的圓心角度數(shù)；
(2)為了使（1）中所制作的生日帽更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），求彩帶長度的最小值．
【答案】(1)120°
(2)303cm
【分析】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理求最值問題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)扇形的兩個(gè)面積公式可得n=360rl，再代入求解即可；
（2）連接AA'，過點(diǎn)P作PH⊥AA'，線段AA'就是彩帶長度的最小值，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及解直角三角形即可求解．
【詳解】（1）∵r=10cm，l=30cm，
∵ 12×2πr×l=nπl(wèi)2360，
∴n=360rl=360×1030=120，
∴扇形紙板的圓心角度數(shù)為120°；
（2）如圖所示．連接AA'，過點(diǎn)P作PH⊥AA'，線段AA'就是彩帶長度的最小值，
由（1）得PA=PA'=30cm,∠APA'=120°，
∴∠APH=∠A'PH=60°,AH=A'H,
∴∠PA'H=30°,
∴PH=12PA=15
∴AH=AP2?PH2=153,
∴AA'=2AH=303,
∴彩帶長度的最小值為303cm．
3．（22-23九年級(jí)上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖1，等腰三角形ABC中，當(dāng)頂角∠A的大小確定時(shí)，它的對(duì)邊（即底邊BC）與鄰邊（即腰AB或AC）的比值也就確定了，我們把這個(gè)比值記作TA，即TA=∠A的對(duì)邊(底邊)∠A的鄰邊(腰)=BCAC ，當(dāng)∠A=60°時(shí)，如T60°=1．
(1)T90°= ，T120°= ，TA的取值范圍是 ；
(2)如圖2，圓錐的母線長為18，底面直徑PQ=14，一只螞蟻從點(diǎn)P沿著圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)Q，求螞蟻爬行的最短路徑長．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：T140°≈0.53，T70°≈0.87，T35°≈1.66）
【答案】(1)22;33;T(A)>12
(2)20.7
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的知識(shí)和扇形的弧長公式計(jì)算，可求扇形的圓心角；再根據(jù)TA的定義即可解答．
【詳解】（1）解：如圖1，
∠A=90°，AB=AC，則BCAB=2，
∴F(90°)=ABBC=22，
如圖2，
∠A=120°，AB=AC，作AD⊥BC于D，則∠BAD=60°，
∴BD=32AB，
∴BC=3AB，
∴T(120°)=ABBC=33；
∵2AB＞BC，
∴ABBC>12，
∴T（A）＞12．
故答案為：22;33;T(A)>12．
（2）解：∵圓錐的底面直徑PQ=14，
∴圓錐的底面周長為14π，即側(cè)面展開圖扇形的弧長為14π，
設(shè)扇形的圓心角為n°，
則n?π×18180=14π，解得n＝140，
∵T70°≈0.87，
∴螞蟻爬行的最短路徑長為180.87≈20.7．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓錐的側(cè)面展開圖、弧長公式等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理和TA的定義是解本題的關(guān)鍵．
易錯(cuò)點(diǎn)1： 誤把圓錐底面圓的半徑看成側(cè)面展開圖中扇形的半徑
1．（2024·江蘇無錫·二模）將圓心角為150°的扇形圍成一個(gè)圓錐，若底面圓的直徑為10cm，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）cm2
A．50πB．60πC．90πD．120π
【答案】B
【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積，扇形弧長公式；利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐底面圓周長，先求出圓錐母線長，再求出側(cè)面積即可．
【詳解】解：設(shè)圓錐母線長為l，則有：150πl(wèi)180=10π，
解得：l=12，
則圓錐側(cè)面積為：12×10π×12=60π(cm2)，
故選：B．
易錯(cuò)點(diǎn)2： 混淆圓錐的表面積和側(cè)面積
1．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖， 是一個(gè)幾何體的三視圖， 那么這個(gè)幾何體的表面積是（ ）
A．12πB．18πC．24πD．30π
【答案】C
【分析】本題考查三視圖，求圓錐的表面積，根據(jù)三視圖可知立體圖形為底面圓半徑為3，高線為4的圓錐，根據(jù)圓錐的表面積的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由圖可知：立體圖形為底面圓半徑為3，高線為4的圓錐，
∴母線長為32+42=5，
∴表面積為：3×5π+3×3π=24π；
故選C．
2．（2022·寧夏固原·模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)圓錐的底面直徑為20cm，母線長為30cm，則這個(gè)圓錐的表面積是 ．
【答案】400πcm2
【分析】由題意知，r=202=10cm，l=30cm，根據(jù)S表面積=S側(cè)+S底=πrl+πr2，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，r=202=10cm，l=30cm，
∴S表面積=S側(cè)+S底=πrl+πr2=π×10×30+π×102=400πcm2，
故答案為：400πcm2．
目錄
01 理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。
02 盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識(shí)梳理）
\l "_Tc182324382" 知識(shí)模塊一：正多邊與圓
\l "_Tc182324386" 知識(shí)模塊二：弧長與扇形面積
03 究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（9大基礎(chǔ)考點(diǎn)）
\l "_Tc182324398" 考點(diǎn)一： 求正多邊形的中心角
\l "_Tc182324399" 考點(diǎn)二： 已知正多邊形的中心角求邊數(shù)
\l "_Tc182324400" 考點(diǎn)三： 利用弧長公式求弧長
\l "_Tc182324401" 考點(diǎn)四： 由弧長公式或扇形面積公式求圓心角、半徑
\l "_Tc182324402" 考點(diǎn)五： 利用扇形面積公式計(jì)算扇形面積
\l "_Tc182324403" 考點(diǎn)六： 求弓形面積
\l "_Tc182324404" 考點(diǎn)七：求圓錐的側(cè)面積，底面半徑，高，母線
\l "_Tc182324405" 考點(diǎn)八： 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角
\l "_Tc182324406" 考點(diǎn)九： 圓錐的實(shí)際問題
04 破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（4大重難點(diǎn)）
\l "_重難點(diǎn)一：_求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度" 重難點(diǎn)一： 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度
\l "_重難點(diǎn)二：_求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積" 重難點(diǎn)二： 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積
\l "_重難點(diǎn)三：_求其它不規(guī)則圖形面積" 重難點(diǎn)三： 求其它不規(guī)則圖形面積
\l "_重難點(diǎn)四：_圓錐側(cè)面上最短路徑問題" 重難點(diǎn)四：圓錐側(cè)面上最短路徑問題
05 辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）
\l "_易錯(cuò)點(diǎn)1：" 易錯(cuò)點(diǎn)1： 誤把圓錐底面圓的半徑看成側(cè)面展開圖中扇形的半徑
\l "_易錯(cuò)點(diǎn)2："易錯(cuò)點(diǎn)2： 混淆圓錐的表面積和側(cè)面積
中心
一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.
半徑
正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
中心角
正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.
邊心距
正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

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