1、本試卷共21道試題，滿分150分，答題時(shí)間120分鐘；
2、請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評(píng)分．
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題．考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分．
1. 不等式的解為____________．
2. 已知向量，若，則______．
3. 設(shè)圓方程為，則圓的半徑為____________．
4. 若，則函數(shù)的最小正周期為____________．
5. 若關(guān)于的方程的一個(gè)虛根的模為，則實(shí)數(shù)的值為____________．
6. 設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，則____________．
7. 在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.
8. 設(shè)為拋物線上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則的值為____________．
9. 李老師在整理建模小組10名學(xué)生的成績(jī)時(shí)不小心遺失了一位學(xué)生的成績(jī)，且剩余學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老師記得這名學(xué)生的成績(jī)恰好是本組學(xué)生成績(jī)的第25百分位數(shù)，則這10名學(xué)生的成績(jī)的方差為____________．
10. 如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，從地面點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為__________米．（保留一位小數(shù)）
11. 已知為空間中三個(gè)單位向量，且，若向量滿足，，則向量與向量夾角的最小值為__________．（用反三角表示）
12. 已知數(shù)列，，并且前項(xiàng)和滿足：
①存在小于的正整數(shù)，使得；
②對(duì)任意的正整數(shù)和，都有．
則滿足以上條件的數(shù)列共有__________個(gè)．
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案．考生必須在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對(duì)得4分，15-16題每題選對(duì)得5分，否則一律得零分．
13. 已知集合，集合，全集為，則（ ）
A. B. C. D.
14. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
15. 研究變量，得到一組成對(duì)數(shù)據(jù)，先進(jìn)行一次線性回歸分析，接著增加一個(gè)數(shù)據(jù)，其中，，再重新進(jìn)行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（ ）
A. 變量與變量的相關(guān)性變強(qiáng)B. 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值變小
C. 線性回歸方程不變D. 擬合誤差變大
16. 已知圓錐曲線的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，若對(duì)于上的任意一點(diǎn)，均存在上兩點(diǎn)，，使得原點(diǎn)到直線，和的距離都相等，則稱曲線為“完美曲線”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：
①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．
下列判斷正確的是（ ）
A. ①是真命題，②是假命題B. ①是假命題，②是真命題
C. ①②都是真命題D. ①②都是假命題
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應(yīng)編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 已知函數(shù)的表達(dá)式．
（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18. 如圖，四邊形長(zhǎng)方形，平面，，．
（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：∥平面；
（2）邊上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長(zhǎng)；若不存在，說明理由．
19. 為測(cè)試、兩款人工智能軟件解答數(shù)學(xué)問題的能力，將道難度相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)試題從到編號(hào)后隨機(jī)分配給這兩款軟件測(cè)試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結(jié)果如下：
（1）分別估計(jì)軟件、軟件能正確解答數(shù)學(xué)問題的概率；
（2）小浦準(zhǔn)備用這兩款軟件來解決某次數(shù)學(xué)測(cè)試中的第題（假設(shè)其難度和測(cè)試的道題基本相同），但該題內(nèi)容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為，是函數(shù)題的概率為．將頻率視為概率，試通過計(jì)算來說明小浦應(yīng)該用哪款軟件解決這道試題？
（3）小浦決定采用這兩款軟件解答道類似試題，其中幾何、函數(shù)各道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數(shù)題上的正確率，決定用表現(xiàn)較好的那款軟件解決其擅長(zhǎng)的題型．用、分別表示這道幾何試題與道函數(shù)試題被正確解答的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差．
20. 已知橢圓方程為，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，橢圓的中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)橢圓的離心率相等．
（1）若橢圓的方程是，焦點(diǎn)在軸上，求的值；
（2）設(shè)橢圓焦點(diǎn)在軸上，直線與相交于點(diǎn)、，若，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的長(zhǎng)軸的取值范圍．
21. 定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)滿足，在曲線上存在三個(gè)不同的點(diǎn)，使得直線與曲線在點(diǎn)處的切線平行（或重合）．若成等差數(shù)列，則稱為“等差函數(shù)”；若成等差數(shù)列且均為整數(shù)，則稱為“整數(shù)等差函數(shù)”．
（1）設(shè)，，分別判斷和是否為“整數(shù)等差函數(shù)”，直接寫出結(jié)論；
（2）若為“整數(shù)等差函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的最小值；
（3）已知的導(dǎo)函數(shù)在上為增函數(shù)，且存在一個(gè)正常數(shù)， 使得對(duì)任意，成立，證明：為“等差函數(shù)”的充要條件是為常值函數(shù)．
試題類別
軟件
軟件
測(cè)試試題數(shù)量
正確解答的數(shù)量
測(cè)試試題數(shù)量
正確解答數(shù)量
幾何試題
函數(shù)試題

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