2024-2025學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三上冊(cè)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、填空題（本大題共12小題）
1．若對(duì)數(shù)函數(shù)且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù) .
2．直線的傾斜角 .
3．已知復(fù)數(shù)，，，若為純虛數(shù)，則．
4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
5．在中，，，，則．
6．已知實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為．
7．若等差數(shù)列滿足，，則．
8．已知函數(shù)的表達(dá)式為，則不等式的解集為．
9．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線上的點(diǎn)在第一象限，且與雙曲線的一條漸近線平行，則的面積為．

10．某地要建造一個(gè)市民休閑公園長(zhǎng)方形，如圖，邊，邊，其中區(qū)域開(kāi)挖成一個(gè)人工湖，其他區(qū)域?yàn)榫G化風(fēng)景區(qū)．經(jīng)測(cè)算，人工湖在公園內(nèi)的邊界是一段圓弧，且、位于圓心的正北方向，位于圓心的北偏東60°方向．?dāng)M定在圓弧處修建一座漁人碼頭，供游客湖中泛舟，并在公園的邊、開(kāi)設(shè)兩個(gè)門(mén)、，修建步行道、通往漁人碼頭，且、，則步行道、長(zhǎng)度之和的最小值是．（精確到0.001）
11．已知空間中三個(gè)單位向量、、，，為空間中一點(diǎn)，且滿足，，，則點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為．
12．已知在復(fù)數(shù)集中，等式對(duì)任意復(fù)數(shù)恒成立，復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)為某個(gè)單位圓內(nèi)接正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，，則滿足條件的不同集合個(gè)數(shù)為．
二、單選題（本大題共4小題）
13．若實(shí)數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是（）
A．B．C．D．
14．設(shè)、為兩條直線，、為兩個(gè)平面，且．下述四個(gè)命題中為假命題的是（）
A．若，則B．若，則
C．若且，則D．若，則或
15．對(duì)一組數(shù)據(jù)3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一個(gè)數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量一定會(huì)發(fā)生變化的為（）
A．中位數(shù)B．眾數(shù)C．平均數(shù)D．方差
16．設(shè)函數(shù)，的定義域均為，值域分別為、，且．若集合S滿足以下兩個(gè)條件：（1）；（2）是有限集，則稱(chēng)和是S-互補(bǔ)函數(shù)．給出以下兩個(gè)命題：①存在函數(shù)，使得和是-互補(bǔ)函數(shù)；②存在函數(shù)，使得和是-互補(bǔ)函數(shù)．則（）
A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題
三、解答題（本大題共5小題）
17．已知函數(shù)的表達(dá)式為，．
(1)若函數(shù)的最小正周期為，求的值及的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若，設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為，求當(dāng)時(shí)，的值域．
18．如圖，已知為圓柱底面圓的直徑，，母線長(zhǎng)為3，點(diǎn)為底面圓的圓周上一點(diǎn)．
(1)若，求三棱錐的體積；
(2)若，求異面直線與所成的角的余弦值．
19．申輝中學(xué)為期兩周的高一、高二年級(jí)校園籃球賽告一段落．高一小、高二小分別榮獲了高一年級(jí)和高二年級(jí)比賽的年級(jí)MVP（最有價(jià)值球員）．以下是他們?cè)诟髯?場(chǎng)比賽的二分球和三分球出手次數(shù)及其命中率．
現(xiàn)以?xún)扇说目偼痘@命中率（二分球+三分球）較高者評(píng)為校（總投籃命中率總命中次數(shù)÷總出手次數(shù)）
(1)小認(rèn)為，目測(cè)小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能評(píng)為校，試通過(guò)計(jì)算判斷小的想法是否準(zhǔn)確？
(2)小是游戲愛(ài)好者，設(shè)置了一款由游戲人物小、小輪流投籃對(duì)戰(zhàn)游戲，游戲規(guī)則如下：①游戲中小的命中率始終為0.4，小的命中率始終為0.3，②游戲中投籃總次數(shù)最多為次，且同一個(gè)游戲人物不允許連續(xù)技籃．③游戲中若投籃命中，則游戲結(jié)束，投中者獲得勝利；若直至第次投籃都沒(méi)有命中，則規(guī)定第二次投籃者獲勝．若每次游戲?qū)?zhàn)前必須設(shè)置“第一次投籃人物”和“”的值，請(qǐng)解答以下兩個(gè)問(wèn)題．
（?。┤粜〉谝淮瓮痘@，請(qǐng)證明小獲勝概率大；
（ⅱ）若小第一次投籃，試問(wèn)誰(shuí)的獲勝概率大？并說(shuō)明理由．
20．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于A、兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限．
(1)若，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)求的取值范圍；
(3)若軸，垂足為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值．
21．過(guò)曲線上一點(diǎn)作其切線，若恰有兩條，則稱(chēng)為的“類(lèi)點(diǎn)”；過(guò)曲線外一點(diǎn)作其切線，若恰有三條，則稱(chēng)為的“類(lèi)點(diǎn)”；若點(diǎn)為的“類(lèi)點(diǎn)”或“類(lèi)點(diǎn)”，且過(guò)存在兩條相互垂直的切線，則稱(chēng)為的“類(lèi)點(diǎn)”．
(1)設(shè)，判斷點(diǎn)是否為的“類(lèi)點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)，若點(diǎn)為的“類(lèi)點(diǎn)”，且過(guò)點(diǎn)的三條切線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)可構(gòu)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)的值；
(3)設(shè)，證明：軸上不存在的“類(lèi)點(diǎn)”．
答案
1．【正確答案】2
【詳解】將點(diǎn)代入得，解得
故2.
2．【正確答案】
【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，
易知直線的斜率為，
所以，
解得.
故
3．【正確答案】5
【詳解】，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，
所以，所以，
故5.
4．【正確答案】20
【詳解】的展開(kāi)式中第項(xiàng)為，
令得：的系數(shù)為.
故20．
5．【正確答案】
【詳解】在中，由，，得，
由正弦定理得，.
故
6．【正確答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為.
故答案為.
7．【正確答案】
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，
則，即，
且，可得，
即，解得
故答案為.
8．【正確答案】
【詳解】因?yàn)椋?br>若，則，即，解得；
若，則，解得；
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為.
9．【正確答案】
【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)，漸近線方程為，
依題意，直線的方程為，
由，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以的面積為.
故
10．【正確答案】1.172
【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接，
令圓的半徑為，則，解得，設(shè)，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以步行道、長(zhǎng)度之和的最小值是.
故
11．【正確答案】8
【詳解】由題意得，，且.
以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.
設(shè)，則，
∴，，，
∴，，，
∴點(diǎn)坐標(biāo)可能為，，，，，，，，
故點(diǎn)個(gè)數(shù)的最大值為8.
故8.
12．【正確答案】10
【詳解】
，
對(duì)比系數(shù)可得，，
，，
復(fù)數(shù)，，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)為某個(gè)單位圓內(nèi)接正方形的4個(gè)頂點(diǎn)
情況1，四個(gè)根兩兩互為共軛復(fù)數(shù)，故圓心在軸上，設(shè)單位的圓心為，
不妨設(shè)，，
，，
，
類(lèi)似計(jì)算可得，
，，
因?yàn)椋?br>所以只能為負(fù)整數(shù)，又集合元素的互異性，從而可得，此時(shí)集合的個(gè)數(shù)為5個(gè)，
情況2，四個(gè)根有2個(gè)為實(shí)數(shù)，另外2個(gè)為共軛復(fù)數(shù)故圓心在軸上，設(shè)單位的圓心為，
不妨設(shè)，，，，
計(jì)算可得，，
，，
因?yàn)?，所以只能為?fù)整數(shù)，又集合元素的互異性，
從而可得，此時(shí)集合的個(gè)數(shù)為5個(gè)，
綜上：滿足條件的不同的個(gè)數(shù)為10.
故10.
13．【正確答案】C
【詳解】對(duì)于A，令，滿足，但，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，令，滿足，但，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿足，所以，故C正確；
對(duì)于D，令，滿足，但，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
14．【正確答案】B
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，又，所以，故選項(xiàng)A是真命題，
對(duì)于選項(xiàng)B，如圖，取平面為，平面為，則直線為直線，取為直線，
顯然有，但與異面，所以選項(xiàng)B為假命題，
對(duì)于選項(xiàng)C，在內(nèi)任取不在直線上的一點(diǎn)，過(guò)確定，則，因?yàn)椋裕?br>同理可得，，所以，又，故，
又，所以，得到，故選項(xiàng)C為真命題，
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，，若，因?yàn)?，則，
若，易知，又，，所以，故選項(xiàng)D為真命題，
故選：B.
15．【正確答案】D
【詳解】數(shù)據(jù)由小到大排列為：1，1，2，3，3，3，4，5，5，其中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)都為3，
去掉數(shù)據(jù)1，剩余數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)都不變；去掉數(shù)據(jù)3，剩余數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，ABC不是；
若任意去掉其中一個(gè)數(shù)據(jù)，剩余數(shù)據(jù)的波動(dòng)性發(fā)生變化，方差一定發(fā)生變化，D是.
故選：D
16．【正確答案】A
【詳解】對(duì)于①，取的值域?yàn)椋?br>故，，
令，
滿足和是有限集，
從而和是-互補(bǔ)函數(shù)，①正確；
對(duì)于②，取是增函數(shù)，，由復(fù)合函數(shù)性質(zhì)，
只需考慮和即可，
先讓的值域包含，則，，
那么接下來(lái)考慮讓的部分被和取得，
因?yàn)榈闹涤驔](méi)有，所以的值域中沒(méi)有，
所以的值域沒(méi)有，
所以考慮讓的值域中有，
則的值域有，……，
依次類(lèi)推，按照這樣的方式構(gòu)造下去，
可以得到滿足題意的，②正確.
故選：A
17．【正確答案】(1)，單調(diào)增區(qū)間為；
(2)
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得?br>，
令，解得，
故單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），，
時(shí)，，故，
所以.
18．【正確答案】(1)4；
(2).
【詳解】（1）依題意，平面，由，得，
所以三棱錐的體積.
（2）過(guò)點(diǎn)作圓柱的母線，連接，
則，于是四邊形為平行四邊形，，
因此是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，
由，得，，，
則，，
由平面，得，
在中，，
所以異面直線與所成的角的余弦值為.
19．【正確答案】(1)不正確
(2)（?。┳C明見(jiàn)解析，（ⅱ）答案見(jiàn)解析，理由見(jiàn)解析；
【詳解】（1）由題意小總出手200次，命中120次，命中率為：，
小總出手200次，命中136次，命中率為，
故小獲校，所以小的想法不正確；
（2）（?。┳C明：若第一次投籃人物為小，，
小獲勝的概率為，小獲勝的概率為，
則，
所以若小第一次投籃，小獲勝概率大，
（ⅱ）若第一次投籃人物為小，，
小獲勝的概率為，小獲勝的概率為，
則
，
其中
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：隨著的增大而增大，
計(jì)算可得：，
所以當(dāng)也就是時(shí)，，
當(dāng)也就是時(shí)，，
綜上：若小第一次投籃，時(shí)，小獲勝概率大，
時(shí)，小獲勝概率大.
20．【正確答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由橢圓方程可知：，則，
設(shè)直線，，
可得，解得，
則，解得，
則，即，所以.
（2）因?yàn)椋?br>可得，
則，
因?yàn)椋瑒t，
可得，
所以的取值范圍為.
（3）設(shè)，
由題意可知：，
則，且，
因?yàn)辄c(diǎn)均在橢圓上，則，兩式相減得，
整理可得，即，
則，即，可知，
又因?yàn)?，則，
可得面積
，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，
所以面積的最大值為.
1.數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；
2.構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值(注意：有時(shí)需先換元后再求最值)．
21．【正確答案】(1)是，理由見(jiàn)解析；
(2)2；
(3)證明見(jiàn)解析.
【詳解】（1）函數(shù)，，點(diǎn)在上，求導(dǎo)得，
設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，即，
由切線過(guò)，得，,解得或，
因此切線方程為，所以點(diǎn)為的“類(lèi)點(diǎn)”.
（2）函數(shù)，求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，
切線方程為，即，
切線過(guò)，則，
依題意，方程有三個(gè)不同解，且成等差數(shù)列，設(shè)為，公差為，
，
因此，則，，則，
當(dāng)時(shí)，，不過(guò)，
所以的值為2.
（3）假設(shè)軸上存在函數(shù)的“類(lèi)點(diǎn)”，記為，設(shè)坐標(biāo)為，
求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，
即，由切線過(guò)，得，此方程至少有兩個(gè)不同解，
設(shè)，則，由，得或，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是上的嚴(yán)格減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，為上的嚴(yán)格增函數(shù)，
函數(shù)的極小值，極大值，又，
當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)不同解，當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不同解，
當(dāng)時(shí)，在上，其余情況下在外，則，
設(shè)兩垂直切線的斜率為，對(duì)應(yīng)方程的兩根為，
則，由，
得，則有，
由，得異號(hào)，不妨設(shè)，
由均值不等式知，，
則，與矛盾，即不存在，
所以軸上不存在的“類(lèi)點(diǎn)”.二分球出手
二分球命中率
三分球出手
三分球命中率
小
100次
100次
小
190次
10次

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