2025.01
注意：
1.答卷前，考生務必在答題紙上指定位置將姓名?學校?考號填寫清楚.
2.本試卷共有21道試題，滿分100分，考試時間90分鐘.
一?填空題（本大題共有12題，滿分36分）只要求直接填寫結果，每個空格填對得3分，否則一律得零分.
1. 兩條異面直線所成角的范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據異面直線的定義求解即可.
【詳解】根據異面直線的定義，兩條異面直線所成角的范圍是為.
故答案為：.
2. 記事件A的對立事件為，若，則為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由對立事件的概率公式計算求解即可.
【詳解】因為，所以.
故答案為：.
3. 表面積為球的體積是__________（結果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】根據表面積求得球的半徑，進而求得球的體積.
【詳解】設球的半徑為，則，
所以球的體積為.
故答案為：
4. 已知5件產品中有2件次品，其余為合格品．現從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為_____
【答案】0.6
【解析】
【詳解】試題分析：從這5件產品中任取2件的取法為，所以基本事件總數為10；設“選的2件產品中恰有一件次品”為事件A，則A包含的基本事件個數為，所以．
考點：1、古典概型；2、組合數．
5. 某袋子內裝有三種顏色的小球，小明每次從袋子中隨機摸出一個小球，觀察顏色后再放回，重復了90次，得到的信息如下：觀察到紅色小球52次，藍色小球26次.如果從這個袋子內任意摸一個小球，這個小球既不是紅色也不是藍色的經驗概率為__________.
【答案】
【解析】
【分析】計算紅色球、藍色球出現的頻率，即為概率，由事件的關系可計算既不是紅色也不是藍色的概率.
【詳解】記取到紅球為事件A，取到藍球為事件B，取到的球不是紅球也不是藍球為事件C.
所以，,
由題意，，且互斥，
則.
故答案為：
6. 已知，若A，B互斥，則__________.
【答案】09
【解析】
【分析】利用互斥事件的概率求解.
【詳解】解：因為，且A，B互斥，
所以，
故答案為：0.9
7. 若五個數的平均數為1，則這五個數的方差等于__________.
【答案】2
【解析】
【分析】本題可先依據平均數公式求出a的值,再用方差的公式計算出方差即可.
【詳解】,
方差.
故答案為2.
【點睛】本題考查的是平均數和方差的求法.計算方差的步驟是:①計算數據的平均數;②計算偏差,即每個數據與平均數的差;③計算偏差的平方和;④偏差的平方和除以數據個數.
8. 有一組按從小到大順序排列的數據：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數相等，則這組數據的中位數為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由極差和平均數求出，即可求出中位數.
【詳解】依題意可得極差為，平均數為，
所以，解得，
所以中位線為.
故答案為：
9. “石頭、剪刀、布”是一種古老的游戲，操作簡單，具有極為廣泛的群眾基礎，游戲規(guī)則為：石頭克剪刀，剪刀克布，布克石頭.兩人參加游戲，若兩人都隨機出手，則出手1次就能分出勝負的概率為______.
【答案】
【解析】
【分析】列出表格結合古典概型概率公式即得.
【詳解】
從表中可以看出，兩個人每次隨機出手，則出手1次就能分出勝負的概率為.
故答案為：.
10. 若平行四邊形是用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形的直觀圖.已知，平行四邊形的面積為8，則原平面圖形中的長度為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由平行四邊形的面積求出，再結合斜二測畫法分析可得結果.
【詳解】
如圖，過點作于點，則為等腰直角三角形，
由平行四邊形的面積為8得，
∵，∴，∴，
∴原平面圖形中，，.
故答案為：.
11. 設地球的半徑為，若在北緯的緯線圖上，則此緯線圈構成的小圓面積為__________.（結果用表示）
【答案】
【解析】
【分析】作出圖象，求出小圓半徑即可得答案.
【詳解】解：如圖所示：
則點A所在小圓半徑，
所以小圓的面積為.
故答案為：
12. 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體的棱長為______
【答案】
【解析】
【分析】從圖形中作一個最大的水平截面，它是一個正八邊形，八個頂點都在邊長為鐵正方形邊上，由此可計算出棱長．
【詳解】作出該圖形的一個最大的水平截面正八邊形，如圖，其八個頂點都在邊長為1的正方形上，設“半正多面體”棱長為，則，解得，
故答案為：．
【點睛】本題考查學生的空間想象能力，抽象概括能力，解題關鍵是從“半正多面體”中作出一個截面為正八邊形且正八邊形的八個頂點都在邊長為1的正方形上，由此易得棱長．
二?選擇題（本大題共有4題，滿分12分）每小題都給出四個選項，其中有且只有一個選項是正確的，選對得3分，否則一律得零分.
13. “平面內有一條直線，則這條直線上的一點A必在這個平面內”用符號語言表述是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據點與線、點與面的關系是元素和集合的關系，線與面的關系是集合與集合的關系判斷即可.
【詳解】∵平面內有一條直線，∴，
∵點A在直線上，∴，
∴.
故選：B.
14. 已知為隨機事件，A與B互斥，B與C互為對立，且，，則（ ）
A. 0.06B. 0.5C. 0.6D. 0.7
【答案】D
【解析】
【分析】根據對立事件和互斥事件的概率公式求解即可.
【詳解】因為B與C互為對立，，
所以，
因為A與B互斥，
所以.
故選：D.
15. “中國天眼”為500米口徑球面射電望遠鏡(Five－h(huán)undred－meter Aperture Spherical radi Telescpe，簡稱FAST)，是具有我國自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡.建造“中國天眼”的目的是（ ）
A. 通過調查獲取數據B. 通過試驗獲取數據
C. 通過觀察獲取數據D. 通過查詢獲得數據
【答案】C
【解析】
【分析】根據獲取數據的途徑判斷即可.
【詳解】“中國天眼”主要是通過觀察獲取數據.
故選：C.
16. 某社區(qū)通過公益講座宣傳交通法規(guī).為了解講座效果，隨機抽取10位居民，分別在講座前、后各回答一份交通法規(guī)知識問卷，滿分為100分.他們得分的莖葉圖如圖所示（“葉”是個位數字），則下列選項敘述錯誤的是（ ）.
A. 講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分
B. 講座前的答卷得分分布較講座后分散
C. 講座前答卷得分的中位數是70
D. 講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差
【答案】C
【解析】
【分析】利用莖葉圖分析判斷AB；求出中位數判斷C；求出極差判斷D.
【詳解】對于A，由莖葉圖知講座后的答卷得分整體上高于講座前的得分，A正確；
對于B，講座前的答卷得分分布在之間，而講座后得分分布在之間，
因此講座前的答卷得分分布較講座后分散，B正確；
對于C，講座前答卷得分依次為，其中位數為，C錯誤；
對于D，講座前答卷得分的極差為，講座后得分的極差為，
因此講座前答卷得分的極差大于講座后得分的極差，D正確.
故選：C
三?解答題（本大題共有5題，滿分52分）解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17. 如圖，在中，，，，將繞軸旋轉一周形成了一個旋轉體.
（1）求這個旋轉體的體積；
（2）求這個旋轉體的表面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）旋轉體是兩個圓錐的組合體，利用圓錐的體積計算旋轉體的體積（2）利用圓錐的表面積計算旋轉體的表面積；
【小問1詳解】
繞軸旋轉一周，形成的幾何體（一個大圓錐挖去一個小圓錐余下的部分）
如圖所示.在中，，，，
.
設旋轉體的底面面積為，旋轉得到同底的兩圓錐的側面積分別為和，則旋轉體的體積
.
【小問2詳解】
由（1）得旋轉體的表面積
.
18. 如圖，在棱長為2的正方體中，分別為線段的中點.
（1）求異面直線與所成角的大??；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據直線和直線平行，得異面直線與所成角，進而在中求解即可；
（2）利用棱錐的體積公式，結合等體積法列方程求解即可.
【小問1詳解】
連接，，因為分別為線段的中點，
所以，故異面直線與所成角為；
又平面，平面，
所以，
所以，
故異面直線與所成的角為.
【小問2詳解】
在正方體中，分別為線段的中點，
所以平面，且
因為F是線段的中點，
所以，
故三棱錐的體積；
因為分別為線段的中點，
所以，
又因為，
所以在中滿足，故為直角三角形，
則，
設點D到平面的距離為d，
則三棱錐的體積，解得，
因此點D到平面的距離為.
19. 如圖，邊長為2的正方形所在平面與平面垂直，與的交點為，，且.
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小.
【答案】（1）證明見詳解；
（2）
【解析】
【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性質定理可得面，進而得到，由線面垂直的判定定理即可證明；
（2）過作交于，連接，由面面垂直性質定理可得面，進而得到，由線面垂直的判定定理可得面，故可得即為直線與平面所成角，由已知長度即可求線面角.
【小問1詳解】
由是正方形，則，
因為面面，面面，，面，
所以面，又面，
所以，
又因為，平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
過作交于，連接，
因為是正方形，則，
因為面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，
又因為，，面，面，
所以面，
所以即為直線與平面所成角，
因為正方形邊長為2，，，
所以，，
所以，
因，
所以，即直線與平面所成角的大小為.
20. 如圖，四棱錐中，底面.
（1）若，證明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）證明見詳解；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由題意可證面，面，進而命題即可得證；
（2）由（1）可證得即為二面角的平面角，在中，根據三角函數定義即可求二面角.
【小問1詳解】
因為底面，面，
所以，
又因為，，面，面，
所以面，
因為，
所以，故，
又因底面，面，
所以，
又，面，面，
所以面，
所以，又平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】
由（1）可知，面，
因為面，
所以，
又因為，
所以即為二面角的平面角，
在中，，
所以，
所以，
所以二面角的大小為.
21. 2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽馬拉松在湖北省襄陽市成功舉行，志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽市新時代文明實踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．
（1）估計這100名候選者面試成績的平均數和第25百分位數；
（2）現從以上各組中用分層隨機抽樣方法選取20人，擔任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績的平均數和方差分別為62和40，第四組面試者的面試成績的平均數和方差分別為80和70，據此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差．
【答案】（1），63
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意先求出，進一步結合平均數公式、百分位數的定義即可列式求解；
（2）首先算出抽樣比，再根據加權平均公式以及方差的性質即可列式求解.
【小問1詳解】
由題意可知：，解得，
可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均數為，
因為，
設第25百分位數為，則，則，
解得，故第25百分位數為63．
【小問2詳解】
設第二組、第四組面試者的面試成績的平均數與方差分別為，
且兩組頻率之比為，
則第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數，
第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差
．
故估計第二組和第四組所有面試者的面試成績的方差是．
石頭
剪刀
布
石頭
石頭、石頭
石頭、剪刀
石頭、布
剪刀
剪刀、石頭
剪刀、剪刀
剪刀、布
布
布、石頭
布、剪刀
布、布

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