上海市浦東新區(qū)2025屆高三下學期期中考試數(shù)學含解析-試卷下載-教習網(wǎng)

2、請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分．
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題．考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得零分．
1. 不等式的解為____________．
【答案】
【解析】
【詳解】分析：不等式化為，解一元二次不等式即可．
詳解：不等式化為，解得，
∴不等式的解集為，故答案為．
點睛：本題考查了分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式的解法，屬于基礎題
2. 已知向量，若，則______．
【答案】-2
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐標表示求解．
【詳解】解：因為，所以，
得，
解得，
故答案為：-2
3. 設圓方程為，則圓的半徑為____________．
【答案】
【解析】
【分析】將圓的方程化為標準方程，可得出圓的半徑.
【詳解】將圓方程化為標準方程可得，故圓的半徑為.
故答案為：.
4. 若，則函數(shù)的最小正周期為____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用兩角和差的余弦公式化簡，再利用周期公式求解.
【詳解】，
故最小正周期為.
故答案為：
5. 若關于的方程的一個虛根的模為，則實數(shù)的值為____________．
【答案】4
【解析】
【分析】設關于的方程的兩根虛根為，則且，即可求出的值，再代入檢驗.
【詳解】設關于的方程的兩根虛根為，則且，
所以，又，所以，
當時，，所以關于的方程有兩個不相等實數(shù)根，不符合題意；
當時，，所以關于的方程有兩個虛根，符合題意；
所以.
故答案為：
6. 設數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)下標和性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式計算可得.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
7. 在的展開式中，常數(shù)項為__________.
【答案】-252
【解析】
【分析】用二項式定理即可.
【詳解】根據(jù)二項式定理，第r+1項為，由于是常數(shù)，
，r=5，
其常數(shù)項系數(shù)為=-252.，
故答案為：-252.
8. 設為拋物線上任意一點，若的最小值為，則的值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意可得，則，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】因為為拋物線上任意一點，所以，，
所以，
所以當時取得最小值，依題意可得，所以.
故答案為：
9. 李老師在整理建模小組10名學生的成績時不小心遺失了一位學生的成績，且剩余學生的成績數(shù)據(jù)如下：5 6 6 7 7 7 8 9 9，但李老師記得這名學生的成績恰好是本組學生成績的第25百分位數(shù)，則這10名學生的成績的方差為____________．
【答案】
【解析】
【分析】現(xiàn)根據(jù)百分位數(shù)得出該生的成績，再利用方差公式計算.
【詳解】，則該學生的成績?yōu)閺男〉酱笈帕械牡趥€，
故該生的成績?yōu)椋?br>則這10名學生的成績的平均數(shù)為，
方差為
故答案為：
10. 如圖，某建筑物垂直于地面，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，已知相距100米，，則該建筑物高度約為__________米．（保留一位小數(shù)）
【答案】66.4
【解析】
【分析】先在和中，根據(jù)仰角分別用建筑物高度表示出和，然后在中利用余弦定理建立關于的方程，最后求解方程得到的值.
【詳解】在中，已知從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，即.因為，所以.
在中，從地面點處測得建筑物頂部的仰角為，即.因為，且，所以.
在中，已知米，.根據(jù)余弦定理，將，代入可得：
，即
可得.
則.
故答案為：66.4.
11. 已知為空間中三個單位向量，且，若向量滿足，，則向量與向量夾角的最小值為__________．（用反三角表示）
【答案】
【解析】
分析】由題意可設設，，結(jié)合，，求得和，再結(jié)合向量夾角得坐標表示即可求解.
【詳解】可設，設，
則，
所以，
兩式相減可得：，再代入第一個式子，
可得：
設向量與向量夾角為，
則，
易知對于當即取得最大值，
此時取得最大值，
即的最大值為，時取得，
再由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知的最小值為，
故答案為：
12. 已知數(shù)列，，并且前項的和滿足：
①存在小于的正整數(shù)，使得；
②對任意的正整數(shù)和，都有．
則滿足以上條件的數(shù)列共有__________個．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的奇偶性結(jié)合，分析可知，進而可得，，即可求數(shù)列個數(shù)，同時排除不滿足條件①的情況.
【詳解】因為，，可知的奇偶性與的奇偶性一致，
對于①：存在小于的正整數(shù)，使得，
對于②：對任意的正整數(shù)和，都有，
可知為奇數(shù)，即，
令，則，可得或；
令，則，可得或；
綜上所述：對任意的正整數(shù)，.
且，可得，，
即確定，不相等，有2種可能，
此時，條件②滿足，
對于數(shù)列可知：均有2種可能，
則滿足條件的數(shù)列共有個，
又因為存在小于的正整數(shù)，使得，
可知對任意，不成立，即這種情況不符合題意，
綜上所述：符合題意的數(shù)列共有個.
故答案為：.
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分．
13. 已知集合，集合，全集為，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由絕對值不等式確定結(jié)合，再由集合得交集、補集運算即可求解.
【詳解】，可得
可得：，
所以，
故選：D
14. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】不能保證都是正值，推不出，反之則成立，即可求解.
【詳解】因為在上是增函數(shù)，故由可得；
取，，此時滿足，但是不滿足，
綜上，“”是“”的必要不充分條件．
故選：B
15. 研究變量，得到一組成對數(shù)據(jù)，先進行一次線性回歸分析，接著增加一個數(shù)據(jù)，其中，，再重新進行一次線性回歸分析，則下列說法正確的是（）
A. 變量與變量的相關性變強B. 相關系數(shù)的絕對值變小
C. 線性回歸方程不變D. 擬合誤差變大
【答案】C
【解析】
【分析】設變量，的平均數(shù)分別為，，分析可知，.對于AB：根據(jù)相關系數(shù)的計算公式和性質(zhì)分析判斷；對于CD：根據(jù)回歸方程和擬合誤差的性質(zhì)分析判斷.
【詳解】設變量，的平均數(shù)分別為，，
則，，即，，
可知新數(shù)據(jù)的樣本中心點不變，仍為，
對于AB：可得，
同理可得，
則相關系數(shù)，
可知相關系數(shù)的值不變，變量與變量的相關性不變，故AB錯誤；
對于C：因為，且線性回歸方程過樣本中心點，
即均不變，所以線性回歸方程不變，故C正確；
因為即為樣本中心點，即，
可知殘差平方和不變，
所以擬合誤差不變，故D錯誤；
故選：C.
16. 已知圓錐曲線的對稱中心為原點，若對于上的任意一點，均存在上兩點，，使得原點到直線，和的距離都相等，則稱曲線為“完美曲線”．現(xiàn)有如下兩個命題：
①任意橢圓都是“完美曲線”；②存在雙曲線是“完美曲線”．
下列判斷正確的是（）
A. ①是真命題，②是假命題B. ①是假命題，②是真命題
C. ①②都是真命題D. ①②都是假命題
【答案】A
【解析】
【分析】對于命題①，通過考慮以原點為圓心的圓與橢圓上直線的位置關系來判斷；
對于命題②，通過取雙曲線頂點，分析以原點為圓心的圓與雙曲線相關直線的位置關系來判斷.
【詳解】判斷命題①：
已知過橢圓上任意一點作以原點為圓心的圓的切線，分別交橢圓于，兩點，連接.
根據(jù)直線與圓的位置關系，當與圓相切時，滿足給定條件.
當與圓相交時，因為圓的圓心是固定的原點，我們可以通過縮小圓的半徑，使得圓逐漸靠近，直到與圓相切；同理，當與圓相離時，擴大圓的半徑，也能使圓靠近直至相切.所以從直線與圓位置關系的動態(tài)調(diào)整角度可知，一定能找到合適的圓半徑使得與圓相切，故①正確.
判斷命題②：
當在雙曲線頂點時，過作圓的切線，交雙曲線于另外兩點，.
由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線在頂點附近的形狀特點決定了，過頂點作圓的切線與雙曲線相交得到的線段，其整體位置與以原點為圓心的圓是相離的.這是因為雙曲線的漸近線性質(zhì)以及頂點處的曲線走向，使得從頂點出發(fā)的切線與雙曲線相交形成的線段不會與圓相切，所以②不正確.
故選：A.
三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題卷的相應編號規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．
17. 已知函數(shù)的表達式．
（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；
（2）對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解答案；
（2）根據(jù)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，即可求解答案.
【小問1詳解】
因為函數(shù)是奇函數(shù)，的定義域關于原點對稱，
由，則，
所以.
【小問2詳解】
對任意實數(shù)，不等式恒成立，即，
設，
對任意實數(shù)且
因為，所以，所以
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
，所以 .
18. 如圖，四邊形為長方形，平面，，．
（1）若分別是的中點，求證：∥平面；
（2）邊上是否存在點，使得直線與平面所成的角的大小為？若存在，求長；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）法一：幾何法：取中點，連接、，通過，即可求證；法二：向量法：求得平面法向量取平面的法向量由，即可求證；
（2）法一：幾何法：作，垂足為，連接，確定直線與平面所成的角為，進而可求解；法二：向量法：由線面夾角公式求解即可.
【小問1詳解】
法一：取中點，連接、，
∵，，
∴ ，
∵，，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∴ ，
∵平面，在平面外，
∴平面
法二：如圖建立空間直角坐標，
則，，，
，，，
∴，
易知平面的一個法向量
∵，
且在平面外
∴平面
【小問2詳解】
法一：作，垂足為，連接，
∵平面，在平面內(nèi)，
∴，又為平面內(nèi)兩條相交直線，
∴平面，
∴直線與平面所成的角為，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴邊上存在點，使得直線與平面所成的角為， .
法二：設，則，
∴，
易知平面的一個法向量，
設與的夾角為，
則，
解得：，
∴邊上存在點，使得直線與平面所成的角為，.
19. 為測試、兩款人工智能軟件解答數(shù)學問題的能力，將道難度相當?shù)臄?shù)學試題從到編號后隨機分配給這兩款軟件測試．每道試題只被一款軟件解答一次，并記錄結(jié)果如下：
（1）分別估計軟件、軟件能正確解答數(shù)學問題的概率；
（2）小浦準備用這兩款軟件來解決某次數(shù)學測試中第題（假設其難度和測試的道題基本相同），但該題內(nèi)容還未知，從已往情況來看，該題是幾何題的概率為，是函數(shù)題的概率為．將頻率視為概率，試通過計算來說明小浦應該用哪款軟件解決這道試題？
（3）小浦決定采用這兩款軟件解答道類似試題，其中幾何、函數(shù)各道，每道試題只用其中一款軟件解答一次．將頻率視為概率，小浦比較了這兩款軟件在解答幾何和函數(shù)題上的正確率，決定用表現(xiàn)較好的那款軟件解決其擅長的題型．用、分別表示這道幾何試題與道函數(shù)試題被正確解答的個數(shù)，求隨機變量的數(shù)學期望和方差．
【答案】（1）軟件、軟件能正確解答數(shù)學問題的概率分別為、
（2）應該使用軟件來解決這道試題.
（3），
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得軟件、軟件能正確解答數(shù)學問題的概率；
（2）利用全概率公式計算出、軟件分別能解答對第題的概率，比較大小后可得出結(jié)論；
（3）利用二項分布的期望公式和方差公式可求出隨機變量、的期望和方差，由題意可知、相互獨立，可得出，，即可得出答案.
【小問1詳解】
記、軟件能正確解答數(shù)學問題的概率為和，
結(jié)合題中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可得，.
【小問2詳解】
記“軟件能正確解答這道題”為事件，“軟件能正確解答這道題”為事件，
“該題為幾何題”為事件.
則，，，，，，
由全概率公式可得.
.
因為，所以軟件能夠正確解決這道試題的概率更大，
故小浦應該使用軟件來解決這道試題.
【小問3詳解】
幾何試題用軟件解答，函數(shù)試題用軟件解答.
因為，，
由二項分布的期望公式可得，，
由二項分布的方差公式可得，，
因為、相互獨立，則，
.
20. 已知橢圓的方程為，右頂點為，上頂點為，橢圓的中心位于坐標原點，兩個橢圓的離心率相等．
（1）若橢圓的方程是，焦點在軸上，求的值；
（2）設橢圓的焦點在軸上，直線與相交于點、，若，求的標準方程；
（3）設橢圓的焦點在軸上，點在上，點在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的長軸的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）運用離心率公式計算即可；
（2）先求出，得到直線的方程，設的方程為，，，直曲聯(lián)立，運用弦長公式得到，求出即可；
（3）先設出的方程，因為有且的條件，所以任取上一點（不與點重合），算出和直線的斜率.接著設出點的坐標，算出.由于，得出直線方程，進而得到與、的關系.結(jié)合以及曲線方程進一步求解，最后得到長軸取值范圍即可.
【小問1詳解】
由題，橢圓離心率為，橢圓的離心率為，
解得
【小問2詳解】
由題，，，所以，直線的方程為，
設的方程為，，，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，代入整理得，
，可得，
由韋達定理可得，，
故
，解得.
所以的標準方程為.
【小問3詳解】
由題，設的方程為，
由題意，且，
任取上一點（不與點重合），則，.
設，則，
直線的方程為，故，
代入得，
因為，解得，
由對稱性，不妨設，代回直線方程可解得，
而點位于上，所以
，
為上任一點，所以為定值，化簡得.
設，為上任一點，即有解.
整理得，，
解得，所以 .
故的長軸長.
21. 定義域為的可導函數(shù)滿足，在曲線上存在三個不同的點，使得直線與曲線在點處的切線平行（或重合）．若成等差數(shù)列，則稱為“等差函數(shù)”；若成等差數(shù)列且均為整數(shù)，則稱為“整數(shù)等差函數(shù)”．
（1）設，，分別判斷和是否為“整數(shù)等差函數(shù)”，直接寫出結(jié)論；
（2）若為“整數(shù)等差函數(shù)”，求實數(shù)的最小值；
（3）已知的導函數(shù)在上為增函數(shù)，且存在一個正常數(shù)，使得對任意，成立，證明：為“等差函數(shù)”的充要條件是為常值函數(shù)．
【答案】（1）不是“整數(shù)等差函數(shù)”，是“整數(shù)等差函數(shù)”
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）設公差為，根據(jù)所給定義及導數(shù)的幾何意義得到，即可判斷；
（2）設公差為，則且，由得到從而確定的最小值；
（3）首先證明充分性，再說明必要性，設公差為，結(jié)合所給定義得到，令，結(jié)合推出為常值函數(shù).
【小問1詳解】
假設成等差數(shù)列，得，
設公差為，則，
對于：直線的斜率，
因為，所以曲線在點處的切線斜率為，
由題意，恒成立，
取，，則成等差數(shù)列且均為整數(shù)，故是“整數(shù)等差函數(shù)”．
對于，直線的斜率，
因為，所以曲線在點處的切線斜率為，
由題意，
若，則，
令，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
所以，即在上恒成立，
即恒成立，所以無解，
故不是“整數(shù)等差函數(shù)”．
【小問2詳解】
因為“整數(shù)等差函數(shù)”，所以成等差數(shù)列且均為整數(shù)，
設公差為，則，且，
直線的斜率，
因為，所以曲線在點處的切線斜率為，
由題意，，
因為，，
所以
，
又的定義域為，有，則，可取使等號成立，故的最小值為．
【小問3詳解】
充分性，因為為常值函數(shù)，所以，
任意取等差數(shù)列，則直線的斜率，
曲線在點處的切線斜率為，
因為，所以為“等差函數(shù)”．
必要性，因為為“等差函數(shù)”，所以成等差數(shù)列，
設公差為，則，
直線的斜率，
曲線在點處的切線斜率為，
由題意，,
，
令，
則
，
令，
則，
因為在上為增函數(shù)，所以，在上為增函數(shù)，
因為，所以，在上為增函數(shù)，
因為，所以在上恒成立，
又，由的單調(diào)性知，
故，，
，為常數(shù)，
，
，
，
接下來，一方面，因為，且在上為增函數(shù)，
所以在上為增函數(shù)，故，，
由，可得，
另一方面，因為，
所以，可得，
以此類推，在上恒成立，即為常值函數(shù)．
命題得證！
試題類別
軟件
軟件
測試試題數(shù)量
正確解答的數(shù)量
測試試題數(shù)量
正確解答的數(shù)量
幾何試題
函數(shù)試題

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