www.ks5u.com浦東新區(qū)2019學年度第二學期期中教學質(zhì)量監(jiān)測高三數(shù)學試卷一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分．考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分．1.設全集，集合，則________．【答案】【解析】【分析】由補集的運算法則可得解.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了補集的運算，屬于基礎題.2.某次考試，名同學的成績分別為：，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___．【答案】100【解析】【分析】數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，中位數(shù)為從小到大排列后中間的那一個數(shù)字.【詳解】名同學的成績由小到大排序為：，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為100.故答案為：100【點睛】本題考查了一組數(shù)據(jù)中中位數(shù)的求法，屬于基礎題.3.若函數(shù)，則__________．【答案】1【解析】【分析】由可得：，問題得解.【詳解】由可得：故答案為：1【點睛】本題考查了反函數(shù)的求法，屬于基礎題.4.若是關于的方程的一個根（其中為虛數(shù)單位，），則__________．【答案】0【解析】【分析】直接利用實系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理及根與系數(shù)關系求解.【詳解】是關于的實系數(shù)方程的一個根，是關于的實系數(shù)方程的另一個根，則，即，，.故答案為：0【點睛】本題考查了一元二次方程的虛根特征和虛數(shù)的運算,考查了計算能力，屬于中檔題.5.若兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為          ．【答案】1:8【解析】試題分析：由求得表面積公式得半徑比為，由體積公式可知體積比為考點：球體的表面積體積6.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線與圓的位置關系是________．【答案】相交【解析】【分析】由已知可得：直線的標準方程為，圓的標準方程為，再計算出圓心到直線的距離，問題得解.【詳解】由直線的參數(shù)方程，可得：直線標準方程為：，由圓的參數(shù)方程，可得：圓的標準方程為：，圓心為，半徑圓心為到直線的距離則直線與圓的位置關系是相交.故答案為：相交【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題.7.若二項式展開式的第項的值為，則__．【答案】【解析】【分析】利用二項展開式的通項公式，得：，解得，再由等比數(shù)列求和公式，得：，從而極限可求.【詳解】由已知可得：，即，解得，，.故答案為：【點睛】本題考查了二項式定理，等比數(shù)列求和公式以及求極限，考查了計算能力，屬于中檔題.8.已知雙曲線的漸近線方程為，且右焦點與拋物線的焦點重合，則這個雙曲線的方程是____________.【答案】【解析】【分析】由已知可得雙曲線的右焦點為，即，由雙曲線的漸近線方程為，可設其方程為：，再由可得：，求出，問題得解.【詳解】拋物線的焦點為：雙曲線的右焦點為：，即雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的方程可設為：，即，由可得：，，雙曲線的方程是.故答案為：【點睛】本題考查了雙曲線的標準方程和其漸近線方程，關鍵是掌握共漸近線的曲雙線方程的設法，屬于中檔題.9.從（且）個男生、個女生中任選個人當發(fā)言人，假設事件表示選出的個人性別相同，事件表示選出的個人性別不同．如果的概率和的概率相等，則_____________．【答案】10【解析】【分析】從個男生、個女生中任選個人當發(fā)言人,共有種情況，事件表示選出的個人性別相同，共有情況，事件表示選出的個人性別不同，共有情況，由已知可得：，即，解之即可.【詳解】從個男生、個女生中任選個人當發(fā)言人,共有種情況，事件表示選出的個人性別相同，共有情況，事件表示選出的個人性別不同，情況，，即整理，得：，即且，故答案為：10【點睛】本題考查了概率計算和組合數(shù)及其計算，考查了計算能力和分析能力，屬于中檔題.10.已知函數(shù)的零點有且只有一個，則實數(shù)的取值集合為________．【答案】【解析】【分析】由已知可得：為R上偶函數(shù)，又函數(shù)的有且只有一個零點，所以，由此可得：，解得【詳解】顯然，由，可得：， 為R上的偶函數(shù).函數(shù)的有且只有一個零點， 由此可得：，解得故答案為：【點睛】本題考查了偶函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.11.如圖，在中，，為中點，為上一點，且滿足，若的面積為，則的最小值為__________. 【答案】【解析】【分析】設，由，可得：再由，可得：，則，最后由可得解.【詳解】設的面積為，為中點，又C、P、Q三點共線，，即則當且僅當時取得最小值.【點睛】本題考查了向量的模的運算和數(shù)量積運算及三角形的面積公式，考查了計算能力，屬于中檔題.12.已知數(shù)列滿足，對任何正整數(shù)均有，，設，則數(shù)列的前項之和為_____________.【答案】【解析】【分析】由已知得：，；，，由此可得：，再由等比數(shù)列求和公式可得解.【詳解】，兩式相加可得：，是公比為2的等比數(shù)列，首項兩式相乘可得：是公比為2的等比數(shù)列，首項，由等比數(shù)列求和公式，得：故答案為：【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案．考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13.若、滿足 ， 則目標函數(shù)的最大值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】作出可行域和目標函數(shù)，找到目標函數(shù)取最大值的最優(yōu)解即可.【詳解】由已知，可作出滿足條件的可行域和目標函數(shù)如下：由圖可知目標函數(shù)中z取最大值的最優(yōu)解為：.故選：B【點睛】本題考查了線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.14.如圖，正方體中，、分別為棱、上的點，在平面內(nèi)且與平面平行的直線（    ）A. 有一條 B. 有二條C. 有無數(shù)條 D. 不存在【答案】C【解析】【分析】易知當時即可滿足要求，所以存在無數(shù)條.【詳解】若平面，使得，又平面，平面，平面，顯然滿足要求的直線l有無數(shù)條.故選：C【點睛】本題考查了線面平行的判定，屬于基礎題.15.已知函數(shù).給出下列結(jié)論：①是周期函數(shù)；   ② 函數(shù)圖像的對稱中心；③ 若，則；④不等式的解集為.則正確結(jié)論的序號是（    ）A. ①② B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】D【解析】【分析】由，可知是周期為的函數(shù)， 當時，；當時，，畫出在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，通過圖象去研究問題.【詳解】是周期為的函數(shù)，①正確；當時，，當時，，可以畫出在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，如下由圖可知：函數(shù)的對稱中心為，②正確；函數(shù)的對稱軸為 若，則，即，③錯誤；不等式等價于：由圖可知：解得，④正確.故選：D.【點睛】本題考查了誘導公式，降冪公式及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.16.設集合，設集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差稱為集合的直徑. 那么集合所有直徑為的子集的元素個數(shù)之和為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先考慮最小元素為1，最大元素為72的情況：只有1種情況；且，共有種情況；且，共有種 情況；以此類推……，有1（）種情況.所以，此類滿足要求的子集元素個數(shù)之和，計算可得：.再思考可以分為等1949類，問題可得解.【詳解】當最小元素為1，最大元素為72時，集合有如下情況：集合只含2個元素：只有1種情況；集合含有3個元素：且，共有種情況；集合含有4個元素：且，共有 種情況；以此類推……集合含有72個元素：，有（）種情況.所以，此類滿足要求的子集元素個數(shù)之和M為：①②兩式對應項相加，得：同理可得：所有子集元素個數(shù)之和都是，所以集合所有直徑為的子集的元素個數(shù)之和為.故選：C【點睛】本題考查了集合的子集個數(shù)和組合數(shù)及其計算，考查了分類討論思想，屬于難題.三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17.如圖所示的幾何體是圓柱的一部分，它是由邊長為2的正方形(及其內(nèi)部)以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸順時針旋轉(zhuǎn)得到的．（1）求此幾何體的體積；（2）設是弧上的一點，且，求異面直線與所成角的大小．（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）先算底面積，再由算出體積；（2）以點B坐標原點建立空間直角坐標系，用空間向量法算出，即可得解.【詳解】（1）由已知可得：． ．（2）如圖所示，以點B為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，.設異面直線與所成的角為，則所以，異面直線與所成角為.【點睛】本題考查了柱體體積計算和空間向量法計算異面直線的夾角，考查了計算能力，屬于中檔題.18.已知銳角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸正方向重合，終邊與單位圓分別交于、兩點，若、兩點的橫坐標分別為．（1）求的大??；（2） 在中，為三個內(nèi)角對應的邊長，若已知角，，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得：，故而，，再由可得解.（2）由（1）得：，所以，由可得，再由可得，最后由正弦定理可得：，問題得解.【詳解】（1）由三角函數(shù)定義，得： 為銳角，， （2）由，為銳角，得：， 由，得，又，解得由正弦定理可得：【點睛】本題考查了三家函數(shù)定義及正余弦和的展開公式，考查了正弦定理邊化角的技巧，考查了計算能力，屬于中檔題.19.疫情后，為了支持企業(yè)復工復產(chǎn)，某地政府決定向當?shù)仄髽I(yè)發(fā)放補助款，其中對納稅額在萬元至萬元（包括萬元和萬元）的小微企業(yè)做統(tǒng)一方案．方案要求同時具備下列兩個條件：①補助款（萬元）隨企業(yè)原納稅額（萬元）的增加而增加；②補助款不低于原納稅額（萬元）的．經(jīng)測算政府決定采用函數(shù)模型（其中為參數(shù)）作為補助款發(fā)放方案．（1）判斷使用參數(shù)是否滿足條件，并說明理由；（2）求同時滿足條件①、②的參數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當時不滿足條件②，見解析（2）【解析】【分析】（1）因為當時，，所以不滿足條件② ；（2）求導得：，當時，滿足條件①；當時，在上單調(diào)遞增，所以.由條件②可知，，即，等價于在上恒成立，問題得解.【詳解】（1）因為當時，，所以當時不滿足條件② .（2）由條件①可知，在上單調(diào)遞增，所以當時，滿足條件；當時，由可得當時，單調(diào)遞增，，解得，所以 由條件②可知，，即不等式在上恒成立，等價于當時，取最小值綜上，參數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查了導數(shù)求函數(shù)單調(diào)性以及恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20.在平面直角坐標系中，，分別是橢圓的左、右焦點，直線與橢圓交于不同的兩點、，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線經(jīng)過橢圓的右焦點，是橢圓上兩點，四邊形是菱形，求直線的方程；（3）已知直線不經(jīng)過橢圓的右焦點，直線，，的斜率依次成等差數(shù)列，求直線在軸上截距的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由已知得：，問題得解；（2）由已知可得：，設直線l方程為：，,，與橢圓方程聯(lián)立可得：，由韋達定理，得：，，最后由，可得：，代入解方程即可；（3）設直線l方程為：，由已知可得：，即，化簡得：，有已知可得:，聯(lián)立直線與橢圓方程得：，由，和可求b的取值范圍.【詳解】（1）由可得：，從而，所以橢圓方程為. （2）由于四邊形是菱形，因此且. 由對稱性，在線段上. 因此，分別關于原點對稱；并且由于菱形的對角線相互垂直，可得，即. 設直線l方程為：，且,與橢圓方程聯(lián)立可得：，，，由，可得：解得，即直線方程為.（3）設直線l方程為：，，由已知可得：，即.，化簡得：.若，則經(jīng)過，不符合條件，因此.聯(lián)立直線與橢圓方程得：.因為，即由得：將代入得：，解得：令，則當時，，在或上單調(diào)遞減，或所以b的取值范圍為：.【點睛】本題考查了橢圓與直線的綜合性問題，關鍵是聯(lián)立方程組，用韋達定理進行求解，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.21.若數(shù)列對任意連續(xù)三項，均有，則稱該數(shù)列為“跳躍數(shù)列”.（1）判斷下列兩個數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：①等差數(shù)列：；②等比數(shù)列：；（2）若數(shù)列滿足對任何正整數(shù)，均有.證明：數(shù)列是跳躍數(shù)列的充分必要條件是.（3）跳躍數(shù)列滿足對任意正整數(shù)均有，求首項的取值范圍.【答案】（1）① 等差數(shù)列：不是跳躍數(shù)列；② 等比數(shù)列：是跳躍數(shù)列.（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）①數(shù)列通項公式為，計算可得：，所以它不是跳躍數(shù)列；②數(shù)列通項公式為：，計算可得：，所以它是跳躍數(shù)列；（2）必要性：若，則是單調(diào)遞增數(shù)列，若，是常數(shù)列，均不是跳躍數(shù)列；充分性：用數(shù)學歸納法證明證明，命題成立，若時，可得：，所以當時命題也成立；（3）有已知可得：，，若，則，解得；若，則，解得，由，則，得；當，則，得，問題得解.【詳解】（1）①等差數(shù)列：通項公式為：所以此數(shù)列不是跳躍數(shù)列；②等比數(shù)列：通項公式為：所以此數(shù)列是跳躍數(shù)列（2）必要性：若，則是單調(diào)遞增數(shù)列，不是跳躍數(shù)列；若，是常數(shù)列，不是跳躍數(shù)列. 充分性：（下面用數(shù)學歸納法證明）若，則對任何正整數(shù)，均有成立.當時，， ，，，所以命題成立若時，，則，，所以當時命題也成立，根據(jù)數(shù)學歸納法，可知命題成立，數(shù)列滿足，故是跳躍數(shù)列.（3）若，則， 解得；若，則，解得；若，則，所以，若，則，所以，所以，此時對任何正整數(shù)，均有【點睛】本題考查了與數(shù)列相關的不等式證明，考查了數(shù)學歸納法，考查了分類與整合思想，屬于難題. 

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