一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.函數(shù)y=3x?x3的極大值點(diǎn)是( )
A. (1,2)B. 1C. 2D. ?1
2.已知某物體在運(yùn)動(dòng)過程中，其位移S(單位：m)與時(shí)間t(單位：s)滿足函數(shù)關(guān)系式S(t)=sint?2cst+t+1，則該物體在t=π2時(shí)的瞬時(shí)速度為( )
A. 3m/sB. 2m/sC. 3m/sD. 1m/s
3.若曲線y=lnx+x2+1在點(diǎn)(1,2)處的切線與直線x+ay?1=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A. ?4B. ?3C. 4D. 3
4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
5.拉格朗日中值定理是微分學(xué)中的基本定理之一，定理內(nèi)容是：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，那么在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f(b)?f(a)=f′(c)(b?a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)這個(gè)定理，可得函數(shù)f(x)=x3?3x在[?2,2]上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
6.已知對(duì)于?x>0都有eax+a≥x+lnxx，則a的最小值為( )
A. 1B. ?eC. 1eD. e
7.經(jīng)過點(diǎn)(3,0)所作曲線y=x2ex的切線有( )
A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條
8.已知函數(shù)f(x)=ax3+3xlnx(a∈R)若f(x)在開區(qū)間(1e,e)內(nèi)存在極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. (?2e2,0)B. (?e2,0)C. (?e2,?2e2)D. (?e2,?1e)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 一個(gè)函數(shù)的極大值一定大于極小值
B. 曲線的切線可能與該曲線有不止一個(gè)公共點(diǎn)
C. 函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值，一定在極大值點(diǎn)處取到
D. 若函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則它的導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上滿足f′(x)>0
10.已知函數(shù)f(x)，x∈[?a,a]的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)其導(dǎo)數(shù)為f′(x)，函數(shù)g(x)=(x2?x)f′(x)的圖象如下，則下列說法正確的是( )
A. f(x)在x=?1處取最大值
B. x=1是f(x)的極大值點(diǎn)
C. f(x)沒有極小值點(diǎn)
D. x=1可能不是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極大值點(diǎn)
11.已知函數(shù)f(x)=xln(ax)+x3?54x2?x?3,(a>0)，則下列選項(xiàng)正確的有( )
A. 當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)
B. 對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，函數(shù)f(x)在(0,+∞)不單調(diào)
C. 當(dāng)a>e2時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,2)上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)
D. 對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a，函數(shù)f(x)在(0,2)必有極小值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R)，若limΔx→0f(1+Δx)?f(1)Δx=6，則a= ______．
13.曲線y=ex上的點(diǎn)到直線x?y?3=0的最短距離是______．
14.已知函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)且f(0)=?6，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿足：f′(x)?2f(x)e2x=2x?1，則f(x)0時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性．
17.(本小題12分)
已知函數(shù)f(x)=x+alnx(a≠0)的圖象的一條切線方程是y=2x?1．
(1)求a；
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)2．
19.(本小題12分)
牛頓迭代法(Newtn′smet?d)是牛頓在17世紀(jì)提出的一種用導(dǎo)數(shù)求方程近似解的方法，其過程如下：
如圖，設(shè)r是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，選取x0作為r的初始近似值，在點(diǎn)(x0,f(x0))處作f(x)的切線l1，l1的方程為y?f(x0)=f′(x0)(x?x0)，若f′(x0)≠0，則l1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1滿足x1=x0?f(x0)f′(x0)；又在點(diǎn)(x1,f(x1))處作f(x)的切線l2，l2的方程為y?f(x1)=f′(x1)(x?x1)，若f′(x1)≠0，則l2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x2滿足x2=x1?f(x)f′(x)；重復(fù)以上過程，得到一個(gè)零點(diǎn)近似值序列：x0，x1…xn，?(n∈N)．
已知函數(shù)f(x)=x3，現(xiàn)選取x0作為f(x)的零點(diǎn)初始近似值，運(yùn)用牛頓迭代法得到方程f(x)=0的一個(gè)零點(diǎn)近似值序列：x0，x1，…，xn…，滿足xn+1=23xn，(xn≠0,n∈N)．
(1)當(dāng)x0=1時(shí)，求x1+x2的值；
(2)設(shè)xn+1=g(xn)，?(x)=lnx?32ax?g(x)．
(i)當(dāng)a=2時(shí)，若?(t1)=?(t2)且t1>t2>0，求證：t1+t2>1；
(參考不等式： ab0))
(ii)若?(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
參考答案
1.B
2.A
3.D
4.A
5.B
6.C
7.C
8.C
9.ACD
10.ACD
11.BCD
12.4
13.2 2
14.(?2,3)
15.?3； (0,4)．
16.解：(1)當(dāng)a=?14時(shí)，f(x)=?14x2+ln(x+1)，則f′(x)=?12x+1x+1，
則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率為f′(0)=1，
因?yàn)閒(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x．
(2)f(x)的定義域?yàn)??1,+∞)，
當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=2ax+1x+1=2ax2+2ax+1x+1，
令g(x)=2ax2+2ax+1(x>?1)，則g(x)在(?1,?12]上單調(diào)遞減，在(?12,+∞)上單調(diào)遞增，
因此，g(x)的最小值為g(?12)=?12a+1．
當(dāng)02時(shí)，令g(x)=0，得x=?2a± 4a2?8a4a=?12± 14?12a>?1．
當(dāng)x∈(?1,?12? 14?12a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(?12? 14?12a,?12+ 14?12a)時(shí)，f′(x)0f(x)單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)02時(shí)，f(x)在(?1,?12? 14?12a)，(?12+ 14?12a,+∞)上單調(diào)遞增，
在(?12? 14?12a,?12+ 14?12a)上單調(diào)遞減．
17.解：(1)設(shè)f(x)的圖象與直線y=2x?1切于點(diǎn)(x0,2x0?1)，則2x0?1=x0+alnx0①，
f′(x)=1+ax，則f′(x0)=1+ax0=2，即a=x0，代入①式得lnx0?1+1x0=0．
令?(x)=lnx?1+1x，則?′(x)=x?1x2，
當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，?′(x)0，
所以?(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，
所以?(x)≥?(1)=0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
故x0=1，即a=1．
(2)由題意得x+lnx0，不符合題意；
若m?10，
即證1?lnae?e?a>0，
不妨設(shè)φ(x)=1?lnxe?e?x,(00，
故a+b+lnab>2．
19.解：(1)當(dāng)x0=1時(shí)，由xn+1=23xn(xn≠0,n∈N)解得x1=23,x2=49
故x1+x2=23+49=109；
(2)證明：(i)由題意得g(xn)=xn+1=23xn(xn≠0)，則g(x)=23x(x≠0)，
所以?(x)=lnx?ax2，x>0，
因?yàn)閍=2，所以?(x)=lnx?2x2(x>0)，
由?(t1)=?(t2)且t1>t2>0得lnt1?2t12=lnt2?2t22，
可得lnt1?lnt2=2(t12?t22)，則有t1?t2lnt1?lnt2=12(t1+t2)，
又因?yàn)閎?alnb?lnaa>0)，
所以t1?t2lnt1?lnt2=12(t1+t2)1，
又由t1>t2>0，故t1+t2>1.得證．
(ii)由(i)得?(x)=lnx?ax2(x>0)，則?′(x)=1x?2ax=1?2ax2x，
當(dāng)a≤0時(shí)，?′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，即?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故?(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)a>0時(shí)，令?′(x)>0解得0

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