注意事項(xiàng)：
1．本試卷共6頁(yè)．全卷滿(mǎn)分120分．考試時(shí)間為120分鐘．考生應(yīng)將答案全部填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)不允許使用計(jì)算器．
2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)填寫(xiě)在試卷上，并填寫(xiě)好答題卡上的考生信息．
3．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚．
一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）
1. 的絕對(duì)值是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：的絕對(duì)值是，
故選：C．
2. 若二次根式有意義，則可取的值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出的取值范圍，繼而得出答案．
【詳解】解：若二次根式有意義，則，
解得，
在四個(gè)選項(xiàng)中符合的是2，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
3. 計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查同類(lèi)項(xiàng)的計(jì)算，熟練掌握合并同類(lèi)項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，
故選：B．
4. 下列圖形中，為四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查幾何體的展開(kāi)圖，熟練掌握幾何體的展開(kāi)圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的特征即可得到答案．
【詳解】解：棱錐的側(cè)面是三角形，故四棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的是
故選：B．
5. 如圖，在紙上畫(huà)有，將兩把直尺按圖示擺放，直尺邊緣的交點(diǎn)P在的平分線(xiàn)上，則（ ）
A. 與一定相等B. 與一定不相等
C. 與一定相等D. 與一定不相等
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P分別作的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，由平行線(xiàn)間間距相等可知，則，而和的長(zhǎng)度未知，故二者不一定相等，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P分別作的垂線(xiàn)，垂足分別為E、F
∵點(diǎn)P在的平分線(xiàn)上，
∴，
由平行線(xiàn)間間距相等可知，
∴，
由于和的長(zhǎng)度未知，故二者不一定相等，
故選：A，
6. 2024年5月10日，記者從中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)獲悉，“中國(guó)天眼”FAST近期發(fā)現(xiàn)了6個(gè)距離地球約50億光年的中性氫星系，這是人類(lèi)迄今直接探測(cè)到的最遠(yuǎn)的一批中性氫星系．50億光年用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. 光年B. 光年C. 光年D. 光年
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法為整數(shù)，進(jìn)行表示即可．關(guān)鍵是確定a與n的值．
【詳解】解：50億光年光年；
故選C．
7. 如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力、，則的力臂大于的力臂．這一判斷過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A. 垂線(xiàn)段最短
B. 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直
C. 兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)
D. 過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線(xiàn)特點(diǎn)，垂線(xiàn)段最短，根據(jù)圖形分析得到過(guò)點(diǎn)有，進(jìn)而利用垂線(xiàn)段最短得到即可解題．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線(xiàn)段最短，
故選：A．
8. 在馬拉松、公路自行車(chē)等耐力運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練或比賽中，為合理分配體能，運(yùn)動(dòng)員通常會(huì)記錄每行進(jìn)所用的時(shí)間，即“配速”（單位：）．小華參加的騎行比賽，他騎行的“配速”如圖所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A. 第所用的時(shí)間最長(zhǎng)
B. 第的平均速度最大
C. 第和第平均速度相同
D. 前的平均速度大于最后的平均速度
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查從圖像中獲取信息，理解題意是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配速的定義依次進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：“配速”是每行進(jìn)所用的時(shí)間，故從圖中可知，第所用的時(shí)間最長(zhǎng)，故選項(xiàng)A不符合題意；
平均速度是指在這一段路程中所用的平均值，是路程時(shí)間，由圖可知，配速最小，故第所用時(shí)間最短，故第的平均速度最大，故選項(xiàng)B不符合題意；
第所用的時(shí)間與第所用的時(shí)間一致，故第的和第的平均速度相同，故選項(xiàng)C不符合題意；
由于前的的時(shí)間大于最后的時(shí)間，故前的平均速度小于最后的平均速度，故選項(xiàng)D符合題意；
故選D．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)將答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）
9. 16的算術(shù)平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【詳解】解：∵
∴16的平方根為4和-4，
∴16的算術(shù)平方根為4，
故答案為：4
10. 分解因式: =_________．
【答案】
【解析】
【分析】把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式,叫分解因式．
【詳解】
11. 計(jì)算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了同分母分式加法計(jì)算，直接根據(jù)同分母分式加法計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
12. 若等腰三角形的周長(zhǎng)是10，則底邊長(zhǎng)y與腰長(zhǎng)x的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查列函數(shù)解析式，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)等于三邊之和，等腰三角形的兩腰相等，列出函數(shù)關(guān)系式，即可．
【詳解】解：由題意，得：；
故答案為：．
13. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的對(duì)角線(xiàn)相交于原點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線(xiàn)相交于原點(diǎn)O，
∴，
∴關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是；
故答案為：．
14. 如圖，是的直徑，是的弦，連接．若，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查圓周角定理，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角為直角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵是的直徑，，，
∴，
∴；
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)分別交邊于點(diǎn)E、F．若，，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)與相交于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；
【詳解】解：的垂直平分線(xiàn)分別交邊于點(diǎn)E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案為：．
16. 如圖，在中，，，，D是邊的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，則________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊得到，，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，，，D是邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵將沿翻折，點(diǎn)C落在上點(diǎn)F處，
∴，，
∴，
設(shè)，則：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案為：．
17. 小麗進(jìn)行投擲標(biāo)槍訓(xùn)練，總共投擲10次，前9次標(biāo)槍的落點(diǎn)如圖所示，記錄成績(jī)（單位：m），此時(shí)這組成績(jī)的平均數(shù)是，方差是．若第10次投擲標(biāo)槍的落點(diǎn)恰好在線(xiàn)上，且投擲結(jié)束后這組成績(jī)的方差是，則________（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查方差，熟練掌握方差的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)方差的意義即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)這組數(shù)據(jù)為前9個(gè)數(shù)分別為，
由題意可知，，
；
根據(jù)方差越小越穩(wěn)定，即前九次波動(dòng)較大，
，
故答案為：．
18. “綠波”，是車(chē)輛到達(dá)前方各路口時(shí)，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時(shí)刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個(gè)路口顯示綠燈倒計(jì)時(shí)32s，第二個(gè)路口顯示紅燈倒計(jì)時(shí)44s，此時(shí)車(chē)輛分別距離兩個(gè)路口480m和880m．已知第一個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是30s、50s，第二個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車(chē)速全程勻速“綠波”通過(guò)這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過(guò)），則車(chē)速v（）的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
利用路程速度時(shí)間，結(jié)合小亮爸爸以不低于的車(chē)速全程勻速“綠波”通過(guò)這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過(guò)），可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出車(chē)速的取值范圍．
【詳解】解： ．
根據(jù)題意得：，
解得：，
車(chē)速的取值范圍是．
故答案為：．
三、解答題（本大題共10小題，共84分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）
19. 解方程組和不等式組：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查解方程組和一元一次不等式組：
（1）加減法解方程組即可；
（2）先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．
【小問(wèn)1詳解】
解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程組的解為：．
小問(wèn)2詳解】
解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式組的解集為：．
20. 先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算法則去括號(hào)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)，最后代值計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)時(shí)，原式．
21. 某企業(yè)生產(chǎn)了2000個(gè)充電寶，為了解這批充電寶的使用壽命（完全充放電次數(shù)），從中隨機(jī)抽取了20個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，數(shù)據(jù)整理如下：
（1）本次檢測(cè)采用的是抽樣調(diào)查，試說(shuō)明沒(méi)有采用普查的理由；
（2）根據(jù)上述信息，下列說(shuō)法中正確的是________（寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)）；
①這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)都不低于300次；
②這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的中位數(shù)滿(mǎn)足；
③這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的平均數(shù)滿(mǎn)足．
（3）估計(jì)這批充電寶中完全充放電次數(shù)在600次及以上的數(shù)量．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）①②
（3）500個(gè)
【解析】
【分析】本題考查調(diào)查方式，求中位數(shù)，眾數(shù)，利用樣本估計(jì)總體：
（1）根據(jù)調(diào)查方式的選擇，進(jìn)行說(shuō)明即可；
（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的數(shù)據(jù)，中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算方法，逐一進(jìn)行判斷即可；
（3）利用樣本估計(jì)總體的思想進(jìn)行求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：對(duì)充電寶的使用壽命進(jìn)行調(diào)查，對(duì)充電寶具有破壞性，故不能采用普查的方式．
【小問(wèn)2詳解】
解：由統(tǒng)計(jì)表可知：這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)都不低于300次；故①正確；
將數(shù)據(jù)排序后，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)均位于，故這20個(gè)充電寶的完全充放電次數(shù)t的中位數(shù)滿(mǎn)足；故②正確；
由統(tǒng)計(jì)表的中的數(shù)據(jù)可知，的數(shù)據(jù)只有2個(gè)，故平均數(shù)一定大于400，故③錯(cuò)誤；
故答案為：①②；
【小問(wèn)3詳解】
解：（個(gè)）．
22. 在3張相同的小紙條上分別寫(xiě)有“石頭”、“剪子”、“布”．將這3張小紙條做成3支簽，放在不透明的盒子中攪勻．
（1）從盒子中任意抽出1支簽，抽到“石頭”的概率是________；
（2）甲、乙兩人通過(guò)抽簽分勝負(fù)，規(guī)定：“石頭”勝“剪子”，“剪子”勝“布”，“布”勝“石頭”．甲先從盒子中任意抽出1支簽（不放回），乙再?gòu)挠嘞碌?支簽中任意抽出1支簽，求甲取勝的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率：
（1）直接根據(jù)概率計(jì)算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到甲獲勝的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計(jì)算公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵一共有3支簽，寫(xiě)有“石頭”的簽有1支，且每支簽被抽到的概率相同，
∴從盒子中任意抽出1支簽，抽到“石頭”的概率是，
故答案為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)分別用A、B、C表示“石頭”、“剪子”、“布”，列表如下：
由表格可知，一共有6種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲獲勝的結(jié)果數(shù)有，，，共3種，
∴甲獲勝的概率為．
23. 如圖，B、E、C、F是直線(xiàn)l上的四點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，，．
（1）求證：是等腰三角形；
（2）連接，則與l的位置關(guān)系是________．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線(xiàn)的判定：
（1）證明，得到，即可得證；
（2）根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系，易得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
證明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小問(wèn)2詳解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
24. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、．
（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接，求的面積．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，分割法求出的面積即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、，
∴，
∴，
∴反比例函數(shù)的解析式為：，，
∴，解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為：；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴的面積．
25. 書(shū)畫(huà)裝裱，是指為書(shū)畫(huà)配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國(guó)具有民族傳統(tǒng)的一門(mén)特殊藝術(shù)．如圖，一幅書(shū)畫(huà)在裝裱前的大小是，裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am、bm、cm、dm．若裝裱后與的比是，且，，，求四周邊襯的寬度．
【答案】上、下、左、右邊襯的寬度分別是
【解析】
【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分別表示出的長(zhǎng)，列出分式方程，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，，
∵與的比是，
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．
∴上、下、左、右邊襯的寬度分別是．
26. 對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離d后與另一個(gè)圖形重合，則稱(chēng)這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”．
（1）如圖1，B、C、D是線(xiàn)段AE的四等分點(diǎn)．若，則在圖中，線(xiàn)段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是________，________（寫(xiě)出符合條件的一種情況即可）；
（2）如圖2，等邊三角形的邊長(zhǎng)是2．用直尺和圓規(guī)作出的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿(mǎn)足（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）；
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)分別是、、，以點(diǎn)G為圓心，r為半徑畫(huà)圓．若對(duì)上的任意點(diǎn)F，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿(mǎn)足，直接寫(xiě)出r的取值范圍．
【答案】（1），
（2）圖見(jiàn)解析（答案不唯一）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；
（2）延長(zhǎng)，在射線(xiàn)上截取線(xiàn)段，分別以為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，即為所求；
（3）分在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進(jìn)行求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵B、C、D是線(xiàn)段AE的四等分點(diǎn)．，
∴，
∴，
∴線(xiàn)段的平移圖形是，；
故答案為：，；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖：即為所求；
由作圖可知：，
∴四邊形為菱形，
∴，
∵，
∴四邊形為菱形，
∴，
∴即為所求；
【小問(wèn)3詳解】
∵點(diǎn)D、E、G的坐標(biāo)分別是、、，
∴，
∴，
∵對(duì)上的任意點(diǎn)F，連接所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿(mǎn)足，且，
∴，
當(dāng)在圓外時(shí)，
∵，，
∴，
∴，
∴．
當(dāng)在圓內(nèi)時(shí)，
則：，
∴，
∴；
綜上：或．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的平移，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，菱形的判定，尺規(guī)作圖等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，理解新定義，是解題的關(guān)鍵．
27. 將邊長(zhǎng)均為的等邊三角形紙片疊放在一起，使點(diǎn)E、B分別在邊上（端點(diǎn)除外），邊相交于點(diǎn)G，邊相交于點(diǎn)H．
（1）如圖1，當(dāng)E是邊的中點(diǎn)時(shí)，兩張紙片重疊部分的形狀是________；
（2）如圖2，若，求兩張紙片重疊部分的面積的最大值；
（3）如圖3，當(dāng)，時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說(shuō)明理由．
【答案】（1）菱形 （2）
（3），理由見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，則四點(diǎn)共圓，由三線(xiàn)合一定理得到，則為過(guò)的圓的直徑，再由，得到為過(guò)的圓的直徑，則點(diǎn)H為圓心，據(jù)此可證明，推出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可證明四邊形是菱形，即兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；
（2）由等邊三角形的性質(zhì)得到，，則由平行線(xiàn)的性質(zhì)可推出，進(jìn)而可證明四邊形是平行四邊形，再證明是等邊三角形，則可設(shè)，則，，由勾股定理得到，可得，則當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；
（3）過(guò)點(diǎn)B作于M，過(guò)點(diǎn)E作于N，連接，則，，，證明，進(jìn)而可證明，得到，則，即．
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖所示，連接
∵都是等邊三角形，
∴，
∴四點(diǎn)共圓，
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∴為過(guò)的圓的直徑，
又∵，
∴為過(guò)的圓的直徑，
∴點(diǎn)H為圓心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
又∵，
∴四邊形是菱形，
∴兩張紙片重疊部分的形狀是菱形；
【小問(wèn)2詳解】
解：∵都等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)E作，
∴設(shè)，則，，
∴，
∴
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為；
【小問(wèn)3詳解】
解：，理由如下：
如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于M，過(guò)點(diǎn)E作于N，連接，
∵都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，四點(diǎn)共圓，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
28. 在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．
（1）________；
（2）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．
①當(dāng)，且時(shí)，y的最大值和最小值分別是s、t，，求m的值；
②連接，P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(diǎn)（點(diǎn)B除外），過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為D．作，射線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q，連接．若，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）3 （2）①；②1或或
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，即；
（2）①先求出解析式為，可知對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)：，當(dāng)，且時(shí)，y隨著x的增大而減小，故當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，由得，，解得；②在中，可求，由題意得，，，四邊形為平行四邊形或等腰梯形，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，則，設(shè)，則，則，故，則，將點(diǎn)代入，得，解得，故；當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，則，由，得，則，設(shè)，則，故，解得，即；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，而，故，即，可得，將點(diǎn)P代入，得，解得或（舍），因此，綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或或．
【小問(wèn)1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，即；
【小問(wèn)2詳解】
解：①將點(diǎn)A代入
得，，
解得：，
∴解析式為：，
而，
∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)：，
當(dāng)，且時(shí)，
∴y隨著x的增大而減小，
∴當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由題意得，，，
∴四邊形為平行四邊形或等腰梯形，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，四邊形為平行四邊形時(shí)，則，

∵軸，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴設(shè)，則，
∴，
∴，
即；
當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方拋物線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)四邊形平行四邊形，則，
∵
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
將點(diǎn)P代入，
得：，
解得：或，
而當(dāng)時(shí)，，故舍，
∴，
綜上：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
完全充放電次數(shù)t
充電寶數(shù)量/個(gè)
2
3
10
5
甲
乙

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