一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合，，若，則a等于（ ）
A．或3B．0或C．3D．
2．若扇形的弧長是8，面積是16，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知，，，則的大小為（ ）
A．B．
C．D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．已知，則（ ）
A．B．C．D．
6．函數(shù)的部分圖象可能是( )
A．B．
C．D．
7．設(shè)是定義域?yàn)镽且最小正周期為的函數(shù)，且有，則（ ）
A．B．
C．0D．1
8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．線段與的長均為1B．線段的長為1
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，為全集的真子集，若，則（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，若角A，B，C是銳角三角形的內(nèi)角，則下列說法正確的是（ ）
A．；B．
C．；D．
12．定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)B．的圖象沒有對(duì)稱中心
C．的增區(qū)間為D．方程有5個(gè)實(shí)數(shù)解
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．已知關(guān)于的不等式的解集為，則 .
14．為了保證信息安全傳輸，有一種系統(tǒng)稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下：明文密文t密文t明文y．現(xiàn)在加密密鑰為冪函數(shù)，解密密鑰為指數(shù)函數(shù)．過程如下：發(fā)送方發(fā)送明文“9”，通過加密后得到密文“3”，再發(fā)送密文“3”，接受方通過解密密鑰得到明文“27”．若接受方得到明文“9”，則發(fā)送方發(fā)送的明文為 ．
15．已知，則的值為 ．
16．定義若函數(shù)，則的最大值為 ；若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為 ．
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．已知全集為R，集合，或.
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．已知,且.
(1)求的值;
(2)求的值.
19．已知函數(shù)，．
（1）求的值域；
（2）求不等式的解集．
20．指出，倡導(dǎo)環(huán)保意識(shí)、生態(tài)意識(shí)，構(gòu)建全社會(huì)共同參與的環(huán)境治理體系，讓生態(tài)環(huán)保思想成為社會(huì)生活中的主流文化.某化工企業(yè)探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染數(shù)量為.設(shè)改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量為，則第次改良后所排放的廢氣中的污染物數(shù)量，可由函數(shù)模型給出，其中是指改良工藝的次數(shù).
(1)試求改良后的函數(shù)模型；
(2)依據(jù)國家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量不能超過.試問：至少進(jìn)行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo)？（參考數(shù)據(jù)：?。?br>21．已知函數(shù).
(1)求的值；
(2)求函數(shù)的值域；
(3)若，且對(duì)任意的、，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
22．已知函數(shù)為偶函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)解關(guān)于的不等式；
(3)設(shè)，若函數(shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
1．C
【分析】依題意可得，求出的值，再檢驗(yàn)即可.
【詳解】因?yàn)?，且?br>即，解得或，
當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去，
當(dāng)時(shí)，，符合題意.
故選：C
2．A
【分析】利用扇形的面積、弧長公式求圓心角的弧度即可.
【詳解】令扇形的圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，則，即，
又，故.
故選：A
3．B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及單調(diào)性解題即可.
【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知：，，
所以函數(shù)單調(diào)遞增且，
故，
又根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知：，，
所以函數(shù)單調(diào)遞減且，
故，
又根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知：
函數(shù)單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，，
故，
綜上：，
故選：B.
對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．當(dāng)?shù)讛?shù)與指數(shù)都不相同時(shí)，選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤睌?shù)（通常以“0”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較，從而可間接地比較出要比較的數(shù)的大?。?br>4．A
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，則或，解得或，
所以由推得出，即充分性成立，
由推不出，即必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
5．D
【分析】根據(jù)指數(shù)冪及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.
【詳解】∵，∴，
∴，
∴.
故選：D.
6．C
【分析】先確定函數(shù)奇偶性，再確定的時(shí)候的值.
【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，排除AB；
又時(shí)，所以排除D,
故選：C
7．A
【分析】利用給定函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合分段函數(shù)解析式代入計(jì)算作答.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽且最小正周期為的函數(shù)，且，
所以.
故選：A
8．B
【分析】結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，計(jì)算線段與的長，判斷A；利用兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合兩角差的余弦公式，可判斷B；根據(jù)三角函數(shù)特殊值求出坐標(biāo)，判斷C；結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得坐標(biāo)，判斷D.
【詳解】對(duì)于A，,
，則線段與的長均為1，A說法正確；
對(duì)于B，
，B說法錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，即，
，即，故點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，C說法正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即
，即，
則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，D說法正確，
即說法錯(cuò)誤的是B，
故選：B
9．BC
【分析】根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式一一化簡(jiǎn)各選項(xiàng)中的三角函數(shù)式，判斷正誤，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，B正確；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，，D錯(cuò)誤，
故選：BC
10．BD
【分析】依題意可得，即可判斷A、B、D，分和?兩種情況判斷C.
【詳解】因?yàn)?，為全集的真子集且?br>所以，則，，，故A錯(cuò)誤，B、D正確；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)?時(shí)，故C錯(cuò)誤；
故選：BD
11．AD
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性及的單調(diào)性比較可得．
【詳解】由題意，且，，因此，
∴，而在上遞增，，
∴，同理，
故選：AD．
12．ACD
【分析】由題意可判斷函數(shù)的周期，結(jié)合時(shí)的解析式，即可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可判斷A，B，C；將方程的解的個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)知和的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可判斷D.
【詳解】由題意知定義在上的函數(shù)滿足，
即2為函數(shù)的周期，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故結(jié)合函數(shù)的周期，作出其圖象如圖：

結(jié)合圖象可知為偶函數(shù)，A正確；
結(jié)合圖象可知為的對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，結(jié)合圖象知的增區(qū)間為，正確，
對(duì)于D，作出函數(shù)方程的圖象，
由圖象可知和的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，
故方程有5個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確，

故選：ACD
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性以及周期性和方程的解的問題，綜合性較強(qiáng)，解答的關(guān)鍵是明確函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合性質(zhì)和解析式作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問題.
13．
【分析】由題意得是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系求出即可.
【詳解】由題意可知，是方程的兩個(gè)根，且，
由根與系數(shù)的關(guān)系得且，
解得，則.
故答案為.
14．4
【分析】根據(jù)題意求出加密密鑰的冪函數(shù)以及解密密鑰指數(shù)函數(shù)，再根據(jù)接受方得到明文“9”，進(jìn)行逆運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】設(shè)加密密鑰為冪函數(shù)，則由題意得，即
設(shè)解密密鑰為指數(shù)函數(shù)，則，即，
故接受方得到明文“9”，則，則，
即發(fā)送方發(fā)送的明文為4，
故4
15．0
【分析】由已知利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式分別求得與的值，則答案可求．
【詳解】解：∵，
∴，
，
∴，
故0．
本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．
【分析】先表示出的解析式，然后作出的圖象，根據(jù)圖象求解出最大值；結(jié)合圖象分析值域?yàn)闀r(shí)定義域的情況，由此確定出的取值情況，即可求的最大值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，解得或，
所以，
作出的圖象如下圖所示：
由圖象可知：當(dāng)時(shí)，有最大值，所以；
當(dāng)時(shí)，解得或或；
當(dāng)時(shí)，或，
由圖象可知：當(dāng)，時(shí)，的值域?yàn)椋藭r(shí)的最大值為；
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，此時(shí)，
由上可知，的最大值為，
故；.
思路點(diǎn)睛：本題考查取最小值函數(shù)的應(yīng)用，處理這一類函數(shù)時(shí)，圖象法是首選方法，通過數(shù)形結(jié)合的思想能高效的將問題簡(jiǎn)化.常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的數(shù)目；（2）求參數(shù)范圍；（3）解不等式；（4）研究函數(shù)性質(zhì).
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果；
（2）先求出，再根據(jù)，可得，求解不等式即可.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，或，
又，所以；
（2）因?yàn)榛?，所以?br>又，所以，解得，即.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍.
18．（1） （2）
（1）先求出，代入即可.（2）化簡(jiǎn)求值即可.
【詳解】因?yàn)?，所?br>，即
解得：
又,所以
則
（2）
此題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，注意誘導(dǎo)公式的使用，屬于簡(jiǎn)單題目.
19．（1）；（2）.
【分析】（1）變形得出，由結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；
（2）將不等式變形為，結(jié)合可求得的取值范圍，進(jìn)而可求得的取值范圍，即可得解.
【詳解】（1），
，則，所以，，
所以，，因此，函數(shù)值域?yàn)椋?br>（2）由可得，
即，即，解得或，
因?yàn)?，?
解不等式可得，
解方程可得.
因此，不等式的解集為.
方法點(diǎn)睛：形如型函數(shù)值域的求解，一般利用換元，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解.
20．(1)（）
(2)6次
【分析】（1）由題意得，，當(dāng)時(shí)，求得，得到的表達(dá)式.
（2）由結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得即可.
【詳解】（1）由題意得，，所以當(dāng)時(shí)，，
即，解得，
所以（），
故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量的函數(shù)模型為（）.
（2）由題意可得，整理得
兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，得，整理得，
將代入，可得，所以，
又因?yàn)?，所以?br>綜上，至少進(jìn)行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數(shù)量達(dá)標(biāo).
21．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）代值計(jì)算即可得解；
（2）利用指數(shù)函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；
（3）令，，分、、三種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）解.
（2）解.
，則 ，則 ，所以，，
函數(shù)的值域?yàn)?.
（3）解：，
令，則，，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線.
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
，解得，此時(shí)的取值不存在；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在 上單調(diào)遞增，，
，解得，此時(shí)的取值不存在；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，且，
所以， ，解得，此時(shí).
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義建立方程，解出即可；
（2）考查函數(shù)在的單調(diào)性，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化不等式，解出即可；
（3）根據(jù)題意可知方程有兩個(gè)不同的根，化簡(jiǎn)方程后，列出條件，解出即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)．
所以，
即，
所以
，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
因?yàn)?，所以?br>解得或，
所以不等式的解集為
（3）因?yàn)楹瘮?shù)與圖象有個(gè)公共點(diǎn)，
所以方程有兩個(gè)不同的根，
方程即為，
可化為，
則有，，
設(shè)，則，
即，
又在上單調(diào)遞增，
所以方程有兩個(gè)不等的正根；
所以，
解得，
所以的取值范圍為．

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