2024-2025學(xué)年河北省保定市曲陽縣高二下冊3月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.
3.本試卷命題范圍：選擇性必修第二冊（第五章），選擇性必修第三冊（6.1～6.2）.
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 某郵局有4個(gè)不同的信箱，現(xiàn)有5封不同的信需要郵寄，則不同的投遞方法共有（）
A. 種B. 種C. 種D. 種
【正確答案】A
【分析】
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)題中條件，可直接得出結(jié)果.
【詳解】將5封不同的信，通過4個(gè)不同的信箱郵寄，每封信都有4種不同的投遞方法，
因此總的不同的投遞方法共有：種.
故選：A.
2. 把10個(gè)蘋果分成三堆，要求每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分法共有（）
A. 4種B. 5種C. 6種D. 7種
【正確答案】A
【詳解】試題分析：分類：三堆中“最多”的一堆為5個(gè)，其他兩堆總和為5，每堆最至少1個(gè)，只有2種分法．
三堆中“最多”的一堆為4個(gè)，其他兩堆總和為6，每堆最至少1個(gè)，只有2種分法．
三堆中“最多”的一堆為3個(gè)，那是不可能的．
考點(diǎn)：本題主要考查分類計(jì)數(shù)原理應(yīng)用．
點(diǎn)評(píng)：本解法從“最多”的一堆分情況考慮開始，分別計(jì)算不同分法，然后求和．用列舉法也可以，形象、直觀易懂．
3. 函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求出，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】，由題意得：，
即在上恒成立，
因?yàn)?，所以恒成立，故?shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：B
4. 已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則等于（）
A. 0B. C. 1D.
【正確答案】C
【分析】先求出時(shí)的導(dǎo)函數(shù)，再分別求出和，即可得到目標(biāo)的值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，，
所以.
故選：
5. 如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意可知每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，分類研究，不同色；
同色兩大類，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案．
【詳解】由題意知，分兩種情況：
(1)不同色，先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種；
(2) 同色；先涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，再涂區(qū)域有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有種．
由分類加法計(jì)數(shù)原理，共有種，
故選：A．
6. 已知可導(dǎo)函數(shù)滿足，則當(dāng)時(shí)，和的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可知單調(diào)遞增，比較的大小，可得和的大小關(guān)系.
【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，即，?
故選：A.
本題考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
7. 已知函數(shù)在上的最大值為，則a的值為（）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】
由，求導(dǎo)得，再根據(jù)在上的最大值為，分，，討論求解.
【詳解】由，
得，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
解得，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)最大值為，
解得，符合題意.
故a的值為.
故選：A.
8. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，的圖象連續(xù)，且，記的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則使成立的的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后由可得，進(jìn)而由確定，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而由奇函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，進(jìn)而可得.
【詳解】設(shè)，
則，
由題意，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，
故當(dāng)時(shí)，，，故，
當(dāng)時(shí)，，，故，
又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
故當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，
由得或，由的，
故由得或或，
故選：D
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象不可能是（）
A. B. C. D.
【正確答案】ACD
【分析】依據(jù)單增則，單減則可判斷.
【詳解】由圖像可知，在上單調(diào)遞增，則在上，故C、D選項(xiàng)的圖象不可能是的圖象；在上先減后增再減，則先負(fù)后正再負(fù)，故A選項(xiàng)的圖象不可能是的圖象，B選項(xiàng)的圖象可能是的圖象.
故選：ACD
10. 下列說法正確的為（）
A. 6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法
B. 6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法
C. 6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法
D. 6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有450種不同的分法
【正確答案】ABC
【分析】根據(jù)給定條件，利用分組分配的方法，列式判斷AB；利用隔板法計(jì)算判斷C；利用分類加法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算判斷D.
【詳解】對(duì)于A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，先取2本給甲，再從余下4本中取2本給乙，最后2本給丙，
不同分法有種，A正確；
對(duì)于B，把6本不同的書按分成3組有種方法，再分給甲、乙、丙三人有種方法，
不同分法種數(shù)是，B正確；
對(duì)于C，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，相當(dāng)于把6本相同的書排成一排，中間形成5個(gè)間隙，
取兩塊隔板插入兩個(gè)間隙，把6本書分成3部分，分給甲、乙、丙三人的不同分法數(shù)為，C正確；
對(duì)于D，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，可以有3類辦法，每人2本有種，
一人1本，一人2本，一人3本有種，一人4本，另兩人各一本有種，
所以6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本的不同分法數(shù)是：
，D錯(cuò)誤.
故選：ABC
11. 設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）
A. B. C. D.
【正確答案】CD
【分析】由題意，利用求導(dǎo)將問題轉(zhuǎn)化成方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，繼而理解為與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，
依題意知，在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，
也即函數(shù)與函數(shù)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
由二次函數(shù)的圖象可得：，解得，故C，D兩項(xiàng)正確.
故選：CD.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，則不同分法的種數(shù)是______.
【正確答案】720
【分析】根據(jù)題意，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.
【詳解】由題意知這是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，3張不同的電影票全部分給10個(gè)人，每人至多一張，
分第一張有10種結(jié)果，分第二種有9種結(jié)果，分第三種有8種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果．
故720．
13. 已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為______.
【正確答案】
【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出.
【詳解】由，
則，則，
且，
所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，
即.
故
14. 已知，函數(shù)在有極值，設(shè)，其中為不大于的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.
【正確答案】615
【分析】根據(jù)給定條件探求出，再借助的意義分析的前100項(xiàng)的各個(gè)值，再求和作答.
詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，
因，函數(shù)在有極值，則存在，有，解得，
于是得，即，而，
因此，數(shù)列的前100項(xiàng)中有1個(gè)0，3個(gè)1，5個(gè)2，7個(gè)3，9個(gè)4，11個(gè)5，13個(gè)6，15個(gè)7，17個(gè)8，19個(gè)9，
而，
所以.
故答案：615
關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.
15. 有5名同學(xué)站成一排拍照．
（1）若甲乙必須站一起，則共有多少種不同的排法？
（2）若最左端只能排甲或乙，且最右端不能排甲，則共有多少種不同的排法？
（3）求出現(xiàn)甲必須站正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰排法？
【正確答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用捆綁法求得方法數(shù).
（2）利用分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出方法數(shù).
（3）利用分步計(jì)數(shù)原理，求得方法數(shù)
【詳解】（1）將甲乙捆綁在一起，故方法數(shù)有種.
（2）如果甲排左端，則方法數(shù)有種；如果乙排左端，則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.
（3）按照甲、乙、丙、其他三個(gè)同學(xué)的順序進(jìn)行安排，所以方法數(shù)有種.
本小題主要考查簡單排列組合問題的求解，考查分類加法、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.
16. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
【正確答案】（1）；（2）
【分析】由排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式，可得答案.
【詳解】（1）由，則，
整理可得，解得.
（2）由，則，整理可得，
分解因式得，解得，
所以.
17. 設(shè)函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程有三個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
（2）
（3）
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）根據(jù)（1）畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（3）利用分離參數(shù)的方法求解恒成立問題即可.
【小問1詳解】
的定義域?yàn)镽，，
今得或，令得，
在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
由（1）可知為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，
的圖象如圖所示，
由圖可知，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同實(shí)根，則
【小問3詳解】
時(shí)，恒成立，
即在恒成立，
今，則，
等價(jià)于
，且開口向上，
在單調(diào)遞增．
18. 已知函數(shù).
（1）若，求函數(shù)極值；
（2）若函數(shù)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）極小值為，無極大值；（2）．
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極值；
（2）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，令，得，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為，無極大值；
（2）由，得．
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)沒有零點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減．
又，且，
所以函數(shù)有零點(diǎn)，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，令，則．
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增．
所以，
若函數(shù)沒有零點(diǎn)，則需，即，得．
綜上所述，若函數(shù)無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.
19. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
（1）判斷的單調(diào)性；
（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，證明：
【正確答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)的取值分情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)已知條件，化不等式fx1?fx2>a?2x1?x2為，構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小證明不等式.
【小問1詳解】
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，所以，
在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，，
，解得，此時(shí)恒成立，
所以，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，
方程的兩個(gè)根分別為，，
且，，，所以且，
所以當(dāng)或時(shí)，有，
所以，在和時(shí)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，有，
所以，單調(diào)遞增；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增.
【小問2詳解】
由（1）可知，若存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，
則，且，，
要證fx1?fx2>a?2x1?x2，
即證alnx1+1x1?x1?alnx2+1x2?x2>a?2x1?x2，
即證alnx1?lnx2+x2?x1x1?x2?x1?x2>ax1?x2?2x1?x2，
因?yàn)?，所以得alnx1?lnx2>ax1?x2，
因?yàn)?，所以即證，
因?yàn)?，所以，所以即證即，
即證，令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?，所以?br>所以得證.

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