一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．
1．已知，則點A關(guān)于平面的對稱點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
2．若直線經(jīng)過兩點，則直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
3．已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
4．兩條平行直線和間的距離為，則的值分別為（ ）
A．B．
C．D．
5．如圖，空間四邊形中，，，，點M在上，且，點N為中點，則等于（ ）
A．B．
C．D．
6．過點作直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．以下各組向量中的三個向量，不能構(gòu)成空間基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
8．點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線方程分別為（ ）
A．；B．；
C．；D．；
二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知，則下列說法正確的是（ ）
A．是平面的一個法向量B．四點共面
C．D．
10．已知直線，直線，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在軸上的截距為B．過定點
C．若，則或D．若，則
11．如圖，在棱長為2的正方體中，點P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點Q是棱的中點，則以下命題正確的是（ ）

A．三棱錐的體積是定值
B．存在點P，使得與所成的角為
C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
D．若，則P的軌跡的長度為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知 ，則 與 夾角的余弦值為 .
13．已知點在圓上，點，當最小時， .
14．直線與直線相交于點，對任意實數(shù)，直線分別恒過定點，則的最大值為
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．已知點，，，設(shè)，，．
(1)若實數(shù)使與垂直，求值．
(2)求在上的投影向量．
16．已知的三個頂點為.
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求邊上的中線所在直線的方程.
17．已知平行六面體，底面是正方形，，，設(shè)．
(1)試用表示；
(2)求的長度．
18．已知直線：，：，且滿足，垂足為C.
(1)求m的值及點C的坐標.
(2)設(shè)直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點B，求的外接圓方程.
19．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在線段上存在一點，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.
1．B
【分析】根據(jù)坐標平面的對稱性求解．
【詳解】點A關(guān)于平面的對稱點的坐標是，
故選：B．
2．C
【分析】根據(jù)兩點坐標求出直線的斜率，進而求出傾斜角.
【詳解】由直線經(jīng)過兩點，可得直線的斜率為，
設(shè)直線的傾斜角為，有，又，所以.
故選：C.
3．B
【分析】運用空間向量平行坐標結(jié)論，結(jié)合坐標運算即可解.
【詳解】向量，則，
因，于是得，解得，
所以.
故選：B.
4．B
【分析】由已知列出關(guān)系式，求出的值.然后根據(jù)兩條平行線之間的距離公式，即可求出的值.
【詳解】由已知可得，，解得.
代入化簡可得，.
根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得，
.
故選：B.
5．B
【分析】利用空間向量的線性運算法則求解.
【詳解】
.
故選：B.
6．B
【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.
【詳解】

設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，，
，，
因為直線經(jīng)過點，且與線段總有公共點，
所以，
因為，所以.
故選：B.
7．A
【分析】結(jié)合空間三個向量，，能構(gòu)成空間的基底，則向量，，不共面，逐一檢驗即可.
【詳解】若空間三個向量，，能構(gòu)成空間的基底，則向量，，不共面，反之亦然，
對于A，由，，，得，即向量，，共面，不能構(gòu)成空間基底；
對于B，令，則，不成立，即不共面，可構(gòu)成基底；
對于C，令，則，即無解，即不共面，可構(gòu)成基底；
對于D，令，則，即無解，即不共面，可構(gòu)成基底.
故選：A
8．A
【分析】求出直線所過的定點，再確定最大值條件即可求解.
【詳解】將直線變形得，
由，解得，因此直線過定點，
當時，點到直線的距離最大，
最大值為，又直線的斜率，
所以直線的方程為，即.
故選：A

9．AD
【分析】根據(jù)向量垂直，即可結(jié)合法向量定義求解A，根據(jù)共面定理即可求解B，根據(jù)向量共線即可求解C，由模長公式即可求解D.
【詳解】，
所以平面，
所以平面，所以是平面的一個法向量，故A正確；
設(shè)，則，無解，所以四點不共面，故B錯誤；
，所以與不平行，故C錯誤；
，故D正確；
故選：AD.
10．ABD
【分析】根據(jù)直線截距的定義可判定A，由直線方程可求定點判定B，利用兩直線的位置關(guān)系可判定C、D.
【詳解】由易知，故A正確；
由，故B正確；
若兩直線平行，則有且，解得，故C錯誤；
若兩直線垂直，則有，故D正確.
故選：ABD
11．ACD
【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值判斷A；建立空間直角坐標系，設(shè)，得，，利用向量夾角公式求解判斷B；求平面的法向量，利用向量夾角公式求解判斷C；由，可得，即可求解判斷D.
【詳解】對于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，
是定值，A正確；
以為坐標原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，設(shè)，則
對于B，，使得與所成的角滿足：
，
因為，故，故，
而，B錯誤；
對于C，平面的法向量，
所以直線與平面所成角的正弦值為：，
因為，故
故，
而，，
故即的取值范圍為，C正確；
對于D，，由，
可得，化簡可得，
在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長度為
，D正確；
故選：ACD.
12．##
【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可．
【詳解】，
.
故答案為：
13．
【分析】找到當最小時P點所在的位置，再結(jié)合勾股定理可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑為4，
如圖所示：當 最小時，與圓M相切，連接，
則，，而，
由勾股定理得，
所以當最小時，.
故答案為：.
14．4
【分析】根據(jù)直線恒過定點的求法求出兩直線恒過的定點，即的坐標，根據(jù)直線的方程計算得出兩直線垂直，即，即可得出，即可根據(jù)基本不等式得出答案.
【詳解】直線化為，
當，得，即直線恒過點，即點，
直線化為，
當，得，即直線恒過點，即點，
且兩條直線滿足,
,即，
,
,當且僅當時，等號成立，
的最大值為4.
故答案為：4.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出空間向量的坐標，再結(jié)合向量垂直的坐標表示列式計算即得.
（2）利用投影向量的定義求解即得.
【詳解】（1）依題意，，，
由與垂直，得，解得，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以在上的投影向量為.
16．(1)
(2).
【分析】（1）根據(jù)兩點的坐標求出直線的斜率，利用垂直關(guān)系求出高線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程；
（2）根據(jù)兩點的坐標求出中點，再由兩點坐標求出直線斜率，利用點斜式寫出直線的方程.
【詳解】（1）

因為的三個頂點為，
所以直線的斜率為，
所以邊上的高所在直線的斜率為，
所以直線的方程為，
化為一般式方程為；
（2）因為，所以的中點為，
又因為，所以直線的斜率為，
所以直線的點斜式方程為，
化為一般式為.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量線性運算，結(jié)合幾何體特征確定與的線性關(guān)系；
（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算律及已知條件求的長度.
【詳解】（1）.
（2），
，
所以
.
所以.
18．(1)，
(2)．
【分析】（1）根據(jù)題意，求得兩直線的斜率，結(jié)合，求得，得出直線的方程，聯(lián)立方程組，求得交點坐標.
（2）由（1）中的直線方程，求得，，得到的外接圓是以為直徑的圓，求得圓心坐標和半徑，即可求解.
【詳解】（1）解：顯然，可得，，
由，可得，即，解得，
所以直線：，直線：，
聯(lián)立方程組，解得，所以點．
（2）解：由直線：，直線：，可得，，
所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心，半徑，
所以的外接圓方程是．
19．(1)證明見解析
(2).
(3).
【分析】（1）由已知四邊形為矩形，證明，由條件根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面；
（2）建立空間直角坐標系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）設(shè)，求，利用向量方法求直線與平面所成的角的正弦值，列方程求.
【詳解】（1）因為，因為，，
所以四邊形為矩形，
在中，，，，
則，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
，，可得，
則，，，，C?1,3,0，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取.
設(shè)平面的法向量為，，
由，取，
.
二面角是鈍角，
二面角的正弦值為.
（3）設(shè)，則，
又平面的法向量為，
直線與平面所成的角的正弦值為，
解得，.

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