1．與向量同向的單位向量為（ ）
A．B．C．D．
2．已知直線與直線平行，則（ ）
A．B．C．或D．或
3．在數(shù)列中，若，，則下列數(shù)不是中的項的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知圓與圓恰有三條公切線，則（ ）
A．15B．17C．21D．23
5．設是等差數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．12B．18C．24D．32
6．在三棱柱中，已知，且為平面上一點，則三棱柱的高為（ ）
A．B．C．D．
7．已知拋物線的焦點為為拋物線上一動點，點，記到軸的距離為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
8．在棱長為1的正方體中，為正方體內一動點（包括表面），若，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．若點和點關于直線對稱，則（ ）
A．B．
C．D．
10．已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，是上位于第一象限內任意一點，直線，的斜率分別為，，若的離心率為2，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值B．的漸近線方程為
C．為定值D．
11．已知數(shù)列滿足，，設數(shù)列的前項和為，前項積為，則下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列是等差數(shù)列B．數(shù)列的最大項為
C．使得取得最小值的為7D．有最小值，無最大值
三、填空題（本大題共3小題）
12．在四面體中，空間的一個點M滿足，若，，，四點共面，則 ．
13．已知，則關于的不等式的解集為 .
14．設是橢圓的兩個焦點，為上一點.若為坐標原點，，且的面積等于8，則 ，a的取值范圍為 .
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知圓的圓心在直線上，且點，在上.
(1)求圓的標準方程；
(2)若傾斜角為的直線經過點，且與圓相交于D，E兩點，求.
16．已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于兩點，當直線垂直于軸時，.
(1)求拋物線的方程：
(2)若，求直線的方程.
17．記等差數(shù)列的前項和為，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.
(2)若數(shù)列滿足，且，求的通項公式.
18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，平面，，為的中點，是線段上一點.
(1)證明：平面平面.
(2)是否存在點M，使得平面？若存在，求PM的長；若不存在，說明理由.
(3)求平面與平面夾角的余弦值的最大值.
19．在平面直角坐標系xOy中，對于任意一點，總存在一點滿足關系式：，則稱為平面直角坐標系中的伸縮變換.
(1)在同一直角坐標系中，求平面直角坐標系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓.
(2)在同一直角坐標系中，橢圓經平面直角坐標系中的伸縮變換得到曲線.
（i）求曲線的方程；
（ii）已知，過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為證明：線段PQ的中點為定點.
答案
1．【正確答案】A
【詳解】因為，所以，
所以與向量同向的單位向量為.
故選.
2．【正確答案】D
【詳解】因為直線與直線平行，
所以，解得或.
故選：D.
3．【正確答案】A
【詳解】因為，，
所以，，，，…，
故是以為周期的周期數(shù)列，-1不是數(shù)列中的項，
故選：A．
4．【正確答案】D
【詳解】圓，圓心為，半徑為，
圓可化為，圓心為，半徑為，，
若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，
則，即，解得.
故選：D.
5．【正確答案】C
【詳解】由，則，
由數(shù)列為等差數(shù)列，，故，
又，
故選：C.
6．【正確答案】B
【詳解】由，
則，
設平面的一個法向量為n=x,y,z，則，所以，
令，則，，所以是平面的一個法向量，
所以點到平面的距離為，故三棱柱的高為.
故選：B.
7．【正確答案】C
【詳解】
設拋物線的焦點為，由拋物線的定義可知：，
所以，
當共線取得最小值.
故選：C
8．【正確答案】D
【詳解】取的中點，正方體的中心為，
則，
若求的最值，即為求的最值，
以A為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，
則，
可得，
若，且，
可知點為三棱柱內一動點（包括表面），
因為，
則，即，
且，平面，可得平面，
又因為為的中點，即平面，
可知的最小值即為，
根據(jù)正方體的對稱性可知：當點為或時，取到最大值，
即，可得，
所以的取值范圍為.
故選：D.
9．【正確答案】AC
【詳解】由題意知，的中點，即在直線上，
則可得，解得，
則直線，斜率為，
又直線與直線垂直，
則可得，解得，
故選：AC.
10．【正確答案】BCD
【詳解】
因為是上位于第一象限內任意一點，所以不是定值，故錯誤；
因為離心率，所以，
所以，即，所以的漸近線方程為，故正確；
設Px,y，因為，，
因為點在上，所以，
所以，故正確；
，
因為是上位于第一象限內任意一點，所以，
所以，故正確.
故選.
11．【正確答案】ACD
【詳解】對于，因為，所以，
，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；
因為等差數(shù)列的首項為，公差為，
所以，
所以，
又因為，
當時，，，
所以數(shù)列的最大項為，所以不正確；
所以為7時最小，故正確；
由，可知，
，所以無最大值，
因為的負項只有有限個，，，，，
，，，
，所以有最小值，故正確.
故選.
12．【正確答案】
【詳解】因為，，，四點共面，，
所以，
解得.
故答案為.
13．【正確答案】
【詳解】設，，
如圖：
的圖象是的上半圓，
的圖象是過點，斜率大于的直線，
當直線過時，斜率為，
因為斜率，所以直線不過點，又點在半圓上，
所以關于的不等式的解集為.
故答案為.
14．【正確答案】
【詳解】取的中點，連接，則，
因為為的中點，所以，，
則，所以，
由，得，
即，所以，
即，；
因為為上一點，且，
則的最大值要大于等于，
且當取最大值時，點位于橢圓的上下頂點，
設橢圓的上頂點為，
當，所以，
則，所以，
所以，所以，
即.
故；.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設線段的中點為，則，
因為直線的斜率為，
所以線段的垂直平分線的斜率為，
所以線段的垂直平分線所在的直線方程為，
由得，
所以圓心，半徑為，
所以圓的標準方程為；
（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，
又直線經過點，所以直線的方程為，
即，
所以點到直線的距離為，
所以.
16．【正確答案】(1)
(2)，或
【詳解】（1）由題意，，，（或）
所以，解得，（舍去），
所以拋物線的方程為：
（2）由（1），，設，
由題意知直線的斜率存在，
設其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，
可得，所以，
，解得，
所以直線的方程為，
即，或.
17．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由題設可得，
解得，，
所以.
則，
故可得，
又，
故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
故可得，
由，，可得，
又，則，
當時，可得
，
，
，
，
累加可得，
可得，
又也符合上式，
故.
18．【正確答案】(1)證明見解析
(2)存在點，使得平面，
(3)
【詳解】（1）
連接，因為底面ABCD是邊長為2的菱形，，
所以為等邊三角形，所以，
因為平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）存在點，當為中點時，平面，
理由如下：
取的中點，連接，，，
因為，分別為，的中點，
所以，，
又，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，因為平面，平面，
所以平面，
在直角三角形中，，
所以在直角三角形中，；
（3）
取的中點，以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，
設，
，，，，，
所以，，，，
，
設平面的法向量為，
所以，所以，
令，所以，
因為平面，所以平面的一個法向量為，
設平面與平面夾角為，
所以，
當時，，
當時，，
所以當時，最大，此時，
所以平面與平面夾角的余弦值的最大值為.
19．【正確答案】(1)：
(2)（i）；（ii）證明見解析
【詳解】（1）由橢圓，即，
由定義知，使得圓變換為橢圓，
則，
即伸縮變換：；
（2）（i）設橢圓上任意一點Mx,y經過伸縮變換，得到對應點.
將，代入，
得，化簡得.
曲線的方程為.
（ii）
證明：由題意可知：直線的斜率存在，設，
聯(lián)立方程，消去得：，
則，解得，
可得，
因為A?2,0，則直線，
令，解得，即，
同理可得，
則
，
所以線段的中點是定點0,3.

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