一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）
1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（ ）
A．2B．1C．8D．4
2．已知物體的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，則物體在時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）
A．B．C．D．
3．若曲線的一條切線的斜率是，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A．1B．C．D．
4．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則=（ ）
A．B．C．D．
5．某話劇有5名女演員和2名男演員，演出結(jié)束后，全體演員站成一排登臺(tái)謝幕，若2名男演員不相鄰，則不同的排法有（ ）
A．3600種B．2400種C．360種D．240種
6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）.
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)在處有極值8，則等于（ ）
A．B．16C．或16D．16或18
8．已知函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.選對(duì)部分得部分分，有錯(cuò)選得0分）
9．下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10．函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則下列命題正確的是（ ）
A．函數(shù)在內(nèi)一定不存在最小值
B．函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)
C．函數(shù)在內(nèi)有三個(gè)極大值點(diǎn)
D．函數(shù)在內(nèi)可能沒(méi)有零點(diǎn)
11．已知函數(shù)，則（ ）
A．曲線在點(diǎn)處的切線方程是
B．函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)
C．
D．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12．
13．第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派人參加連續(xù)天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加天，其他人各參加天，則不同的安排方法有 .（結(jié)果用數(shù)值表示）
14．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是 .
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）
15．（本題滿分13分）
已知曲線.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.
（本題滿分15分）
用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)
(1)在組成的五位數(shù)中，所有偶數(shù)有多少個(gè)？
(2)在組成的五位數(shù)中，大于31000的數(shù)有多少個(gè)？
(3)在組成的五位數(shù)中，數(shù)字2和數(shù)字4不相鄰的數(shù)有多少個(gè)？
17.（本題滿分15分）
茶起源于中國(guó)，盛行于世界，是承載歷史文化的中國(guó)名片．武夷山，素有茶葉種類王國(guó)之稱，茶文化歷史久遠(yuǎn)，茶產(chǎn)業(yè)生機(jī)勃勃．2021年3月22日下午，他來(lái)到福建武夷山星村鎮(zhèn)燕子窠生態(tài)茶園考察．他強(qiáng)調(diào)，過(guò)去茶產(chǎn)業(yè)是你們這里脫貧攻堅(jiān)的支柱產(chǎn)業(yè)，今后要成為鄉(xiāng)村振興的支柱產(chǎn)業(yè)．3月25日，人民論壇網(wǎng)調(diào)研組一行循著此次來(lái)閩考察的足跡，走訪了福建武夷山．調(diào)研組了解到某茶葉文化推廣企業(yè)研發(fā)出一種茶文化的衍生產(chǎn)品，十分的暢銷．據(jù)了解，該企業(yè)年固定成本為50萬(wàn)元，每生產(chǎn)百件產(chǎn)品需增加投入7萬(wàn)元．在2021年該企業(yè)年內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品為x百件，并能全部銷售完．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每百件產(chǎn)品的銷售收入為萬(wàn)元，且滿足．
（1）寫出該企業(yè)今年利潤(rùn)關(guān)于該產(chǎn)品年銷售量x百件的函數(shù)關(guān)系式；
（2）今年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，該企業(yè)在這種茶文化衍生產(chǎn)品中獲利最大？最大利潤(rùn)多少？
18.（本題滿分17分）
已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)求函數(shù)在上的最小值．
19.（本題滿分17分）
已知函數(shù)，，.
(1)證明.
(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(3)當(dāng)，時(shí)，證明：，.
答案
1．D
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算即可.
【詳解】由題意得，
所以．
故選：D.
2．A
【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度含義，求導(dǎo)運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)槲矬w的位移（單位：m）與時(shí)間（單位：s）滿足函數(shù)關(guān)系，
所以，令，得.
故選：A
3．B
【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，求導(dǎo)，通過(guò)斜率得出橫坐標(biāo)方程，可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，則（舍去）.
故選:B.
4．C
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，令即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，令，則，
解得.
故選：C.
5．A
【分析】利用插空法，先排女演員，再讓男演員插空排列.
【詳解】先將5名女演員排成一排，再將2名男演員插空進(jìn)去，
共有種排法．
故選：A.
6．A
【分析】由的圖象得到的單調(diào)性，從而得到的正負(fù)，即可得解.
【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，
所以不等式的解集為.
故選：A
7．A
【分析】求導(dǎo)，即可由且求解，進(jìn)而代入驗(yàn)證是否滿足極值點(diǎn)即可.
【詳解】，
若函數(shù)在處有極值8，
則 且，即 ，
解得：或 ，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是極值點(diǎn)，故舍去，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)，故是極值點(diǎn)，
故符合題意，
故，
故，
故選：A
8．C
【分析】根據(jù)區(qū)間單調(diào)性得對(duì)任意恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)單調(diào)性，進(jìn)而求參數(shù)a的范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以對(duì)任意恒成立，所以，
令，則，
所以在內(nèi)為減函數(shù)，
所以，則．
故選：C
9．AC
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可得到答案．
【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；
對(duì)于B，若，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，則，故C正確；
對(duì)于D，若，則，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
10．BD
【分析】對(duì)AB，設(shè)的根為，且，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性與極值和最值即可；對(duì)C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定原函數(shù)的極值點(diǎn)即可；對(duì)D，利用特殊值判斷即可.
【詳解】對(duì)于AB，設(shè)的根為，且，
則由圖可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極小值，
當(dāng)時(shí)，是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值，
所以A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值，
即函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極大值點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以D正確．
故選：BD．
11．AB
【分析】對(duì)于A，求出即可驗(yàn)算；對(duì)于B，設(shè)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)發(fā)現(xiàn)的單調(diào)性，進(jìn)一步結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷；對(duì)于C，由B選項(xiàng)結(jié)論即可判斷；對(duì)于D，由零點(diǎn)的定義即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，，所以，
所以在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，
令，則，所以，
而，
由零點(diǎn)存在定理可知的零點(diǎn)，即函數(shù)有極大值，且極大值點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于C，由以上分析可知在單調(diào)遞減，且，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，所以只有唯一的一個(gè)零點(diǎn)即.
故選：AB.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷B選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)得出其函數(shù)性質(zhì)，由此即可順利得解.
12．/
【分析】根據(jù)排列數(shù)的運(yùn)算直接求解即可.
【詳解】.
故答案為.
13．
【分析】首先考慮甲連續(xù)天的情況，再其余人全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得.
【詳解】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種，
則剩下的人全排列有種排法，
故一共有種排法．
故．
14．
【分析】即導(dǎo)函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn).
【詳解】由題意知，
因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，
即在區(qū)間有零點(diǎn)，
又，即為的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
所以解得，即m的取值范圍是．
故
15．(1)
(2)和
【分析】（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出在處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得到切線方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，然后根據(jù)曲線在點(diǎn)處切線的切線方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求出結(jié)果．
【詳解】（1）由題意得，則在點(diǎn)處的切線的斜率，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.
（2）設(shè)曲線與過(guò)點(diǎn)的切線相切于點(diǎn)，
設(shè)切線的斜率為，則由點(diǎn)斜式得直線方程為，又因?yàn)榍悬c(diǎn)為，
則，解得或，
則曲線過(guò)點(diǎn)處的切線方程為和.
16．(1)60
(2)42
(3)60
【分析】（1）根據(jù)當(dāng)末位是0和末位是2或4，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解；
（2）分萬(wàn)位是4、萬(wàn)位為3千位為2,4和萬(wàn)位為3千位為1，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解；
（3）先排0,1,3，根據(jù)0排在三個(gè)數(shù)的第一位和0不排在三個(gè)數(shù)的第一位，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，當(dāng)末位是0共有個(gè)，當(dāng)末位是2或4共有個(gè),
所以共有偶數(shù)為個(gè).
（2）解：由題意，萬(wàn)位是4共有個(gè)，萬(wàn)位為3千位為2或4共有個(gè)，
萬(wàn)位為3千位為1共有個(gè)，
所以大于31000的數(shù)共有個(gè).
（3）解：先排0,1,3,第一種：0排在三個(gè)數(shù)的第一位，共有個(gè)；
第二種0不排在三個(gè)數(shù)的第一位，共有個(gè)
所以數(shù)字2和4不相鄰的數(shù)共有個(gè).
17．（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為1百件，最大利潤(rùn)為25萬(wàn)元.
【分析】（1）由題意得可得，代入化簡(jiǎn)，即可得答案.
（2）由（1）得，，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性及最值，分析整理，即可得答案.
【詳解】解：（1）依題意得：
（2）由（1）得，，
則，
令，得或（舍去）
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，有
答：當(dāng)年產(chǎn)量為1百件時(shí)，該企業(yè)在這種茶文化衍生產(chǎn)品中獲利最大且最大利潤(rùn)為25萬(wàn)元．
18．(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在上的最小值.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，由得，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），其中，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，.
綜上所述，.
19．(1)證明見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值得解，
（2）求導(dǎo)，對(duì)分奇偶，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，根據(jù)（1）的結(jié)論可得，即可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所?
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
從而，則.
（2）因?yàn)?，?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
從而，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
綜上可得：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
（3）由（2）可知，當(dāng)，時(shí)，
要證，，
即證，
即證，
即證，
即證.
由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
令，可得，
故
從而，.
方法點(diǎn)睛：
1. 導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
C
A
A
A
C
AC
BD
題號(hào)
11









答案
AB









減
極小值
增

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