1. 已知是空間的一個基底，那么下列選項中不可作為基底的是（ ）
A B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】根據共面向量的判斷方法，對每個選項進行逐一分析，即可判斷.
【詳解】對A：設，即，因為不共面，
故不存在實數滿足，則不共面，可以作為基底；
對B：因為存在實數，使得，故共面，不可作為基底；
對C：設，即，因為不共面,
故不存在實數滿足，則不共面，可以作為基底；
對D：設，即，因為不共面，
故不存在實數滿足，則不共面，可以作為基底.
故選：B.
2. 如圖所示，在四面體A－BCD中，點E是CD的中點，記，，， 則等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用空間向量的線性運算，用基底表示向量.
【詳解】連接AE，如圖所示，
∵E是CD的中點，，，∴＝＝．
在△ABE中，，又，
∴.
故選：A.
3. 已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
【正確答案】D
【分析】由A，B，C三點共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.
【詳解】因為，，，
所以，，
因為A，B，C三點共線，所以存在實數，使，
所以，
所以，解得.
故選：D
4. 已知向量，，，當時，向量在向量上的投影向量為（ ）（用坐標表示）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】先根據向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.
【詳解】，，解得，
，
所以在上的投影向量為.
故選：A.
5. 空間內有三點，則點P到直線EF的距離為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】求出，得到直線EF一個單位方向向量，利用點到直線距離公式得到答案.
【詳解】因為，所以直線EF的一個單位方向向量為．
因為，所以點P到直線EF距離為．
故選：A
6. 我國古代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（ ）
A. B. 3C. 2D. 5
【正確答案】B
【分析】根據題意建立空間直角坐標系計算求解即可.
【詳解】因為平面，平面，
所以，
又因為四邊形是矩形，所以，
以A為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，則，
所以，，所以．
故選：B
7. 已知正方體不在同一表面上的兩個頂點，，則正方體的體積為（ ）
A. 32B. 64C. 48D.
【正確答案】B
【分析】利用空間兩點距離公式求得正方體的體對角線長，然后求出正方體的棱長，進而求出正方體的體積.
【詳解】，
又因為，兩點不在同一表面上，
所以A，B兩點間的距離即為正方體的體對角線長.
設正方體的邊長為a，則，即，所以正方體的體積為64.
故選：B
8. 已知向量的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】夾角為鈍角只需滿足，排除共線的情況即可.
【詳解】由，解得
當共線時，由，即解得，
所以當夾角為鈍角時，
故選：B
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. （多選）下面關于空間直角坐標系的敘述正確的是（ ）
A. 點與點關于z軸對稱
B. 點與點關于y軸對稱
C. 點與點關于平面對稱
D. 空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分
【正確答案】BD
【分析】結合空間直角坐標系的概念對選項逐一分析即可.
【詳解】點與點關于x軸對稱，故錯誤；
點與關于y軸對稱，故正確；
點與不關于平面對稱，故錯誤；
空間直角坐標系中的三條坐標軸組成的平面把空間分為八個部分，故正確．
故選.
10. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 若是空間任意四點，則有
B. 若，則存在唯一的實數，使得
C. 若共線，則
D. 對空間任意一點與不共線的三點，若（其中），則四點共面
【正確答案】BCD
【分析】利用向量加法運算判斷A；利用共線向量定理判斷B；利用向量共線的意義判斷C；利用共面向量定理判斷D.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，當時，不存在，B錯誤；
對于C，共線，可以在同一條直線上，C錯誤；
對于D，當時，四點不共面，D錯誤.
故選：BCD
11. 已知正三棱柱的所有棱長都為2，P是空間中的一動點，下列選項正確的是（ ）
A. 若，則的最小值為2
B. 若，則三棱錐P-ABC的體積為定值
C. 若，則直線AP與平面ABC所成角的正弦值的最大值為
D. 若，則平面PBC截三棱柱所得的截面面積為
【正確答案】BCD
【分析】如圖，建立空間直角坐標系，由，求出，由空間中兩點的距離公式和二次函數的性質可判斷A；由點到平面的距離公式和三棱錐的體積公式可判斷B；由線面角的向量公式和二次函數的性質可判斷C；先求出點，再求出平面PBC截三棱柱所得的截面，即可判斷D.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，則，B（0，1，0），C（0，-1，0），
，，．
因為，所以，
所以，
所以．
當，時，，所以A錯誤；
因為，
所以，
因為平面ABC的法向量為，
所以點P到平面ABC的距離為為定值，
即三棱錐P-ABC的體積為定值，所以B正確；
因為，
平面ABC的一個法向量為，設AP與平面ABC所成的角為θ，
所以，，
當時，，所以C正確；
因為，所以，
由圖可知平面PBC截三棱柱所得的截面為，
，所以D正確．

故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.
12. 已知點、，C為線段AB上一點，若，則點C的坐標為__________．
【正確答案】
【分析】利用空間向量的坐標運算法則求解即可.
【詳解】，
，得，
，
即點的坐標為.
故答案為.
13. 在四面體中，，，，，則__________．
【正確答案】
【分析】根據空間向量數量積的運算進行求解即可.
【詳解】因為，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故30°
14. 如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點E，M是AC的中點，，則的最小值為______．
【正確答案】##-0.125
【分析】根據給定條件，證明平面PAB，將用表示出，再結合空間向量數量積的運算律求解作答.
【詳解】連接，如圖，
因平面ABC，平面ABC，則，而，，平面PAB，
則平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中點，則，又，
，當且僅當取“=”，
所以的最小值為.
故
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，.
（1）求；
（2）求；
（3）求.
【正確答案】（1）
（2）
（3）
【分析】由空間向量的數量積，模長公式及夾角公式的坐標運算直接求解.
【小問1詳解】
;
【小問2詳解】
,
則；
【小問3詳解】
，則
16. 如圖，在正方體中，分別是的中點．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求點到平面的距離．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可；
（2）根據平面法向量的性質，結合空間點到面距離公式進行求解即可.
【小問1詳解】
以為原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

，
所以直線與所成角的余弦值為；
【小問2詳解】
設平面的法向量為，
則得取，則，
得平面的一個法向量為，
所以點到平面的距離為．
17. 如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點，設，，．
（1）求的長；
（2）求和夾角的余弦值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據空間向量基本定理得到，平方后結合空間數量積公式求出，求出答案；
（2）先求出，結合空間向量夾角余弦公式求出答案.
【小問1詳解】
由題意得，
又，，，，，
故
，
故；
【小問2詳解】
，
則.
18. 如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，且，，平面平面，．
（1）求證：平面平面；
（2）在棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說用理由．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）存在；
【分析】（1）根據題意，由面面垂直的性質定理可得平面，即可證明平面平面；
（2）根據題意，建立空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結果.
【小問1詳解】
證明：在中，，，由余弦定理，得
，所以，即．
因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
【小問2詳解】
設，的中點分別為，，連接，，
因為，為的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．
因為，分別為，的中點，所以，又，所以，即，，兩兩互相垂直，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，B1,0,0，，，，
設，則，所以．
，，設m=x,y,z是平面的法向量，則即令，則，，即平面的一個法向量為．
設直線與平面所成角，又，
則，
即，解得．
所以存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，此時．
19. 球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖一，球的半徑為，為球面上三點，劣弧的弧長記為，設表示以為圓心，且過的圓，同理，圓，的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做球面三角形，若設二面角，，分別為，，，則球面三角形的面積為.
（1）若平面，平面，平面兩兩垂直，求球面三角形的面積；
（2）若將圖一中四面體截出得到圖二，若平面三角形為直角三角形，，設，，.
①求證：；
②延長與球交于點，連接，若直線與平面所成的角分別為，，，，為中點，為中點，設平面與平面的夾角為，求的最小值.
【正確答案】（1）
（2）①證明見解析；②.
【分析】（1）根據平面，平面，平面兩兩垂直，得，即可求解；
（2）①根據余弦定理及勾股定理即可證明；
②建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，利用向量夾角公式即可求解.
【小問1詳解】
解：因為平面，平面，平面兩兩垂直，
所以，
所以球面三角形ABC的面積；
【小問2詳解】
解：①證明：由余弦定理可得：
，且,
所以，
即，
消去，則有：
即；
②由題意可知是球的直徑，則有,
又，
所以平面，
又因為平面，
所以,
又因，
所以平面，平面，
所以，
又因為直線與平面所成的角分別為，，
所以，
不妨令，
則，，
又因為,,,
以為坐標原點，以所在直線為軸，過點作的平行線為軸，建立空間直角坐標系：
設，
則
可得，
則，，
設平面的一個法向量為，
則，
取，則，
所以；
設平面的一個法向量為，
則，
取，則，
所以，
要使取最小值，則取最大值，
因為
令，
則，
所以
當且僅當時等號成立，
則的最大值為，
所以取最小值為.
方法點睛：在涉及求直線與平面、平面與平面所成角時，利用空間向量法求解更簡單些.

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