1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、座位號填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束，只需將答題卡交回．
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】利用基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的運算法則的進行求導(dǎo)，逐項分析即可.
【詳解】對于A，常數(shù)導(dǎo)數(shù)等于0，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，故D正確.
故選：D.
2. 設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是（ ）
A. 6B. 2C. 3D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】由題意，，
即，故，即曲線在點處的切線的斜率是6.
故選：A
3. 已知函數(shù)，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)條件，利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運算法則，即可求解.
【詳解】因為，則，
所以，解得，
故選：A.
4. 函數(shù)在上的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)圖象的形狀.
【詳解】因為，所以，
所以函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故排除答案CD，
又，，
設(shè)，，則，.
所以在上為增函數(shù)，又，
所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，故排除B.
故選：A
5. 已知為R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對于任意的，均有，則（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【正確答案】A
【分析】構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)且可得答案.
【詳解】構(gòu)造函數(shù) ，
則 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
故 ，
即 ，
即 .
同理， ，
即 .
故選 ： A.
6. 2023年10月23日，杭州亞運會歷時16天圓滿結(jié)束.亞運會結(jié)束后，甲?乙?丙?丁?戊五名同學(xué)排成一排合影留念，其中甲?乙均不能站左端，且甲?丙必須相鄰，則不同的站法共有（ ）
A. 18種B. 24種C. 30種D. 36種
【正確答案】C
【分析】分類當丙站在左端時及丙不站在左端時的情況計算即可得.
【詳解】由題意可知，當丙站在左端時，有種站法；
當丙不站在左端時，有種站法.
由分類加法計數(shù)原理可得，一共有種不同的站法.
故選：C.
7. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意可知在[1,2]上恒成立，將問題再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解即可.
【詳解】 ，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
即在上恒成立，
即在[1,2]上恒成立.
令，則在上單調(diào)遞減，,
所以,,
即
故選：C.
8. 已知函數(shù)，，若函數(shù)有5個零點，則a的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】利用分段函數(shù)思想，結(jié)合分離參變量，再利用求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合，可得參數(shù)范圍.
【詳解】當時，由得：，
顯然，是的一個零點，
再當時，有，
作出圖象可得：當時，，
所以當時，在有兩個零點；
再當時，由得：，
整理得，令，求導(dǎo)得，
令，得
當時，，所以在區(qū)間上遞增，
當時，，所以在區(qū)間上遞減，
作出圖象：
所以由圖可得：當時，在有兩個零點；
又由于，
所以要使得有五個零點的參數(shù)，
故選： D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 是函數(shù)的極小值點
B. 是函數(shù)的極小值點
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D. 函數(shù)在處切線的斜率小于零
【正確答案】BC
【分析】
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點定義，即可容易判斷選擇.
【詳解】由圖象得時，，時，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故是函數(shù)的極小值點.
對選項：顯然，故錯誤.
故選：BC．
本題考查由導(dǎo)數(shù)涵圖象研究函數(shù)性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.
10. 現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗專家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（ ）
A. 所有可能的安排方法有125種
B. 若A 醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種
C. 若專家甲必須去A 醫(yī)院，則不同的安排方法有16種
D. 若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種
【正確答案】AB
【分析】利用分步計數(shù)原理及排列知識逐項分析即得.
【詳解】對于A，每名專家有5種選擇方法，則所有可能安排方法有種，A正確；
對于B，由選項A知，所有可能的方法有種，A 醫(yī)院沒有專家去的方法有種，
所以A 醫(yī)院必須有專家去的不同的安排方法有種，B正確；
對于C，專家甲必須去A 醫(yī)院，則專家乙、丙的安排方法有種，C錯誤；
對于D，三名專家所選醫(yī)院各不相同的安排方法有種，D錯誤．
故選：AB.
11. 已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A. 當時，有唯一零點
B. 當時，是減函數(shù)
C. 若只有一個極值點，則或
D. 當時，對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得
【正確答案】ABD
【分析】對于A：求導(dǎo)，確定單調(diào)性，然后利用零點存在定理判斷；對于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；對于C：直接驗證時的極值情況；對于D：求導(dǎo)，作出的圖象，觀察圖象可得.
【詳解】對于A：當時，，令，得，
令，得，即在上單調(diào)遞增，
又，，由零點存在定理可得在上有唯一零點，即有唯一零點，A正確；
對于B：，
令，得，
設(shè)，則，
當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，
所以，又當時,，所以恒成立，即當時，是減函數(shù)，B正確；
對于C：當時，由B知，即，所以，即在上單調(diào)遞減，無極值，C 錯誤；
對于D：當時，，，
令，得，
令，則，
當，即時，單調(diào)遞增，
當，即時，單調(diào)遞減，
所以，
即恒成立，
所以單調(diào)遞減，又，
所以，
所以在上單調(diào)遞減，
且當時，，當時，，
可得的大致圖象如下：
由圖可知對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，D正確；
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知定義在上的函數(shù)，則曲線在點處的切線方程是______．
【正確答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可得切線方程.
【詳解】令，得．對求導(dǎo)，得，
所以，故曲線在點處的切線方程為．
故答案為.
13. 甲、乙等6位同學(xué)去三個社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個社區(qū)安排2位同學(xué)，每位同學(xué)只去一個社區(qū)，則甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有__________.
【正確答案】18
【分析】按照分步計數(shù)原理并利用平均分組后再分配的計算方法求解可得.
【詳解】根據(jù)題意，安排6位同學(xué)到社區(qū)參加義務(wù)勞動可分成兩步：
第一步，將6位同學(xué)分成3組，要求甲、乙一組，其余4位同學(xué)平均分組，
則有種分組方法；
第二步，將分好的3組全排列，安排到三個不同的社區(qū)，有種情況；
則由分步計數(shù)原理可得，
甲、乙到同一社區(qū)的不同安排方案共有種不同的安排方法.
故18.
14. 設(shè)函數(shù)，若存在，使得在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍為________
【正確答案】
【分析】先結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性把原問題轉(zhuǎn)化為在上有兩解，構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的值域，利用導(dǎo)數(shù)可求.
【詳解】由題可得：，當時，，所以在上單調(diào)遞增，
若存在，使得在上的值域為，則，即在上有兩解，
令，，則，
當時，，當時，，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，

所以要使在上有兩解，則，
故
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 用五個數(shù)字，問：
（1）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位密碼？
（2）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？
（3）可以組成多少個十位數(shù)字比個位數(shù)字大的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？
【正確答案】（1）120 （2）96
（3）32
【分析】（1）直接全排列即可得答案；
（2）注意首位不能為0，從不為0的四個數(shù)選一個放在首位，再從剩下的四個數(shù)選三個數(shù)全排列即可得答案；
（3）分0在個位、在個位、4在個位三種情況進行討論，再由分類加法計數(shù)原理求解可得答案.
【小問1詳解】
從5個數(shù)字任取4個進行全排列，故有個；
【小問2詳解】
首位不能為0，則有個；
【小問3詳解】
由題意，是偶數(shù)個位數(shù)必須是.
分3種情況討論：
①0在個位，十位必須比0大，千位數(shù)字不能是0且不能與個位和十位數(shù)字重復(fù)，百位數(shù)字在剩下的數(shù)字選一個，所以共有；
②在個位，十位數(shù)字必須比2大，千位數(shù)不能是0且不能與個位和十位數(shù)字重復(fù)，百位剩下2個里面選一個.有種選法；
③4在個位，里面沒有比4大的數(shù)字，不存在這種可能.則共有種情況.
16. 某班級在迎新春活動中進行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“?！薄坝薄按骸笨ǜ鲀蓮垼褒垺笨ㄈ龔垼總€學(xué)生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，則額外獲得2分．
（1）求學(xué)生甲抽到“福”“龍”“迎”“春”4張卡片的不同的抽法種數(shù)；
（2）求學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識求得正確答案.
（2）根據(jù)分的組合情況進行分類討論，由此求得正確答案.
【小問1詳解】
學(xué)生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.
【小問2詳解】
學(xué)生乙最終獲得分，有兩種情況：
①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.
②，抽到抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ椒〝?shù)有種.
所以學(xué)生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.
17. 已知函數(shù)．
（1）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在上的最大值、最小值．
【正確答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）最大值，最小值為.
【分析】（1）求解導(dǎo)函數(shù)，求出與的解集，從而得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）列出，，的變化情況表，得函數(shù)的極大值與極小值，再計算端點值，從而可得上的最值.
【小問1詳解】
由題意，函數(shù)的定義域為，，得或，當時，或；當時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由（1）知，，，的變化情況如下表：
所以函數(shù)的極大值為，極小值為，又，所以函數(shù)在上的最大值為，最小值為.
18. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求正實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，并討論、研究的符號，進而判斷的單調(diào)性；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造中間函數(shù)，只需求時的范圍即可.
【詳解】（1）且，
∴時，即單調(diào)遞增；
時，有，即在上單調(diào)遞增；有，即在上單調(diào)遞減；
綜上，時在上單調(diào)遞增；時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）由題設(shè)，，即恒成立，
令，則，
∴由（1）知：時有極小值也是最小值，故只需即可.
若，則，即在上遞減，又，
∴時，，即恒成立
∴正實數(shù)的范圍為.
關(guān)鍵點點睛：第二問，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，并構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，進而求參數(shù)a的范圍.
19. 已知函數(shù)在處取得極值
（1）求實數(shù)的值
（2）求證：
（3）證明：對于任意的正整數(shù)，不等式都成立.
【正確答案】（1）1 （2）證明見解析
（3）證明見解析
【分析】(1)利用建立方程求解即可；
(2)利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，找到最大值點，求值即可；
(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，得到，令，則有，
利用此不等式即可證明.
【小問1詳解】
由題知，，
為的極值點，

【小問2詳解】
由（1）知，，定義域為,
則，
令得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
故恒成立.
【小問3詳解】
因為，可化為，此不等式恒成立，
令，則有，
即，
，
即
即.
極大值
極小值

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