高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題10.2 隨機(jī)事件與概率（重難點(diǎn)題型檢測）（教師版）

這是一份高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)專題練習(xí) 專題10.2 隨機(jī)事件與概率（重難點(diǎn)題型檢測）（教師版），共13頁。試卷主要包含了有下列說法等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）
1．（3分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）連續(xù)擲一顆篩子兩次，以下是必然事件的是（ ）
A．點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)B．至少出現(xiàn)一次點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)
C．點(diǎn)數(shù)和不小于2D．點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)
【解題思路】根據(jù)必然事件的定義對選項(xiàng)一一分析即可.
【解答過程】連續(xù)擲一顆篩子兩次，兩次事件相互獨(dú)立，各自的可能都為1,2,3,4,5,6，
對于A：若兩次點(diǎn)數(shù)分別為1，2，則和為奇數(shù)，故A錯(cuò)誤；
對于B：若兩次點(diǎn)數(shù)分別為1，3，則都為奇數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對于C：兩次點(diǎn)數(shù)最小都為1，則和不小于2，故C正確；
對于D：若兩次點(diǎn)數(shù)分別為1，3，則和為偶數(shù)，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
2．（3分）（2022春·天津河西·高一期末）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號為1和2），2個(gè)綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則該試驗(yàn)的樣本空間所包含的基本事件的個(gè)數(shù)為（ ）
A．6B．9C．12D．16
【解題思路】樣本數(shù)量少，可以通過列舉法.
【解答過程】解：由題意，該試驗(yàn)的樣本空間所包含的基本事件有：
1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4共6個(gè)，
故選：A．
3．（3分）（2022·全國·高一專題練習(xí)）有下列說法：
（1）某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點(diǎn)，他認(rèn)為這枚骰子的質(zhì)地是均勻的．
（2）某地氣象局預(yù)報(bào)，明天本地下雨概率為70%，由此認(rèn)為明天本地有70%的區(qū)域下雨，30%的區(qū)域不下雨．
（3）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是14．
（4）圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，認(rèn)為一定有一次會(huì)摸到黑子．其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．2C．3D．1
【解題思路】某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是一樣，這枚骰子的質(zhì)地可能是不均勻的；天氣預(yù)報(bào)中下雨的概率是指要下雨的把握有多大；根據(jù)事件的隨機(jī)性，圍棋盒里棋子有放回抽樣，不一定有一次會(huì)摸到黑子.
【解答過程】由題意得：某人連續(xù)12次投擲一枚骰子，結(jié)果都是出現(xiàn)6點(diǎn)，這枚骰子的質(zhì)地可能是不均勻的，故（1）不正確；
某地氣象局預(yù)報(bào)，明天本地下雨概率為70%，是指要下雨的把握有多大，故（2）不正確；
拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，都出現(xiàn)反面的概率是14．根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率知（3）正確；
圍棋盒里放有同樣大小的9枚白棋子和1枚黑棋子，每次從中隨機(jī)摸出1枚棋子后再放回，一共摸10次，不一定有一次會(huì)摸到黑子．（4）不正確．
綜上可知，有1個(gè)說法是正確的，
故選：D．
4．（3分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A和B，其中n(Ω)=12，n(A)=6，n(B)=4，n(A∪B)=8，那么下列事件概率錯(cuò)誤的是（ ）
A．P(AB)=16B．P(A∪B)=23
C．P(AB)=16D．P(AB)=23
【解題思路】運(yùn)用古典概型概率計(jì)算公式分別計(jì)算出相應(yīng)事件的概率即可作出判斷.
【解答過程】對于選項(xiàng)A：n(AB)=n(A)+n(B)-n(A∪B)=6+4-8=2，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=212=16，故A正確；
對于選項(xiàng)B：P(A∪B)=n(A∪B)n(Ω)=812=23，故B正確；
對于選項(xiàng)C：n(AB)=n(B)-n(AB)=4-2=2，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=212=16，故C正確；
對于選項(xiàng)D：n(AB)=n(Ω)-n(A∪B)=12-8=4，所以P(AB)=n(AB)n(Ω)=412=13，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
5．（3分）（2023·全國·高一專題練習(xí)）為防控新冠疫情，很多公共場所要求進(jìn)入的人必須佩戴口罩．現(xiàn)有人在一次外出時(shí)需要從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色各1只的口罩中隨機(jī)選3只不同顏色的口罩，則藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的概率為（ ）
A．310B．57C．35D．23
【解題思路】先列舉基本事件，再利用古典概型的概率公式求解.
【解答過程】從藍(lán)、白、紅、黑、綠5種顏色的口罩中選3只不同顏色的口罩，基本事件列舉如下：
（藍(lán)白紅），（藍(lán)白黑），（藍(lán)白綠），（藍(lán)紅黑），（藍(lán)紅綠），（藍(lán)黑綠），（白紅黑），（白紅綠），（白黑綠），（紅黑綠），共有10個(gè)基本事件，
其中藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的基本事件有（藍(lán)白紅），（藍(lán)白黑），（藍(lán)白綠），共含3個(gè)基本事件，
所以藍(lán)、白口罩同時(shí)被選中的概率為310．
故選：A.
6．（3分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ai=“向上的點(diǎn)數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6，B=“向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說法正確的是（ ）
A．A1?BB．A2+B=ΩC．A3與B互斥D．A4與B對立
【解題思路】對于選項(xiàng)中的事件，分別寫出對應(yīng)的基本事件構(gòu)成的集合，依次分析，即可
【解答過程】對于A，A1=2,3,4,5,6，B=2,4,6，∴A1?B，故A錯(cuò)誤；
對于B，A2+B=2∪2,4,6=2,4,6≠Ω，故B錯(cuò)誤；
對于C，A3與B不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確；
對于D，A4=4，B=1,3,5，A4與B是互斥但不對立事件，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
7．（3分）（2022秋·北京豐臺(tái)·高二期中）在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，其中3個(gè)事件A1,A2,A3的概率分別為0.2，0.3，0.5，則下列說法中正確的是（ ）
A．A1+A2與A3是互斥事件，也是對立事件B．A1+A2+A3是必然事件
C．P(A2∪A3)=0.8D．P(A1+A2)≤0.5
【解題思路】結(jié)合已知條件可知，事件A1,A2,A3不一定是互斥事件，然后逐項(xiàng)求解即可.
【解答過程】由已知條件可知，一次隨機(jī)試驗(yàn)中產(chǎn)生的事件可能不止事件A1,A2,A3這三個(gè)事件，
故P(A1∪A2∪A3)≤P(A1)+P(A2)+P(A3)=1，從而AB錯(cuò)誤；
P(A2∪A3)≤P(A2)+P(A3)=0.8，故C錯(cuò)誤；
P(A1+A2)≤P(A1)+P(A2)=0.5，故D正確.
故選：D.
8．（3分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩人對同一個(gè)靶各射擊一次，設(shè)事件A=“甲擊中靶”，事件B=“乙擊中靶”，事件E=“靶未被擊中”，事件F=“靶被擊中”，事件G=“恰一人擊中靶”，對下列關(guān)系式（A表示A的對立事件，B表示B的對立事件）：①E=AB，②F=AB，③F=A+B，④G=A+B，⑤G=AB+AB，⑥PF=1-PE，⑦PF=PA+PB．其中正確的關(guān)系式的個(gè)數(shù)是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解題思路】根據(jù)事件關(guān)系，靶為被擊中即甲乙均未擊中；靶被擊中即至少一人擊中，分為恰有一人擊中或兩人都擊中，依次判定即可.
【解答過程】由題可得：①E=AB，正確；②事件F=“靶被擊中”，AB表示甲乙同時(shí)擊中，F(xiàn)=AB+AB+AB，所以②錯(cuò)誤；
③F=A+B，正確，④A+B表示靶被擊中，所以④錯(cuò)誤；⑤G=AB+AB，正確；⑥E,F互為對立事件，P(F)=1-P(E)，正確；⑦P(F)=P(A)+P(B)-P(AB)，所以⑦不正確．
正確的是①③⑤⑥．
故選：B.
二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
9．（4分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）在10名學(xué)生中，男生有x人．現(xiàn)從這10名學(xué)生中任選6人去參加某項(xiàng)活動(dòng)，有下列事件：①至少有一個(gè)女生；②5個(gè)男生，1個(gè)女生；③3個(gè)男生，3個(gè)女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機(jī)事件，則x的值可能為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解題思路】由不可能事件、必然事件和隨機(jī)事件的概念可確定x的范圍，進(jìn)而得到結(jié)果.
【解答過程】若②為不可能事件，則男生人數(shù)少于5，則同時(shí)可保證①為必然事件；
若③為隨機(jī)事件，則男生人數(shù)不少于3；∴x=3或x=4.
故選：BC.
10．（4分）（2022春·高一課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，設(shè)A表示一個(gè)隨機(jī)事件，A表示A的對立事件.以下結(jié)論正確的是（ ）
A．P(A)=P(A)B．P(A+A)=1C．若P(A)=1，則P(A)=0D．P(AA)=0
【解題思路】根據(jù)對立事件及其概率關(guān)系A(chǔ)+A=Ω，即P(A+A)=P(Ω)=1，進(jìn)行判別.
【解答過程】選項(xiàng)A，由對立事件的性質(zhì)P(A)+P(A)=1, P(A)=P(A)不一定正確；
由對立事件的概念得A+A=Ω，即P(A+A)=P(Ω)=1，B正確；
由對立事件的性質(zhì)P(A)+P(A)=1知，P(A)=1-P(A)，故若P(A)=1，則P(A)=0，C正確；
由對立事件的概念得AA=?，即P(A,A)=P(?)=0，D正確.
故選：BCD.
11．（4分）（2022春·吉林長春·高一期末）一個(gè)盒子中裝有5支圓珠筆，其中3支一等品，2支二等品，大小質(zhì)地完全相同，若從中隨機(jī)取出3支，則與事件“取出1支一等品和2支二等品”互斥的事件有 （ ）
A．取出的3支筆中，至少2支一等品B．取出的3支筆中，至多1支二等品
C．取出的3支筆中，既有一等品也有二等品D．取出的3支筆中，沒有二等品
【解題思路】根據(jù)互斥事件的定義逐項(xiàng)檢驗(yàn)即可求解
【解答過程】對于A，事件“取出的3支筆中，至少2支一等品”包括2支一等品和1支二等品，3支一等品兩種結(jié)果，與事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，故A正確；
對于B，事件“取出的3支筆中，至多1支二等品”包括2支一等品和1支二等品，3支一等品兩種結(jié)果，與事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，故B正確；
對于C，事件“取出的3支筆中，既有一等品也有二等品”包括1支一等品和2支二等品，2支一等品和1支二等品兩種結(jié)果，與事件“取出1支一等品和2支二等品”可能同時(shí)發(fā)生，它們不是互斥事件，故C不正確；
對于D，事件“取出的3支筆中，沒有二等品”指3支一等品，與事件“取出1支一等品和2支二等品”不能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，故D正確；
故選：ABD.
12．（4分）（2022秋·遼寧沈陽·高一期末）某次智力競賽的一道多項(xiàng)選擇題，要求是：“在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，全部選對的得10分，部分選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分.”已知某選擇題的正確答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都不會(huì)做，下列表述正確的是（ ）
A．甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，能得5分的概率是12
B．乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，能得10分的概率是16
C．丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)，能得分的概率是15
D．丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，能得分的概率是110
【解題思路】對各項(xiàng)中的隨機(jī)事件，計(jì)算出基本事件的總數(shù)和隨機(jī)事件中含有的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出相應(yīng)的概率后可得正確的選項(xiàng).
【解答過程】甲同學(xué)僅隨機(jī)選一個(gè)選項(xiàng)，共有4個(gè)基本事件，分別為A,B,C,D，
隨機(jī)事件“若能得5分”中有基本事件C,D，故“能得5分”的概率為12，故A正確；
乙同學(xué)僅隨機(jī)選兩個(gè)選項(xiàng)，共有6個(gè)基本事件，
分別為：A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D，
隨機(jī)事件“能得10分”中有基本事件C,D，故“能得10分”的概率為16，故B正確；
丙同學(xué)隨機(jī)選擇選項(xiàng)（丙至少選擇一項(xiàng)），
由A、B中的分析可知共有基本事件15種，分別為：
選擇一項(xiàng)：A,B,C,D；
選擇兩項(xiàng)：A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D；
選擇三項(xiàng)或全選：A,B,C,A,B,D,A,C,D,B,C,D，A,B,C,D，
隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件C,D,C,D，
故“能得分”的概率為315=15，故C正確；
丁同學(xué)隨機(jī)至少選擇兩個(gè)選項(xiàng)，由C的分析可知：共有基本事件11個(gè)，
隨機(jī)事件“能得分”中有基本事件C,D，故“能得分”的概率為111，故D錯(cuò)；
故選：ABC.
三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）
13．（4分）（2023·高一課時(shí)練習(xí)）從裝有標(biāo)號為1、2、3、4的四個(gè)球的袋子中任取兩球，觀察取出兩個(gè)球的標(biāo)號和，則此隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間是 3,4,5,6,7 .
【解題思路】根據(jù)題意列舉出任取兩球的結(jié)果，從而得到兩個(gè)球的標(biāo)號和，進(jìn)而得解.
【解答過程】因?yàn)閺难b有標(biāo)號為1、2、3、4的四個(gè)球的袋子中任取兩球的結(jié)果有1,2,1,3,1,42,32,43,4六種，
所以取出兩個(gè)球的標(biāo)號和的結(jié)果為3,4,5,5,6,7，
所以該隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間是3,4,5,6,7.
故答案為：3,4,5,6,7.
14．（4分）（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知事件A、B互斥，PA∪B=35，且PA=2PB，則PB=
45 .
【解題思路】由已知事件A、B互斥，且PA=2PB，可求PB，
進(jìn)而根據(jù)對立事件概率公式得到答案.
【解答過程】解：∵事件A、B互斥，且PA=2PB，
∵ PA∪B=PA+PB=3PB=35
∴解得PB=15,
∴PB=1-PB=1-15=45.
故答案為：45.
15．（4分）（2022秋·四川成都·高二期末）在拋擲一顆骰子（一種正方體玩具，六個(gè)面分別標(biāo)有 1,2,3,4,5,6 字樣）的試驗(yàn)中，事件A表示 “不大于 3 的奇數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件 B 表示 “小于 4 的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件A+B 的概率為 56 ．
【解題思路】根據(jù)給定條件利用古典概率公式求出事件A和B的概率即可計(jì)算作答.
【解答過程】依題意，拋擲一顆骰子的試驗(yàn)有6個(gè)不同的結(jié)果，它們等可能，其中事件A有2個(gè)結(jié)果，事件B有3結(jié)果，
于是有P(A)=26=13，P(B)=36=12，而事件A和B是互斥的，則P(A+B)=P(A)+P(B)=56，
所以事件A+B 的概率為56.
故答案為：56.
16．（4分）（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）第14屆國際數(shù)學(xué)教有大會(huì)（ICME-14）于2021年7月12日至18日在上海舉辦，已知張老師和李老師都在7天中隨機(jī)選擇了連續(xù)的3天參會(huì)，則兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率為 625 .
【解題思路】先確定隨機(jī)試驗(yàn)張老師和李老師各在7天中隨機(jī)選擇了連續(xù)的3天參會(huì)的基本事件數(shù)，再確定事件兩位老師所選的日期恰好都不相同所包含的基本事件數(shù)，由古典概型概率公式求事件兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率.
【解答過程】因?yàn)閺埨蠋熢?天中隨機(jī)選擇連續(xù)的3天參會(huì)共有5種選法，即12,13,14，13,14,15，14,15,16，15,16,17，16,17,18，所以隨機(jī)試驗(yàn)張老師和李老師各在7天中隨機(jī)選擇連續(xù)的3天參會(huì)的基本事件數(shù)為25，其中兩位老師所選的日期恰好都不相同選法有：張老師選12,13,14，李老師選15,16,17或16,17,18，張老師選13,14,15，李老師選16,17,18，張老師選15,16,17，李老師選12,13,14，張老師選16,17,18，李老師選12,13,14或13,14,15，即事件兩位老師所選的日期恰好都不相同包含6個(gè)基本事件，所以事件兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率P=625.
故答案為：625.
四．解答題（共6小題，滿分44分）
17．（6分）（2022·高一單元測試）從含有5件次品的100件產(chǎn)品中任取3件，觀察其中的次品數(shù)．
(1)選擇合適的表示方法寫出樣本空間；
(2)記事件A：“取到的3件產(chǎn)品中沒有次品”，寫出A包含的樣本點(diǎn)；
(3)說明事件B=0,1所表示的實(shí)際意義．
【解題思路】（1）用0，1，2，3表示抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，進(jìn)而得到樣本空間；
（2）依據(jù)用0，1，2，3表示抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，進(jìn)而寫出A包含的樣本點(diǎn)；
（3）依據(jù)用0，1，2，3表示抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，進(jìn)而得到事件B=0,1所表示的實(shí)際意義．
【解答過程】（1）
用0，1，2，3表示抽取的3件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，則有樣本空間Ω={0,1,2,3}．
（2）
事件A中包含的樣本點(diǎn)為0．
（3）
B={0,1}表示的實(shí)際意義是抽取的3件產(chǎn)品中沒有次品或只有一件次品．
18．（6分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機(jī)事件．
(1)如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a+b=b+a；
(2)從分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽；
(3)某人投籃5次，投中6次；
(4)某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少15次呼叫；
(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時(shí)沸騰．
【解題思路】由題意結(jié)合必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的定義，即可作出判斷.
【解答過程】（1）
如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a+b=b+a,是必然事件；
（2）
從分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼赡艿玫?號簽，也可能是其它號簽，故為隨機(jī)事件；
（3）
某人投籃5次，投中6次，是不可能事件；
（4）
某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少15次呼叫，是隨機(jī)事件；
（5）
在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50℃時(shí)是不可能沸騰的，故為不可能事件.
19．（8分）（2022·高二課時(shí)練習(xí)）把標(biāo)號為1、2、3、4的四張卡片分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人一張．設(shè)A：甲分得1號卡片；B：乙分得1號卡片．
(1)求A∩B、A∪B；
(2)A與B是否為互斥事件？是否為對立事件？若不是對立事件，分別寫出A與B的對立事件．
【解題思路】（1）根據(jù)A∩B、A∪B直接理解判斷即可;
（2）由互斥事件和對立事件的概念即可判斷.
【解答過程】(1)
根據(jù)題意，事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，所以A∩B是不可能事件，即A∩B=?；
A∪B={甲分得1號卡，乙分得1號卡}；
(2)
由（1）可知事件A和事件B不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A和事件B是互斥事件，又因?yàn)槭录嗀和事件B可以都不發(fā)生，如甲分得2號卡片，同時(shí)乙分得3號卡片，所以事件A和事件B不是對立事件，事件A的對立事件A 為“甲未分得1號卡片”， 事件B的對立事件B 為“乙未分得1號卡片”.
20．（8分）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知n是一個(gè)三位正整數(shù)，若n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如135，256，345等）．現(xiàn)要從甲、乙兩名同學(xué)中選出人參加某市組織的數(shù)學(xué)競賽，選取的規(guī)則如下：從由1，2，3，4，5，6組成的所有“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，若抽取的“三位遞增數(shù)”是偶數(shù)，則甲參加數(shù)學(xué)競賽；否則，乙參加數(shù)學(xué)競賽．
(1)由1，2，3，4，5，6可組成多少個(gè)“三位遞增數(shù)”？分別用樹狀圖法和列舉法解答．
(2)這種選取規(guī)則對甲、乙兩名同學(xué)公平嗎？請說明理由．
【解題思路】(1)根據(jù)樹狀圖法、列舉法的求解過程分別求解即可；
(2)分別計(jì)算事件A、B的概率，進(jìn)行比較，即可得解.
【解答過程】（1）樹狀圖法：畫出樹狀圖，如圖所示：
從上面的樹狀圖，知由1，2，3，4，5，6可組成20個(gè)“三位遞增數(shù)”；
列舉法：由題意，知由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”分別是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，
共20個(gè)，故由1，2，3，4，5，6可組成20個(gè)“三位遞增數(shù)”．
（2）不公平．理由如下：
由（1），知由1，2，3，4，5，6組成的“三位遞增數(shù)”有20個(gè)，記“甲參加數(shù)學(xué)競賽”為事件A，事件A包含的樣本點(diǎn)有124，126，134，136，146，156，234，236，246，256，346，356，456，共13個(gè)．
所以PA=1320．
記“乙參加數(shù)學(xué)競賽”為事件B，則事件B包含的樣本點(diǎn)有123，125，135，145，235，245，345，共7個(gè)．
所以PB=720．因?yàn)镻A>PB，
所以該選取規(guī)則對甲、乙兩名同學(xué)不公平．
21．（8分）（2022·高一單元測試）某服務(wù)電話，打進(jìn)的電話響第1聲時(shí)被接的概率是0.1；響第2聲時(shí)被接的概率是0.2；響第3聲時(shí)被接的概率是0.3；響第4聲時(shí)被接的概率是0.35.
（1）打進(jìn)的電話在響5聲之前被接的概率是多少？
（2）打進(jìn)的電話響4聲而不被接的概率是多少？
【解題思路】（1）利用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率加法公式求得結(jié)果；
（2）利用對立事件的概率公式進(jìn)行求解即可得結(jié)果.
【解答過程】（1）設(shè)事件“電話響第k聲時(shí)被接”為Ak(k∈N)，
那么事件Ak彼此互斥，設(shè)“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”為事件A，
根據(jù)互斥事件概率加法公式，
得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)
=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)
=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
（2）事件“打進(jìn)的電話響4聲而不被接”是事件A“打進(jìn)的電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為A.
根據(jù)對立事件的概率公式，得P(A)=1-P(A)=1-0.95=0.05.
22．（8分）（2022秋·北京豐臺(tái)·高二期中）某校舉辦“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)用分層隨機(jī)抽樣的方法從[80,90)，[90,100]兩個(gè)區(qū)間共抽取出5名學(xué)生，則每個(gè)區(qū)間分別應(yīng)抽取多少人；
(2)在（1）的條件下，該校決定在這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[90,100]的概率；
(3)現(xiàn)需根據(jù)學(xué)生成績制定評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，評定成績較高的前60%的學(xué)生為良好，請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)良好的最低分?jǐn)?shù)線.（精確到1）
【解題思路】（1）先由頻率分布直方圖的頻率求法求得[80,90)，[90,100]兩個(gè)區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)，按照分層抽樣的方法即可求得結(jié)果；
（2）利用列舉法及古典概型的概率公式即可求得所求概率；
（3）根據(jù)題意，利用頻率分布直方圖的面積即頻率，可求得使后段區(qū)間頻率為0.6時(shí)的區(qū)間左端點(diǎn)，即所求最低分?jǐn)?shù)線.
【解答過程】（1）依題意，設(shè)區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽x人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽y人，得
成績在[80,90)區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：0.045×10×100=45；
成績在[90,100]區(qū)間樣本中的學(xué)生人數(shù)為：0.03×10×100=30；
所以545+30=x45=y30，解得x=3,y=2，
所以區(qū)間[80,90)中應(yīng)抽3人，區(qū)間[90,100]中應(yīng)抽2人.
（2）由（1）得，不妨記區(qū)間[80,90)中3人為a,b,c，區(qū)間[90,100]中2人為m,n，
則從中抽取2名學(xué)生（注意分先后）的基本事件為ab,ac,am,an,ba,bc,bm,bn,ca,cb,cm,cn,ma,mb,mc,mn,na,nb,nc,nm共20件，
其中第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[90,100]（記為事件A）的基本事件為am,an,bm,bn,cm,cn,mn,nm共8件，
故PA=820=25，即第二個(gè)交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[90,100]的概率為25.
（3）由頻率分布直方圖易得，90,100的頻率為0.03×10=0.3，80,100的頻率為0.045×10+0.3=0.75，
所以成績良好的最低分?jǐn)?shù)線落在區(qū)間[80,90)中，不妨記為x0，
故90-x0×0.045+0.3=0.6，解得x0=83.333≈83，
所以成績良好的最低分?jǐn)?shù)線為83.