1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平
面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.
(2)平面的畫法
①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.
②當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖(2)所
示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對(duì)的兩個(gè)頂
點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的符號(hào)表示
點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號(hào)語言來表示，點(diǎn)為元素，直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的
集合.點(diǎn)與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號(hào)“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號(hào)“”“”表示.點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號(hào)表示舉例如下：

3．三個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論
(1)三個(gè)基本事實(shí)及其表示
(2)三個(gè)基本事實(shí)的作用
基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.
基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.
基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).
(2)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論
4．空間中直線與直線的位置關(guān)系
(1)三種位置關(guān)系
我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：
(2)異面直線的畫法
為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.
5．空間中直線與平面的位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：
6．空間中平面與平面的位置關(guān)系
(1)兩種位置關(guān)系
兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：
(2)兩種位置關(guān)系
平行平面的畫法技巧
畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.
7．平面分空間問題
一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢?
(1)兩個(gè)平面有兩種情形：
①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；
②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).
(2)三個(gè)平面有五種情形：
①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；
②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；
③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)；
④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；
⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).
【題型1 平面的基本性質(zhì)及推論】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論，結(jié)合題目條件，進(jìn)行求解即可.
【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）
①四邊相等的四邊形為菱形；
②若四邊形有兩個(gè)對(duì)角都為直角，則這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形；
③“平面不經(jīng)過直線”的等價(jià)說法是“直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)”；
④若兩個(gè)平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點(diǎn)都在這條公共直線上．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解題思路】根據(jù)空間四邊形可判斷①②錯(cuò)誤，有平面的基本性質(zhì)可判斷③④正確.
【解答過程】由空間四邊形可判斷①②錯(cuò)誤.
“平面不經(jīng)過直線”即直線與平面相交或者平行，所以③正確.
由平面的基本性質(zhì)，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,可判斷④正確.
故選：B.
【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（ ）
A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M
【解題思路】利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系證得MC?γ與MC?β，從而得到β∩γ=MC，據(jù)此解答即可.
【解答過程】對(duì)于AB，易得A,B?β，故必不在γ與β的交線上，故AB錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，因?yàn)檫^A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ，所以面ABC與γ是同一個(gè)面，
因?yàn)橹本€AB∩l=M，所以M∈AB?面ABC，則M∈γ，
又C∈面ABC，則C∈γ，所以MC?γ；
因?yàn)锳B∩l=M，α∩β=l，所以M∈l?β，又C∈β，所以MC?β，
所以β∩γ=MC，
所以γ與β的交線必通過點(diǎn)C和點(diǎn)M，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D．
【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α、β為平面，A、B、M、N為點(diǎn)，a為直線，下列推理中錯(cuò)誤的是（ ）
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，則a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，則直線MN?α，直線MN?β
C．A∈α，A∈β，則α∩β=A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線，則α、β重合
【解題思路】利用基本事實(shí)2可判斷AB選項(xiàng)；利用基本事實(shí)3可判斷C選項(xiàng)；利用基本事實(shí)1可判斷D選項(xiàng).
【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事實(shí)2可知a?β，A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，M∈α，N∈α，則直線MN?α，同理可知，直線MN?β，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，A∈α，A∈β，則A為平面α、β的一個(gè)公共點(diǎn)，
但平面α、β相交于過點(diǎn)A的一條直線，而不是點(diǎn)A，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，A、B、M∈α，且A、B、M不共線，則A、B、M可確定平面α，
同理可知，A、B、M可確定平面β，故α、β重合，D對(duì).
故選：C.
【變式1-3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）下列命題中
①空間中三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.
②直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面.
③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.
④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.
⑤如果兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.
真命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【解題思路】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.
【解答過程】命題①：空間中不共線三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤；
命題②：直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面，正確；
命題③：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無法確定一個(gè)平面，所以命題③錯(cuò)誤；
命題④：如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線不能確定一個(gè)平面，所以命題④錯(cuò)誤；
命題⑤：兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則兩平面可能相交，所以命題⑤錯(cuò)誤；
故選：A.
【題型2 點(diǎn)共線、點(diǎn)線共面問題】
【方法點(diǎn)撥】
證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實(shí)3.
證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論，常用的方法有：
(1)輔助平面法，先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面，再證明其余點(diǎn)、線確定平面，最后證明平面,重合；
(2)納入平面法，先由條件確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi).
【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)．
(1)證明：E、F、D、B四點(diǎn)共面；
(2)對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC,BD交于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)C1,O,M共線；
(3)證明：BE、DF、CC1三線共點(diǎn)．
【解題思路】（1）證明EF//BD，即可說明E、F、D、B四點(diǎn)共面.
（2）先證明點(diǎn)O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即點(diǎn)O在面AA1C1C與面BDC1的交線上在證明面AA1C1C ∩面BDC1 =C1M，即點(diǎn)O∈ C1M，即可得到答案.
（3）延長(zhǎng)DF,BE交于G,由于面DCG ∩面BCG =CC1，則G在交線CC1上.
【解答過程】（1）連接EF,BD,B1D1，
∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，
∴B1D1//BD，
∵ E、F分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn)，
∴EF//B1D1，
∴EF//BD，
∴ E、F、D、B四點(diǎn)共面；
（2）∵AA1//CC1，
∴A,A1,C,C1確定一個(gè)平面AA1C1C，
O∈A1C,A1C?面AA1C1C，
∴O∈面AA1C1C，
∵對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，
∴O∈面BDC1，
O在面AA1C1C與面BDC1的交線上，
∵AC∩BD=M，
∴M∈面AA1C1C且M∈面BDC1，
∴面AA1C1C ∩面BDC1 =C1M，
∴O∈ C1M，
即點(diǎn)C1,O,M共線.
（3）延長(zhǎng)DF,BE交于G，
∵DG?面DCG，
∴G∈DG，
∴G∈面DCG，
∵BE?面BCG，
∴G∈BE，
∴G∈面BCG，
∵面DCG ∩面BCG =CC1，
∴G∈CC1，
∴ BE、DF、CC1三線共點(diǎn).
【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.
(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線.
【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，可得EF∥BD以及GH∥BD，所以EF∥GH，進(jìn)而得出四點(diǎn)共面；
（2）因?yàn)锳C是平面ABC和平面ACD的交線，只需證明P點(diǎn)是平面ABC和平面ACD的交點(diǎn)，即可證得P∈AC，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線.
【解答過程】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.
在△BCD中，因?yàn)锽GGC=DHHC=12，所以CGCB=CHCD=23，所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
（2）因?yàn)镋G∩FH=P，所以P∈EG.
由已知可得，E∈AB，G∈BC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，
所以EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.
同理P∈FH，F(xiàn)H?平面ADC，P∈平面ADC.
所以P為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn).
又平面ABC∩平面ADC =AC，所以P∈AC，
所以P，A，C三點(diǎn)共線.
【變式2-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．
(1)求證：CE，D1F，DA三線交于點(diǎn)P；
(2)在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，H三點(diǎn)共線．
【解題思路】（1）連接A1B，CD1，可得到EF//CD1且EF≠CD1，則EC與D1F相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則能得到P∈平面ABCD，P∈平面ADD1A1，結(jié)合平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，即可得證；
（2）可證明P，E，H都在平面PCD1與平面ABCD的交線上，即可得證
【解答過程】（1）
證明：連接A1B，CD1，EF
正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，
∴EF//A1B且EF≠A1B，
∵CD1//A1B且CD1=A1B，
∴EF//CD1且EF≠CD1，
∴EC與D1F相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
∵P∈EC，EC?平面ABCD，∴P∈平面ABCD；
又∵P∈FD1，F(xiàn)D1?平面ADD1A1，∴P∈平面ADD1A1，
∴P為兩平面的公共點(diǎn)，
∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，∴P∈AD，
∴CE、D1F、DA三線交于點(diǎn)P；
（2）
在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點(diǎn)，F(xiàn)G交平面ABCD于點(diǎn)H，
則FH?平面PCD1，∴H∈平面PCD1，又H∈平面ABCD，
∴H∈平面PCD1∩平面ABCD，
同理，P∈平面PCD1∩平面ABCD，
E∈平面PCD1∩平面ABCD，
∴P，E，H都在平面PCD1與平面ABCD的交線上，
∴P，E，H三點(diǎn)共線．
【變式2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐A-BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，RQ，DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，RP，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K．判斷M，N，K三點(diǎn)是否共線，并說明理由．
【解題思路】由點(diǎn)共面、面共線可得答案.
【解答過程】M，N，K三點(diǎn)共線．理由如下：
因?yàn)镸、N即在平面BCD內(nèi)又在平面PRQ內(nèi)，
所以M、N在平面BCD與平面PRQ的交線上，
所以MN是平面BCD與平面PRQ的交線，
N、K即在平面BCD內(nèi)又在平面NKR內(nèi)，
所以N、K在平面BCD與平面NKR的交線上，
所以NK是平面BCD與平面NKR的交線，
又平面NKR與平面PRQ是同一平面，
所以MN與NK是同一條直線，即M，N，K三點(diǎn)共線．
【題型3 直線與直線的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
1.定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面.
2.推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線.
3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，由此假設(shè)推出與
已知條件或某一基本事實(shí)、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步，推翻假設(shè)，從而證
明原結(jié)論是正確的.
【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習(xí)）設(shè)A、B、C、D是某長(zhǎng)方體四條棱的中點(diǎn)，則直線AB和直線CD的位置關(guān)系是（ ）.
A．相交B．平行C．異面D．無法確定
【解題思路】在長(zhǎng)方體中，延長(zhǎng)ME，DC，AB，即會(huì)得到直線AB和直線CD的位置關(guān)系.
【解答過程】
如圖，延長(zhǎng)ME使ME=EF，
因?yàn)锳，B，C，D為棱的中點(diǎn)，
所以延長(zhǎng)DC，AB都會(huì)交EF中點(diǎn)H處，所以直線AB和直線CD的位置關(guān)系為相交.
故選：A.
【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線l1，l2，l3滿足l1∥l2且l2⊥l3，則l1與l3（ ）
A．平行B．垂直C．共面D．異面
【解題思路】根據(jù)空間直線平行垂直的定義，結(jié)合等角定理進(jìn)行判定.
【解答過程】若l1∥l2且l2⊥l3，
根據(jù)空間直線垂直的定義，
可得l1⊥l3，不平行，有可能共面，也有可能異面.
故選：B.
【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，P是正方體ABCD-A1B1C1D1邊A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，下列哪條邊與邊BP始終異面（ ）
A．DD1B．ACC．AD1D．B1C
【解題思路】根據(jù)異面直線的知識(shí)確定正確答案.
【解答過程】P在邊A1C1上運(yùn)動(dòng)，則BP?平面A1BC1，
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到A1C1的中點(diǎn)P1時(shí)，BP與DD1相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
AC//A1C1，A,C,C1,A1四點(diǎn)共面，
BP∩平面ACC1A1=P，P?AC，所以BP與AC是異面直線，B選項(xiàng)正確.
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，BP//AD1,BP與B1C相交，所以CD選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,下列判斷不正確的是（ ）
A．BF∥DNB．CM∥BN
C．DF⊥BND．直線AE與DN的夾角為60°
【解題思路】將正方體進(jìn)行還原,再根據(jù)正方體中的平行垂直之間關(guān)系即可判斷選項(xiàng)的正誤.
【解答過程】解:由題知將正方體還原如圖所示,
由圖可知BF⊥DN,CM//BN,
故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確;
∵AE//DF,AE⊥BN,∴DF⊥BN,
故選項(xiàng)C正確;
連接AC,CE,∵DN//CE,且△ACE為等邊三角形,
∴∠AEC=60°,即直線AE與DN的夾角為60°,
故選項(xiàng)D正確.
故選:A.
【題型4 直線與平面的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據(jù)基本事實(shí)給出證明.另外，
借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.
【例4】（2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）如圖， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 直線BC與平面A1AC1的位置關(guān)系為（ ）
A．直線在平面內(nèi)B．直線與平面相交但不垂直
C．直線與平面相交且垂直D．直線與平面平行
【解題思路】根據(jù)正方體性質(zhì)判斷直線BC與面A1ACC1的位置關(guān)系即可.
【解答過程】由正方體的性質(zhì)知：面A1AC1即為面A1ACC1，而直線BC與面A1ACC1交于C，但不垂直.
故選：B.
【變式4-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若m//α,α//β，則m//β
B．若m⊥α,α⊥β，則m//β
C．若m//n,n//α，則m//α
D．若m⊥α,α//β，則m⊥β
【解題思路】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)鍵逐項(xiàng)判斷即可
【解答過程】解：對(duì)于A，若m//α,α//β，則m//β或m?β，故A不正確；
對(duì)于B，若m⊥α,α⊥β，則m//β或m?β，故B不正確；
對(duì)于C，若m//n,n//α，則m//α或m?α，故C不正確；
對(duì)于D，若m⊥α,α//β，則m⊥β，故D正確.
故選：D.
【變式4-2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（ ）．
A．如果l1 ∥ α，l2 ∥ α，則一定有l(wèi)1 ∥ l2．
B．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有l(wèi)1⊥α．
C．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有l(wèi)1 ∥ α．
D．如果l1⊥α，l2 ∥ α，則一定有l(wèi)1⊥l2．
【解題思路】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．
【解答過程】對(duì)于A，若l1 ∥ α，l2 ∥ α，則有l(wèi)1 ∥ l2或l1與l2相交或l1與l2異面，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B、C，如果l1⊥l2，l2⊥α，則有l(wèi)1 ∥ α或l1?α，故B、C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如果l1⊥α，則l1垂直α內(nèi)的所有直線，又l2 ∥ α，則過l2與α相交的平面交α于a，則l2 ∥ a，
∴l(xiāng)1⊥l2，故D正確．
故選：D ．
【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 點(diǎn)E，F(xiàn)分別為A1B1，BC的中點(diǎn)， 設(shè)過點(diǎn)E，F(xiàn)，D1的平面為α， 則下列說法正確的是（ ）
A．在正方體ABCD-A1B1C1D1中， 存在某條棱與平面α平行
B．在正方體ABCD-A1B1C1D1 中， 存在某條面對(duì)角線與平面α平行
C．在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中， 存在某條體對(duì)角線與平面α平行
D．平面α截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為五邊形
【解題思路】根據(jù)題意可得BC 交平面α于點(diǎn)F，A1B1 交平面α于點(diǎn)E，D1D 交平面α于點(diǎn)D1，
故不存在某條棱與平面α平行，即可以判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
由六個(gè)面的12條面對(duì)角線與平面α都相交，即可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
體對(duì)角線全部與面α相交，即可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
補(bǔ)全圖形可得平面α截正方體AC1所得的截面為五邊形D1EPFM，即可以判斷選項(xiàng)D正確.
【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，BC交平面α于點(diǎn)F，BC?平面α，
∴BC,AD,A1D1,B1C1都不與平面α平行，
A1B1交平面α于點(diǎn)E，A1B1?平面α，
∴A1B1,C1D1,AB,CD都不與平面α平行，
D1D交平面α于點(diǎn)D1，D1D?平面α，
∴D1D,A1A,B1B,C1C都不與平面α平行，
故A錯(cuò)誤；
觀察幾何體可知六個(gè)面的12條面對(duì)角線與平面α都相交，
故B錯(cuò)誤；
四條體對(duì)角線全部與面D1EPFM都相交，
故C錯(cuò)誤.
如下圖，取AB中點(diǎn)為G，易得D1E//DG，
取CD中點(diǎn)為H，連接BH，易得BH//DG，
再取CH中點(diǎn)為M，連接FM，則FM//BH，
∴FM//D1E，
∴FM是平面α與正方體底面ABCD的交線，
延長(zhǎng)MF，與AB的延長(zhǎng)線交于N，連接EN，交BB1于P，
則可得五邊形D1EPFM即為平面α交正方體ABCD-A1B1C1D1的截面，
故D正確；
故選：D.
【題型5 平面與平面的位置關(guān)系】
【方法點(diǎn)撥】
兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個(gè)平面
之間有沒有公共點(diǎn).解題時(shí)要善于將自然語言或符號(hào)語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，借助空間圖形進(jìn)行判斷.
【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）平面α上有三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等，則平面α與平面β的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行
【解題思路】根據(jù)面面關(guān)系結(jié)合圖形來分析判斷.
【解答過程】如圖1，若α ∥ β，則平面α上任一點(diǎn)到平面β距離相等，故平面α上一定存在三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等；
如圖2，若α與β相交，則平面α上一定存在位于異側(cè)的三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等；
故平面α與平面β的位置關(guān)系是相交或平行.
故選：D.
【變式5-1】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1與平面DCC1D1的位置關(guān)系是（ ）
A．相交B．平行
C．不確定D．異面
【解題思路】根據(jù)棱臺(tái)的定義即可得出結(jié)果.
【解答過程】解：如圖所示，由棱臺(tái)的定義可知，平面ABB1A1與平面DCC1D1一定相交.
故選：A.
【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（ ）
A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥βB．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥β
C．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥βD．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β
【解題思路】在A中，α與β相交或平行；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答過程】解：由l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，知：
在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故A錯(cuò)誤；
在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故B錯(cuò)誤；
在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；
在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
【變式5-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列三個(gè)命題：
①若平面α/平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ；
②若平面α/平面β，β/平面γ，則α//γ；
③若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ．
其中真命題的個(gè)數(shù)是．
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】由面面平行及面面垂直的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可
【解答過程】?jī)善叫衅矫嬷械囊粋€(gè)平面和一平面垂直，則另一平面也和這個(gè)平面垂直，①正確；
由平行平面的遞推性可知②正確；
若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ或α//γ，故③錯(cuò)誤；
故選B.
【題型6 平面分空間問題】
【方法點(diǎn)撥】
掌握平面分空間的幾種情況，根據(jù)題目條件，進(jìn)行求解即可.
【例6】（2022秋·上海浦東新·高二階段練習(xí)）三個(gè)平面不可能將空間分成（ ）個(gè)部分
A．5B．6C．7D．8
【解題思路】分三個(gè)平面互相平行，三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，三個(gè)平面交于一條直線，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，六種情況討論即可.
【解答過程】若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4個(gè)部分；
若三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，則可將空間分為6個(gè)部分；
若三個(gè)平面交于一條直線，則可將空間分為6個(gè)部分；
若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分為7部分；
若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，則可將空間分為8部分
故n的取值為4，6，7，8，所以n不可能是5.
故選：A.
【變式6-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）空間中兩個(gè)平面將空間分成的部分?jǐn)?shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．3或4
【解題思路】?jī)蓚€(gè)平面相交時(shí)，可以將空間分成4個(gè)部分；兩個(gè)平面不相交時(shí)將空間分成3個(gè)部分．
【解答過程】當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成3部分；
當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成4部分.
故選：D.
【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（ ）個(gè)區(qū)域．
A．13B．14C．15D．16
【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行歸納推理．前三個(gè)平面與第4個(gè)平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個(gè)平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個(gè)平面與前三個(gè)平面所分空間部分的截面，這個(gè)截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個(gè)平面最多能將空間分成的區(qū)域數(shù)．
【解答過程】一個(gè)平面把空間分成2部分，兩個(gè)平面最多把空間分面4部分，3個(gè)平面最多把空間分布8個(gè)部分，前三個(gè)平面與第4個(gè)平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個(gè)平面，最多分成7部分，這里平面的每一部分就是第四個(gè)平面與前三個(gè)平面分空間部分的截面，這個(gè)截面把所在空間部分一分為二，這樣所有空間部分的個(gè)數(shù)為8+7=15．
故選：C．
【變式6-3】（2022春·江西·高一階段練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分為（ ）
A．14部分B．18部分C．21部分D．24部分
【解題思路】把一個(gè)三棱柱的俯視圖，延長(zhǎng)三邊，可把平面分成7部分，還原為三棱柱，空間被兩個(gè)底面分成上下3層，每層都有7部分，即可求解.
【解答過程】想象一個(gè)沒有上下底的三棱柱（上下兩邊無限延伸），將三棱柱的側(cè)面延伸出來，
俯視圖如圖所示，
分成7個(gè)區(qū)域.
拿兩個(gè)水平的平面去截（其實(shí)就是三棱柱上下底面所在平面），
分成上中下三個(gè)大塊，每個(gè)大塊7個(gè)區(qū)域，共21個(gè)區(qū)域.
故選：C.

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