1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z?1?i=2i，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2.如圖，四邊形ABCD中，AB=DC，則必有( )
A. AD=CBB. DO=OBC. AC=DBD. OA=OC
3.已知|a|=8，與a同向的單位向量為e，|b|=4，a,b的夾角為120°，則向量b在向量a方向上的投影向量為( )
A. 4eB. ?4eC. 2eD. ?2e
4.已知a和b是兩個(gè)不共線的向量，若AB=a+mb，BC=5a+4b，DC=?a?2b，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A. 12B. 1C. ?12D. ?1
5.在?ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是( )
A. a=4，b=5，c=6B. a= 3，b=2，A=45°
C. a=10，A=45°，B=70°D. a=3，b=2，A=60°
6.已知向量a,b滿足|a|=2|b|=2，且2a?b= 15，則b?a=( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
7.如圖，扇形AOB所在圓的圓心角大小為2π3,P是扇形內(nèi)部(包括邊界)任意一點(diǎn)，若OP=xOA+yOB，那么2x+y的最大值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 2 3
8.在銳角?ABC中，若b2+c2=2a2，則csA的取值范圍是( )
A. 12, 33B. 12, 22C. 12,1D. 12,2+ 24
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量a= 3,?1,b=2,0，則下列說法正確的是( )
A. a=bB. a與b的夾角為π3
C. 若a⊥a+λb，則λ=?2 33D. 存在c≠0，使得a?c=b?c
10.莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常有趣、優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系(在如圖所示的正五角星中，多邊形ABCDE為正五邊形，PTAP= 5?12≈0.618).則( )
A. CQ+TP=DSB. ES?RQ=PA
C. AT+RS= 5?12RQD. BP?TS= 5+12RS
11.已知三角形ABC滿足AB=3,AC=4，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若點(diǎn)O為?ABC的重心，則AO=13AB+13AC，
B. 若點(diǎn)O為?ABC的外心，則AO?BC=72
C. 若點(diǎn)O為?ABC的垂心，則AO=45AB+35AC，
D. 若點(diǎn)O為?ABC的內(nèi)心，則AO=λ13AB+14AC．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在?ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知a=b=1，c= 3，則?ABC的外接圓面積為 ．
13.在?ABC中，AB=2，AC=6，∠ABC=π6，P，Q是BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=4，則AP?QA的最大值為 ．
14.如圖，在?ABC中，已知AB=4,AC=3,∠BAC=π3，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，
且AC=3AN，直線CM與BN相交于點(diǎn)P，則AP?BC= ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z=m2+m?6+m2?3m+2im∈R．
(1)當(dāng)m取何值時(shí)，z為純虛數(shù)？
(2)當(dāng)m=3時(shí)，求z?z1的值．
16.(本小題12分)
已知向量a=1,2,b=?3,1．
(1)求a+3b；
(2)設(shè)a,b的夾角為θ，求csθ的值；
(3)若向量a+kb與a?kb互相垂直，求k的值．
17.(本小題12分)
已知a，b，c分別是?ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且ab=csA2?csB．
(1)求ac；
(2)若csC=14，?ABC的面積為 15，求?ABC的周長．
18.(本小題12分)
如圖，在直角梯形OABC中，OA//CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M為AB上靠近B的三等分點(diǎn)，OM交AC于D,P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)用OA和OC表示OM；
(2)求ODDM；
(3)設(shè)OB=λCA+μOP，求λ?μ的取值范圍．
19.(本小題12分)
十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知a，b，c分別是?ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且cs A2cs B=sin (C?π6)，點(diǎn)P為?ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
(1)求角B；
(2)若b2?(a?c)2=6，求PA?PB+PB?PC+PA?PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|?|PB|的取值范圍．
參考答案
1.B
2.B
3.D
4.B
5.B
6.B
7.C
8.A
9.ACD
10.AD
11.ABD
12.π
13.3
14.?175
15.解：(1)若z為純虛數(shù)，則m2+m?6=0m2?3m+2≠0，解得m=?3．
(2)當(dāng)m=3時(shí)，z=6+2i，
所以z?z1=6+2i1+i=4+8i，
所以z?z1= 42+82=4 5．

16.解：(1)由a=1,2,b=?3,1，得a+3b=1,2+?9,3=?8,5，
所以a+3b= (?8)2+52= 89．
(2)設(shè)a,b的夾角為θ，則csθ=a?ba?b=1×?3+2×1 1+4× 9+1=? 210．
(3)由a=1,2,b=?3,1，得a+kb=1?3k,2+k,a?kb=1+3k,2?k，
由向量a+ka與a?kb互相垂直得，a+kb?a?kb=0，
所以1?3k?1+3k+2+k?2?k=0，
化簡得1?2k2=0，解得k=± 22．

17.(1)解：在?ABC中，ab=csA2?csB，
由正弦定理得：sinAsinB=csA2?csB，則sinBcsA+csBsinA=2sinA，
即sinB+A=2sinA，即sinC=2sinA，
由正弦定理得c=2a，即ac=12；
(2)由csC=14，得sinC= 154，
則S?ABC=12absinC= 15，得ab=8，
由余弦定理得c2=a2+b2?2abcsC，
即2a2=a2+8a2?4=0，整理得3a4?4a2?64=0，
即3a2+16a2?4=0，解得a=2，
則b=c=4，
所以?ABC的周長為a+b+c=10．

18.解：(1)依題意CB=12OA，AM=23AB，
∴AM=23(OB?OA)=23(OC+CB)?23OA
=23OC+13OA?23OA=23OC?13OA，
∴OM=OA+AM=OA+(23OC?13OA)=23OA+23OC；
(2)因OM交AC于D，
由(1)知OD=tOM=t(23OA+23OC)=2t3OA+2t3OC，
由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，2t3+2t3=1，
則t=34，OD=3DM，
則|OD||DM|=3，即ODDM=3；
(3)由已知OB=OC+CB=OC+12OA，
因P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則令CP=xOA(0?x?12)，
OB=λCA+μOP=λ(OA?OC)+μ(OC+CP)
=(λ+μx)OA+(μ?λ)OC，
又OC,OA不共線，
則有μ?λ=1λ+μx=12?λ=μ?1μ=32+2x,
則0?x?12?1?x+1?32?1?μ?32，
∴λ?μ=μ(μ?1)=(μ?12)2?14在μ∈[1,32]上遞增，
所以μ=1,(λ?μ)min=0,μ=32,(λ?μ)max=34，
故λ?μ的取值范圍是[0,34]．
19.解：(1)∵cs A2cs B=sin (C?π6)= 32sin C?12cs C，
∴cs A= 3cs Bsin C?cs Bcs C，
∴cs [π?(B+C)]= 3cs Bsin C?cs Bcs C，
∴?(cs Bcs C?sin Bsin C)= 3cs Bsin C?cs Bcs C，
又sinC>0，∴sinB= 3csB，
∴tanB= 3，B∈0,π，∴B=π3；
(2)由(1)得B=π3，
由余弦定理得cs B=a2+c2?b22ac=12，
∴a2+c2?b2=ac，
又b2?(a?c)2=b2?(a2+c2)+2ac=6，
∴ac=6，
設(shè)|PA|=x，|PB|=y，|PC|=z，
∵B=60°，
所以三角形ABC的三個(gè)角均小于120°，
∴根據(jù)題意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
又S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy? 32+12yz? 32+12xz? 32=12ac? 32，
∴xy+yz+xz=ac=6，
∴PA?PB+PB?PC+PA?PC
=xy?(?12)+yz?(?12)+xz?(?12)
=?12(xy+yz+xz)=?3；
(3)由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy? 32+12yz? 32+12xz? 32=12ac? 32，
∴xy+yz+xz=ac，
由余弦定理可得
b2=x2+z2?2xzcs 120°=x2+z2+xz，
同理可得c2=x2+y2+xy，a2=z2+y2+yz，
相加可得a2+c2+b2
=2x2+2y2+2z2+xy+yz+zx
=2x2+2y2+2z2+ac，
又a2+c2?b2=ac，
所以x2+y2+z2=1，
由于B=60°,∠APB=120°,
∴∠ABP+∠CBP=60°,∠ABP+∠BAP=60°，
所以∠BAP=∠CBP,
又∠APB=∠BPC=120°,
故△ABP～△BCP，所以xy=yz，即y2=zx，
故x2+zx+z2=1，即(x+z)2?xz=1，
故xz=(x+z)2?1?(x+z)24，且 xz= (x+z)2?1，
故x+z? 43，當(dāng)且僅當(dāng)x=z時(shí)等號(hào)成立，
又x+z>b=1，所以1

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