一、選擇題
1．已知復(fù)數(shù),則z的虛部是( )
A.2B.2iC.D.
2．設(shè)x,,向量,,且,,則( )
A.B.C.D.
3．已知m為實數(shù),直線,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．已知向量，的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為( )
A.B.C.D.
5．如圖，在正四棱錐中，，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
6．如圖,在平行六面體中,,,,,,則的長為( )
A.B.C.D.
7．已知點在直線,點在直線上,且,的最小值為( )
A.B.C.D.5
二、多項選擇題
8．對于直線，下列選項正確的是( )
A.直線l恒過點
B.當時，直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為
C.若直線l不經(jīng)過第二象限，則
D.坐標原點到直線l的距離的最大值為
9．在復(fù)平面內(nèi),下列說法正確的是( )
A.復(fù)數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限
B.若復(fù)數(shù),則
C.若復(fù)數(shù),滿足,則
D.若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形面積為
10．已知正三棱柱的所有棱長都為2，P是空間中的一動點，下列選項正確的是( )
A.若，則的最小值為2
B.若，則三棱錐的體積為定值
C.若，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為
D.若，則平面截三棱柱所得的截面面積為
三、填空題
11．計算:________.
12．在棱長為2的正四面體ABCD中,點M滿足,點N滿足,則點M與平面BCD的位置關(guān)系是________;當最小且最小時,________.
13．已知點,,,點是內(nèi)(包含邊界)一動點,請你結(jié)合所學(xué)向量的知識,求出的最大值為________.
四、解答題
14．如圖,在四棱錐中,,,,,底面ABCD為正方形,M,N分別為AD,PD的中點.
（1）求證:平面MNC;
（2）求點B到平面MNC的距離.
15．(1)已知直線l過定點,且其傾斜角是直線的傾斜角的二倍,求直線l的方程;
(2)已知入射光線經(jīng)過點,且被直線反射,反射光線經(jīng)過點,求反射光線所在直線的方程.
16．已知頂點,邊AC上的高BH所在直線方程為,邊AB上的中線CM所在的直線方程為.
（1）求直線AC的方程:
（2）求的面積.
17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過B作，交于O，連.
(1)求證：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在線段上存在一點M，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長.
18．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設(shè)P為多面體M的一個頂點,定義多面體M在點P處的離散曲率為,其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點,且平面,平面,…,平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面.
（1）求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和;
（2）如圖,已知在三棱錐中,平面ABC,,,三棱錐在頂點C處的離散曲率為.
①求直線PC與直線AB所成角的余弦值;
②若點Q在棱PB上運動,求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值.
參考答案
1．答案：D
解析：因為,
所以z的虛部為.
故選:D.
2．答案：D
解析：因為,則,解得,則,
因為,則,解得,即,
所以,,因此,.
故選:D.
3．答案：B
解析：若,則有,解得,
當時,,,不重合,符合要求;
當時,,,不重合,符合要求;
故“”是“”的必要不充分條件.
故選:B.
4．答案：B
解析：由，解得
當，共線時，由，即解得，
所以當，夾角為鈍角時，
故選：B
5．答案：B
解析：連接交于O，連接，
由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.
以O(shè)為坐標原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
由，不妨設(shè)，則，，
在中，，
則，，，，，則，
，，
則，
由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.
故選：B.
6．答案：A
解析：平行六面體中,,
因為,,,,
所以
,
所以,即的長為.
故選:A.
7．答案：D
解析：由已知表示點到點的距離,
表示點到點的距離,
所以,
過點A作,垂足為,
因為直線的方程為,,
所以,
又直線與直線平行,,
所以,所以,
所以四邊形AMNC為平行四邊形,所以,
所以,
又,當且僅當三點共線時等號成立,
所以當點N為線段CB與直線的交點時,
取最小值,最小值為,
因為過點與直線垂直的直線的方程為,
聯(lián)立,可得,
所以點C的坐標為,所以,
所以的最小值為5,
故選:D.
8．答案：ABD
解析：可變形為，由得所以直線l恒過點，故A正確；
當時，直線l在x，y軸上的截距分別為1，1，所以直線l與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，故B正確；
當時，直線l的方程為，直線l也不經(jīng)過第二象限，故C不正確；
因為直線l過定點，所以坐標原點到直線l的距離的最大值為，故D正確.
故選：ABD
9．答案：ABD
解析：A選項,復(fù)數(shù),則,
故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,位于第一象限,A正確;
B選項,設(shè),,,
則,即,
故,,
兩邊平方得,
故,所以,
即,故,
其中,,故,B正確;
C選項,設(shè)復(fù)數(shù),,滿足,
但,C錯誤;
D選項,表示原點為圓心,1為半徑的圓的外部,
表示原點為圓心,為半徑的圓的內(nèi)部,
則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點所構(gòu)成的圖形為如圖所示的圓環(huán)（包括邊界）,
故面積為,D正確.
故選:ABD
10．答案：BCD
解析：如圖，建立空間直角坐標系，則，，，
，，.
因為，所以，
所以，
所以.
當，時，，所以A錯誤；
因為，
所以，
因為平面的法向量為，
所以點P到平面的距離為為定值，
即三棱錐的體積為定值，所以B正確；
因為，
平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成的角為θ，
所以，，
當時，，所以C正確；
因為，所以，
由圖可知平面截三棱柱所得的截面為，
，所以D正確.
故選：BCD.
11．答案：
解析：.
故答案為:
12．答案：平面BCD,
解析：由四點共面定理及三點共線定理可知:
,平面BCD,直線AC,
當最小且最小時,則是等邊的中心,是邊中點.
所以,,
又因為N是AC邊中點,所以
故.
故答案為:平面BCD,
13．答案：
解析：如圖,設(shè)與x軸的夾角為,因點是內(nèi)(包含邊界)一動點,
由圖知,當點P與點B重合時,直線OP的斜率最小,為,此時,
故,因,
故,,則,,
于是,
因,則,由正弦函數(shù)的圖象可得,,
即,當且僅當時,即時,取得最大值,此時點P與點B重合.
故答案為:.
14．答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）證明:在中,因為M,N分別為AD,PD的中點,可得,
因為平面MNC,且平面MNC,所以平面MNC.
（2）因為,,且,DA,平面ABCD,
所以平面ABCD,
以D為原點,以DA,DC,DP所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
如圖所示,因為,且四邊形ABCD為正方形,
可得,,,,,,
所以,,,
設(shè)平面MNC的法向量為,則,
取,可得,所以,
設(shè)點B到平面MNC的距離為d,則,
即點B到平面MNC的距離為.
15．答案：(1);
(2)
解析：(1)因為直線的斜率為,則直線的傾斜角為,
故所求直線的傾斜角為,直線斜率為,
所求直線的方程為,即.
(2)設(shè)關(guān)于直線對稱的點為,
則解得
因為反射光線經(jīng)過點,
所以所在直線的斜率為,
故反射光線所在直線方程為,即.
16．答案：（1）
（2）20
解析：（1）邊AC上的高BH所在直線方程為,
直線的斜率為1,所以直線AC的斜率為,
所以直線AC的方程為.
（2）邊AB上的中線CM所在的直線方程為,
由解得,即.
設(shè),則,
所以,解得,即.
,到的距離為,
所以三角形ABC的面積為.
17．答案：(1)證明見解析；
(2)；
(3).
解析：（1）因為，因為，，
所以四邊形為矩形，
在中，，，，
則，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以O(shè)為原點，為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，
，，可得，
則，，，，，
設(shè)平面的法向量為，，，
由，取.
設(shè)平面的法向量為，，
由，取，
.
二面角是鈍角，
二面角的正弦值為.
（3）設(shè)，則，
又平面的法向量為，
直線與平面所成的角的正弦值為，
解得，.
18．答案：（1）2
（2）①;
②
解析：（1）由離散曲率的定義得:,
,
,
,
四個式子相加得:.
（2）①如圖,分別取AC,BC,AP的中點D,E,F,連接AE,DE,DF,EF,顯然有,,
所以為異面直線AB與PC的夾角或其補角,設(shè),因為,所以,,
因為平面ABC,AB,AC,AE,平面ABC,所以,,,,
因為,,所以平面PAC,又因為平面PAC,所以,
由C點處的離散曲率為可得
,
所以,,,
而,,
所以,故異面直線AB與PC的夾角的余弦值為.
②如圖,過Q點做交AB與G,連接CG,因為平面ABC,所以平面ABC,
則為直線CQ與平面ABC所成的角,設(shè),
在中,
因為,所以,所以,
故,
當分母最小時,最大,即最大,此時,即（與重合）,,所以的最大值為.

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