1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足z?(1?i)=2i，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
2.如圖，四邊形ABCD中，AB=DC，則必有( )
A. AD=CBB. OA=OCC. AC=DBD. DO=OB
3.已知|a|=8，與a同向的單位向量為e，|b|=4，a，b的夾角為120°，則向量b在向量a方向上的投影向量為( )
A. 4eB. ?4eC. 2eD. ?2e
4.已知a和b是兩個不共線的向量，若AB=a+mb，BC=5a+4b，DC=?a?2b，且A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A. 12B. 1C. ?12D. ?1
5.在△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是( )
A. a=4，b=5，c=6B. a= 3，b=2，A=45°
C. a=10，A=45°，B=70°D. a=3，b=2，A=60°
6.已知向量a，b滿足|a|=2|b|=2，且|2a?b|= 15，則|b?a|=( )
A. 1B. 2C. 2D. 3
7.如圖扇形AOB所在圓的圓心角大小為2π3,P是扇形內(nèi)部(包括邊界)任意一點(diǎn)，若OP=xOA+yOB，那么2(x+y)的最大值是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2 3
8.在銳角△ABC中，若b2+c2=2a2，則csA的取值范圍是( )
A. [12, 33)B. [12, 22)C. [12,1)D. [12,2+ 24)
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知向量a=( 3,?1)，b=(2,0)，則下列說法正確的是( )
A. |a|=|b|B. a與b的夾角為π3
C. 若a⊥(a+λb)，則λ=?2 33D. 存在c≠0，使得a?c=b?c
10.莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星，是革命和光明的象征.正五角星是一個非常有趣、優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系(在如圖所示的正五角星中，多邊形ABCDE為正五邊形，PTAP= 5?12≈0.616).則( )
A. CQ+TP=DS
B. ES?RQ=PA
C. AT+RS= 5?12RQ
D. BP?TS= 5+12RS
11.已知三角形ABC滿足AB=3，AC=4，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 若點(diǎn)O為△ABC的重心，則AO=12AB+12AC
B. 若點(diǎn)O為△ABC的外心，則AO?BC=72
C. 若點(diǎn)O為△ABC的垂心，則AO=45AB+35AC
D. 若點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，則AO=λ(13AB+14AC)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=b=1，c= 3，則△ABC的外接圓面積為______．
13.在△ABC中，AB=2，AC=6，∠ABC=π6，P，Q是BC邊上的兩個動點(diǎn)，且PQ=4，則AP?QA的最大值為______．
14.如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=π3，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，且AC=3AN，直線CM與BN相交于點(diǎn)P，則AP?BC= ______．
四、解答題：本題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z=(m2+m?6)+(m2?3m+2)i(m∈R)．
(1)當(dāng)m取何值時，z為純虛數(shù)？
(2)當(dāng)m=3時，求|z?z1|的值．
16.(本小題15分)
已知向量a=(1,2),b=(?3,1)．
(1)求a+3b；
(2)設(shè)a,b的夾角為θ，求csθ的值；
(3)若向量a+kb與a?kb互相垂直，求k的值．
17.(本小題15分)
已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且ab=csA2?csB．
(1)求ac；
(2)若csC=14，△ABC的面積為 15，求△ABC的周長．
18.(本小題17分)
如圖，在直角梯形OABC中，OA/?/CB，OA⊥OC，OA=2BC=2OC，M為AB上靠近A的三等分點(diǎn)，OM交AC于N，D為線段BC上的一個動點(diǎn)．
(1)用OA和OC表示OM；
(2)求ONMN；
(3)設(shè)OB=λCA+μOD，求λ?μ的取值范圍．
19.(本小題12分)
十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：“當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知a，b，c分別是△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且csA2csB=sin(C?π6)，點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．
(1)求角B；
(2)若b2?(a?c)2=6，求PA?PB+PB?PC+PA?PC的值；
(3)若b=1，求|PA|+|PC|?|PB|的取值范圍．
1.B
2.D
3.D
4.B
5.B
6.B
7.C
8.C
9.ACD
10.AD
11.BD
12.π
13.3
14.?175
15.解：(1)∵z為純虛數(shù)，∴m2+m?6=0m2?3m+2≠0，∴m=?3．
(2)當(dāng)m=3時，z=6+2i，
∴z?z1=(6+2i)(1+i)=4+8i，
∴|z?z1|= 42+82=4 5．
16.解：(1)因?yàn)閍=(1,2),b=(?3,1)，
所以a+3b=(1,2)+(?9,3)=(?8,5)；
(2)a,b的夾角為θ，
則csθ=a?b|a|?|b|=1×(?3)+2×1 1+4× 9+1=? 210；
(3)向量a+kb與a?kb互相垂直，
則a2?k2b2=0，
又a2=5，b2=10，
則5?10k2=0，
解得k=± 22．
17.
18.解：(1)依題意CB=12OA,AM=13AB，
∴AM=13(OB?OA)=13(OC+CB)?13OA=13OC+16OA?13OA=13OC?16OA，
∴OM=OA+AM=OA+(13OC?16OA)=56OA+13OC；
(2)因OM交AC于N，由(1)知ON=tOM=t(56OA+13OC)=5t6OA+t3OC，
因?yàn)镹，A，C共線，所以5t6+t3=1，則t=67，
所以O(shè)N=6NM，所以|ON||MN|=6，即ONMN=6；
(3)因D是線段BC上動點(diǎn)，則令CD=xOA(0≤x≤12)，
OB=λCA+μOD=λ(OA?OC)+μ(OC+CD)=(λ+μx)OA+(μ?λ)OC，
由已知OB=OC+CB=OC+12OA，
又OC,OA不共線，則有μ?λ=1λ+μx=12，得λ=μ?1μ=32+2x，
因?yàn)?≤x≤12?1≤x+1≤32?1≤μ≤32，
所以λ?μ=μ(μ?1)=(μ?12)2?14，且在μ∈[1,32]上遞增，
所以μ=1,(λ?μ)min=0,μ=32,(λ?μ)max=34，故λ?μ的取值范圍是[0,34]．
19.解(1)∵csA2csB=sin(C?π6)= 32sinC?12csC，
∴csA= 3csBsinC?csBcsC，
∴cs[π?(B+C)]= 3csBsinC?csBcsC，
∴?(csBcsC?sinBsinC)= 3csBsinC?csBcsC，
又sinC>0，∴sinB= 3csB，
.∴tanB= 3，B是三角形ABC內(nèi)角，∴B=60°，
(2)∵B=60°，∴csB=a2+c2?b22ac=12，
∴a2+c2?b2=ac，又b2?(a?c)2=b2?(a2+c2)+2ac=6，∴ac=6，
設(shè)|PA|=x,|PB|=y,|PC|=z，

∵B=60°，∴三角形ABC的三個角均小于120°，
∴根據(jù)題意可得∠APB=∠BPC=∠APC=120°，
又S△ApB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy? 32+12yz? 32+12xz? 32=12ac? 32，
∴xy+yz+xz=ac=6，
∴PA?PB+PB?PC+PA?PC=xy?(?12)+yz?(?12)+xz?(?12)=?12(xy+yz+xz)=?3．
(3)由S△APB+S△BPC+S△APC=S△ABC，
∴12xy? 32+12yz? 32+12xz? 32=12ac? 32，
∴xy+yz+xz=ac，
由余弦定理可得b2=x2+z2?2xzcs120°=x2+z2+xz①，
同理可得c2=x2+y2+xy②，a2=z2+y2+yz③，
①②③相加得a2+b2+c2=2x2+2y2+2z2+xy+xz+yz=2x2+2y2+2z2+ac，
又a2+c2?b2=ac，b=1，所以x2+y2+z2=1，
∵B=60°，∠APB=120°，∴∠ABP+∠CBP=60°，∠ABP+∠BAP=60°，
所以∠BAP=∠CBP，又∠APB=∠BPC=120°，
故△ABP∽△BCP，所以xy=yz?y2=zx，
故x2+xz+z2=1，即(x+z)2?xz=1，
∴xz=(x+z)2?1≤(x+z)24，
∴x+z≤ 43，當(dāng)且僅當(dāng)x=z時等號成立，
又x+z>b=1，所以1

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