1. 若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算可求解.
【詳解】.
故選：B.
2. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.
【詳解】由，
所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，而，
因此切線方程為，
故選：C
3. 已知，且，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
分析】
先求出導(dǎo)函數(shù)，再代入可求得值.
【詳解】因?yàn)?,,解得，
故選：A.
本題考查導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算，關(guān)鍵在于正確地求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，注意復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.
4. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A. B. C. (1，4)D. (0，3)
【正確答案】B
【分析】求導(dǎo)，令，即得解
【詳解】由題意，
令，得
故函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是：
故選：B
5. 的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. -120B. -60C. 60D. 120
【正確答案】C
【分析】直接根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.
【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為：，
取得到常數(shù)項(xiàng)為.
故選.
本題考查了二項(xiàng)式定理求常數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.
6. 設(shè)函數(shù)，則 （ ）
A. 為極大值點(diǎn)B. 為極大值點(diǎn)
C. 為極小值點(diǎn)D. 無(wú)極值點(diǎn)
【正確答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得到極值點(diǎn).
【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋?br>則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在處取得極大值，即為極大值點(diǎn).
故選：B
7. 若,則的解集為（ ）
A. (0,)B. (-1,0)(2,)
C. (2,)D. (-1,0)
【正確答案】C
【詳解】
8. 有六人排成一排，其中甲只能在排頭或排尾，乙、丙兩人必須相鄰，則滿足要求的排法有
A. 34種B. 48種
C. 96種D. 144種
【正確答案】C
【詳解】試題分析：,故選C.
考點(diǎn)：排列組合.
二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．
9. 在的展開(kāi)式中，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 不存在常數(shù)項(xiàng)B. 二項(xiàng)式系數(shù)和為1
C. 第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大D. 所有項(xiàng)的系數(shù)和為128
【正確答案】AC
【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及賦值法，逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
對(duì)A，由，得(舍去)，所以展開(kāi)式不存在常數(shù)項(xiàng)，故A正確；
對(duì)B，二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，展開(kāi)式共有項(xiàng)，所以第4項(xiàng)和第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故C正確；
對(duì)D，令，得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
10. 現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專家到四家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測(cè)指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（ ）
A. 所有可能的安排方法有64種
B. 若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種
C. 若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種
D. 若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種
【正確答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算出答案；B選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，再安排三名專家，利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算出答案；C選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，再進(jìn)行全排列得到C正確；D選項(xiàng)，再C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上，計(jì)算出每所醫(yī)院去一人，甲去A醫(yī)院的安排方法，從而計(jì)算出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，A正確；
B選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，有種選擇，
再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有種選擇，
則不同的安排方法有種，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，有種選擇，
再將三名專家和三所醫(yī)院進(jìn)行全排列，有種選擇，
則不同的安排方法有種，C正確；
D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，
若甲去A醫(yī)院，從所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進(jìn)行全排列，共有種選擇，
故不同的安排方法有種，D正確.
故選：ACD
11. 已知，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【正確答案】AC
【分析】求出的通項(xiàng)結(jié)合賦值法對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對(duì)于A，令，則，故A正確；
對(duì)于B，的通項(xiàng)為，
所以令可得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，的通項(xiàng)為，
所以當(dāng)時(shí)，即，而，
所以令，則，
而，故C正確；
對(duì)于D，令可得，，
又因?yàn)榱?，則，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為16，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【正確答案】
【分析】設(shè)點(diǎn)，求得，得到，令，解得，進(jìn)而求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，
又由曲線，則，所以，
令，解得，則，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解參數(shù)問(wèn)題，其中解答熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，列出方程求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
13. 2023年杭州亞運(yùn)會(huì)召開(kāi)后，4位同學(xué)到三個(gè)體育場(chǎng)館做志愿者服務(wù)活動(dòng)，每個(gè)體育場(chǎng)館至少一人，每人只能去一個(gè)體育場(chǎng)館，則不同的分配方法總數(shù)是______．
【正確答案】36
【分析】先分組再排列計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知必有一個(gè)場(chǎng)館是兩名志愿者，先將四名同學(xué)分成三組，即每組各有人，再進(jìn)行排列，則有種方法.
故
14. 已知不等式在上恒成立，則的取值范圍是___________.
【正確答案】
【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，從而將不等式再轉(zhuǎn)化為，設(shè)，求導(dǎo)討論單調(diào)性得最值，即可打求得的取值范圍.
【詳解】整理得，即，
設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
則由不等式即為恒成立，所以在上恒成立，
故，設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，則，符合題意；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，
則，解得；
綜上，的取值范圍是.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．
（1）求展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)；
（2）求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).
【正確答案】（1）27 （2）
【分析】（1）利用賦值法得所有項(xiàng)的系數(shù)和，求解n，然后利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式求解即可；
（2）把式子化簡(jiǎn)為，然后分別利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式求解常數(shù)項(xiàng)即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)榈恼归_(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．
所以令，得，所以，
所以的展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，
令，解得，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)為，
所以展開(kāi)式中含項(xiàng)系數(shù)為27.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，從而，
因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，
所以的常數(shù)項(xiàng)為，
又的常數(shù)項(xiàng)為，
所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.
16. 已知在時(shí)有極值0．
（1）求常數(shù)，的值；
（2）求在區(qū)間上的最值．
【正確答案】（1），；
（2）最小值為0，最大值為4
分析】（1）根據(jù)題意列方程求解可得；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，然后可得最值.
【小問(wèn)1詳解】
，
由題知：,
解得或．
因?yàn)椋噬崛ィ?br>當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在處有極小值，
所以，，符合題意.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
函數(shù)在取得極大值，在取極小值；
因?yàn)椋?br>所以，，，，
所以最小值為0，最大值為4
17. 從6名運(yùn)動(dòng)員中選4人參加米接力賽，在下列條件下，各共有多少種不同的排法？（寫出計(jì)算過(guò)程，并用數(shù)字作答）
（1）甲?乙兩人必須跑中間兩棒；
（2）若甲?乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒．
【正確答案】（1）24 （2）72
【分析】（1）由甲?乙兩人必須跑中間兩棒，甲乙之間會(huì)有一個(gè)排列，余下的兩個(gè)位置需要在剩余4人中選出共有種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.
（2）由題意可將甲乙兩人捆綁，并且有種結(jié)果，其余4人選出兩人和甲乙組合成三個(gè)元素的排列共有種結(jié)果，再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
甲?乙兩人跑中間兩棒，甲乙兩人的排列有種，剩余兩棒從余下的4個(gè)人中選兩人的排列有種，
故有種；
【小問(wèn)2詳解】
若甲?乙兩人都被選且必須跑相鄰兩棒，甲乙兩人相鄰兩人的排列有種，其余4人選兩人和甲乙組合成三個(gè)元素的排列有種，
故有種．
18 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值．
【正確答案】（1）
（2）最小值為，最大值為．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；
（2）求得函數(shù)在上的單調(diào)性，再由極值定義計(jì)算可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
【小問(wèn)2詳解】
令，得，
則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
因此為的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
又，，，
所以在上的最小值為，最大值為．
19. 已知函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且的極小值小于，求a的取值范圍.
【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.
【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分，，和四種情況判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知的極小值為，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，從而可求出a的取值范圍
【詳解】解：（1）（），
①當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
④當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）已知，由（1）知的極小值為，
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，且，
由的極小值小于，可得
所以.

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