1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】明確集合中的元素，根據(jù)交集，可得答案.
【詳解】集合，，所以.
故選：C.
2. 據(jù)報道，從2024年7月16日起，“高原版”復(fù)興號動車組將上線新成昆鐵路和達(dá)成鐵路，“高原版”復(fù)興號動車組涂裝用的是高耐性油漆，可適應(yīng)高海拔低溫環(huán)境．“高原版”復(fù)興號動車組列車全長236.7米，由9輛編組構(gòu)成，設(shè)有6個商務(wù)座、28個一等座、642個二等座，最高運行時速達(dá)160千米，全列定額載客676人．假設(shè)“高原版”復(fù)興號動車開出站一段時間內(nèi)，速度與行駛時間的關(guān)系為，則當(dāng)時，“高原版”復(fù)興號動車的加速度為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】通過求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求瞬時變化率求解．
【詳解】因為，所以，
故當(dāng)時，，
即時，“高原版”復(fù)興號動車的加速度為，
故選：B
3. 為配合垃圾分類在學(xué)校的全面展開，某學(xué)校舉辦了一次垃圾分類知識比賽活動.高一?高二?高三年級分別有1名?2名?3名同學(xué)獲一等獎.若將上述獲一等獎的6名同學(xué)排成一排合影，要求同年級同學(xué)排在一起，則不同的排法共有（ ）
A. 18種B. 36種C. 72種D. 144種
【正確答案】C
【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法即可由全排列求解.
【詳解】由題意可得，
故選:C
4. 已知函數(shù)在處有極小值，則c的值為（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 2或6
【正確答案】A
【分析】根據(jù)求出c，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)極小值的定義判斷答案.
詳解】由題意，，則，所以或.
若c=2，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增.函數(shù)在處有極小值，滿足題意；
若c=6，則，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，所以在處有極大值，不滿足題意；
綜上：c=2.
故選：A.
5. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】判斷的奇偶性和在上的單調(diào)性，即可唯一確定正確選項.
【詳解】設(shè)，則的定義域是，同時，故是奇函數(shù)，排除B選項；
當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.
故在上遞增，在上遞減，能夠體現(xiàn)在上先遞增后遞減的圖象只有D選項.
故選：D.
6. 若，，，則以下不等式正確的是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】將變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合作差法比較即可.
【詳解】因為，
令，定義域為，則，
當(dāng)時，，當(dāng) 時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因為，所以，
又，所以，
所以，即.
故選：D.
7. 已知函數(shù)f(x)，滿足在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】由已知可得在上恒成立，利用給定單調(diào)性建立不等式并分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求出最小值，即可得出實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得.
由在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，得在上恒成立，
即在上恒成立，而
因此當(dāng)時，取得最小值，則，
因此實數(shù)a的取值范圍是.
故選：D
8. 已知是定義在上的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)；當(dāng)時，有恒成立，且，則不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】令，根據(jù)是定義在上的偶函數(shù)，易得在上也是偶函數(shù)，再根據(jù)時，，得到在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，然后結(jié)合，利用其單調(diào)性求解.
【詳解】令，
因為是定義在上的偶函數(shù)，
則，
所以在上也是偶函數(shù).
又因當(dāng)時，
有，
則對成立，
所以在上單調(diào)遞減；
由偶函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
且.
當(dāng)時，由，得，
即，
解得；
當(dāng)時，由，得，
即，
解得.
綜上所述，不等式的解集是
故選：B
二、多選題（本大題共3小題，共18分）
9. 下列求導(dǎo)數(shù)的運算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法即可得到答案.
【詳解】對A，，故A正確；
對B，，故B錯誤；
對C，，故C正確；
對D，，故D錯誤；
故選：AC.
10. 如圖，用種不同的顏色把圖中五塊區(qū)域涂上顏色，相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則（ ）
A.
B. 當(dāng)時，若同色，共有48種涂法
C. 當(dāng)時，若不同色，共有48種涂法
D. 當(dāng)時，總的涂色方法有420種
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)同色或者不同色，即可結(jié)合選項，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解.
【詳解】對于A，由于區(qū)域,兩兩相鄰，所以至少需要三種及以上的顏色才能保證相鄰區(qū)域不同色，故A正確，
對于B，當(dāng)時，此時按照的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有種涂法，
涂時，由于同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂，
故共有種涂法，B正確；
對于C，當(dāng)時，涂有種，
當(dāng)不同色（D只有一種顏色可選），此時四塊區(qū)域所用顏色各不相同，涂只能用與同色，此時共有24種涂法，C錯誤；
對于D，當(dāng)時，此時按照的順序涂，每一個區(qū)域需要一個顏色，此時有種涂法，
涂時，當(dāng)同色（D只有一種顏色可選），所以只需要從剩下的兩種顏色中或者與同色的顏色中選擇一種涂，
故共有種涂法，
當(dāng)不同色，此時四塊區(qū)域所用顏色各不相同，共有，
只需要從剩下的顏色或者與同色的兩種顏色中選擇一種涂此時共有種涂法，
綜上可知，總的涂色方法有420種，故D正確，
故選：ABD
11. 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若存在，使得，則稱是的一個“巧值點”，則下列函數(shù)中，存在“巧值點”的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】ABD
【分析】結(jié)合“巧值點”的定義，逐個求解是否有解即可
【詳解】對于A，，令，得，有“巧值點”；
對于B，，令，
如圖，作出函數(shù)，的圖象，
結(jié)合，的圖象，知方程有解，有“巧值點”；
對于C，，
令，即，得，無解，無“巧值點”；
對于D，，令，得，
令，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
又，
所以函數(shù)在上有唯一零點，
即方程在上有解，
即有“巧值點”.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共3小題，共15分）
12. 由1、2、3、4可以組成______個2在百位的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).
【正確答案】6
【分析】用列舉法寫出所有四位數(shù)可得．
【詳解】滿足題意的四位數(shù)有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6個，
故6.
13. 已知函數(shù) ，則曲線 在點 處的切線方程為______________.
【正確答案】
【分析】直接求導(dǎo)代入得，再求出切點和斜率即可得到切線方程.
【詳解】由題：，所以，
，所以，所以，，，，
所以切線方程為，即.
故
14. 曲率在數(shù)學(xué)上是表明曲線在某一點彎曲程度的數(shù)值.對于半徑為的圓，定義其曲率，同樣的，對于一般曲線在某點處的曲率，我們可通過該點處的密切圓半徑計算.其中對于曲線在點處的密切圓半徑計算公式為，其中表示的導(dǎo)數(shù)，表示的導(dǎo)數(shù).已知曲線，則曲線在點處的曲率為_____；C上任一點處曲率的最大值為_____.
【正確答案】 ①. ## ②. ##
【分析】首先求處的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可求解曲率的最大值.
【詳解】，，，，
,所以曲線在點處的曲率為；
上任一點處的，，
，
得（舍）或，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，取得最小值，此時曲率取得最大值，最大值為.
故；
四、解答題（本大題共5小題，共77分）
15. 現(xiàn)有4個數(shù)學(xué)課外興趣小組，其中一、二、三、四組分別有3人、4人、5人、6人.
（1）選1人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？
（2）每組選1名組長，有多少種不同的選法？
（3）推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，有多少種不同的選法？
【正確答案】（1）18 （2）360 （3）119
【分析】（1）根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解；
（2）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解；
（3）根據(jù)分步乘法、分類加法計數(shù)原理即可求解；
【小問1詳解】
分四類：第一類，從一組中選1人，有3種方法；
第二類，從二組中選1人，有4種方法；
第三類，從三組中選1人，有5種方法；
第四類，從四組中選1人，有6種方法.
所以不同的選法共有種方法.
【小問2詳解】
分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四組中選1名組長，
所以不同的選法共有種方法；
【小問3詳解】
分六類：第一類，從一、二組中各選1人，有種方法；
第二類，從一、三組中各選1人，有種方法；
第三類，從一、四組中各選1人，有種方法；
第四類，從二、三組中各選1人，有種方法；
第五類，從二、四組中各選1人，有種方法；
第六類，從三、四組中各選1人，有種方法；
所以不同的選法共有種方法.
16. 的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，的面積為，求b，c的值．
【正確答案】（1）
（2）．
【分析】（1）由正弦定理結(jié)合和差角的正弦公式化簡求解即可；
（2）由面積公式可得，再根據(jù)余弦定理求解即可.
【小問1詳解】
由正弦定理及．
得，
即，
即，
因為，所以，
所以，所以．
【小問2詳解】
由題意得的面積，所以①．
又，且，所以②．
由①②得．
17. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)在上的最小值是，求的值.
【正確答案】（1）極小值為，無極大值；
（2）答案見解析； （3）
【分析】（1）直接代入求導(dǎo)，令即可得到其極值；
（2）求導(dǎo)得，再對分和討論即可；
（3）求導(dǎo)得，再對分，和討論即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
，令，則，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，
則的極小值為，無極大值.
【小問2詳解】
，，
若，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，令，解得，令，解得，
則其在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問3詳解】
，，
若，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，不滿足題意；
若，令，解得，令，解得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以，解得，滿足題意；
若， 則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，解得，不滿足題意，
綜上，.
18. 如圖，已知四邊形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面.
（1）若是的中點，證明:；
（2）求二面角的余弦；
（3）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）存在，點為的中點
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求解，
（2）求解平面法向量，根據(jù)法向量的夾角即可求解，
（3）根據(jù)線面角的向量法，即可求解.
【小問1詳解】
連接，因為三角形是正三角形，且是的中點，則，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因為四邊形是矩形，則，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以為坐標(biāo)原點，分別為軸，過平行于的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
可得，則，所以.
小問2詳解】
由（1）可得：，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)平面的法向量，則，
令，則，可得，
設(shè)二面角為，
則，
又二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.
【小問3詳解】
由（1）可得，
設(shè)，可得，
由（2）可知：平面的法向量，
則由，
整理可得，解得或（舍去），
即，可知存在點，點為的中點.
19. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的零點個數(shù)；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍；
（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個極值點、，求證.
【正確答案】（1）個
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論；
（2）直接驗證，分、兩種情況討論，結(jié)合分離參數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)法求出實數(shù)的取值范圍；
（3）求導(dǎo)，分析可知，函數(shù)在上有兩個不等的零點，利用二次方程根的分布求出的取值范圍，結(jié)合韋達(dá)定理可得出，其中，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，該函數(shù)的定義域為，，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，，則，
由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點，
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)存在唯一零點.
【小問2詳解】
因為，
當(dāng)時，則，由可得，
令，其中，則，令可得，列表如下：
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，，則；
當(dāng)時，則，由可得，
令，其中，則對任意的恒成立，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且當(dāng)時，，此時，，
綜上所述，實數(shù)取值范圍是.
【小問3詳解】
因為，其中，
則，
因為函數(shù)有兩個極值點，則函數(shù)在上有兩個不等的實根，
則，解得，
所以，
，
令，其中，則，
所以，函數(shù)上單調(diào)遞減，則，故.
方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
增
極大值
減

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