1.本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；
2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)（填涂）；
3.所必須寫在答題卷上，寫在試卷上無(wú)效；
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.
1. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【正確答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)z滿足，可得，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.
故選：A
2. 已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.
【詳解】根據(jù)已知條件有：，又，所以，
在上的投影向量為.
故選：C
3. 在中，下列等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式以及三角形的內(nèi)角和定理逐項(xiàng)判斷可得結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?br>，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
，故C正確；
對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4. 設(shè)，，其中為虛數(shù)單位.則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，若，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式求出的取值范圍，最后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>若，則，即，解得或，
所以由推不出，故充分性不成立；
由可以推出，故必要性成立；
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
5. 定義在上的函數(shù)，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和三角函數(shù)的單調(diào)性可得.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，
所以是偶函數(shù)，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，
而在上單調(diào)遞增，則，
，則，
.
故選：B.
6. 設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓O上一點(diǎn)A，射線OA繞著O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到OP，P為與單位圓的交點(diǎn)，P的坐標(biāo)為，則A的坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】A
【分析】先由三角函數(shù)的定義得到，再利用兩角差的正余弦公式判斷.
【詳解】如圖所示：
設(shè)
則點(diǎn)
又
所以
故選：A
7. 如圖，在中，已知，，，，分別是，邊上的點(diǎn)，且，，且，若線段，的中點(diǎn)分別為，，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)幾何圖形中線段對(duì)應(yīng)向量的線性關(guān)系，可得，，再根據(jù)并結(jié)合且，可得關(guān)于的函數(shù)式，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求的最小值.
【詳解】解：在中，，則，分別是邊的點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為
∴，，
∴，
∴兩邊平方得：
，
∵，
∴，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，最小值為，即的最小值為.
故選：B.
運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算法則，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.應(yīng)用幾何圖形中線段所代表向量的線性關(guān)系求得，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次函數(shù)，再求最值.
8. 銳角中，角A、B、C的對(duì)邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】利用正弦定理以及二倍角公式可得，再由銳角三角形可得，將化簡(jiǎn)再利用二次函數(shù)取得最值條件可得當(dāng)時(shí)，可取得最大值，即可求得結(jié)果.
【詳解】由利用正弦定理可得，
即可得，又，可得；
又，
所以；因此，即，可得，
由于為銳角三角形，則，即，解得，
，
因?yàn)椋瑒t，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，若存在最大值，
則，解得．
故選：C．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理得出角的關(guān)系，由三角形形狀以及誘導(dǎo)公式和二倍角公式，并根據(jù)二次函數(shù)取得最值的條件解不等式可得結(jié)果.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分.
9. 已知，為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則或
D. 若，則
【正確答案】AC
【分析】對(duì)于選項(xiàng)A可直接利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；對(duì)于C，通過(guò)取模運(yùn)算即可判定；對(duì)于選項(xiàng)B和D，取特殊復(fù)數(shù)即可判定.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，則和互為共軛復(fù)數(shù)，所以，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，取，此時(shí)，，滿足，
但，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，若，則，所以或，可得或，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，取，，可得，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 通過(guò)等式我們可以得到很多函數(shù)模型，例如將a視為自變量x，b視為常數(shù)，那么c就是a（即x）的函數(shù)，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數(shù)．事實(shí)上，由這個(gè)等式還可以得到更多的函數(shù)模型．若令，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），將a視為自變量x，則b為x的函數(shù)，記為，下列關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的有（ ）
A.
B. ，
C. 若，且m，n均不等于1，，則
D. 若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的值為0
【正確答案】ACD
【分析】先根據(jù)題意得出的解析式，根據(jù)計(jì)算易于判斷A，B兩項(xiàng)，對(duì)于C項(xiàng)，可根據(jù)已知推出，結(jié)合基本不等式判斷；對(duì)于D項(xiàng)，則需要等價(jià)轉(zhuǎn)化，運(yùn)用參變分離法，分區(qū)間討論得出的范圍進(jìn)行判斷.
【詳解】由題意知，則，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，，不妨取，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，且m，n均不等于1，
由得，即，結(jié)合可知，
則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則由恒成立，
得恒成立，即恒成立，
令，則，
設(shè)，由于在上單調(diào)遞減，故，
則，故；
當(dāng)時(shí)，，結(jié)合題意可知得恒成立，
即恒成立，
此時(shí)令，同理可得，
由于在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，則，故，
綜合上述可知m的值為0，D正確，
故選：ACD
11. “圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦，均過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 為定值
B. 當(dāng)時(shí)，為定值
C. 當(dāng)時(shí)，面積的最大值為
D. 的取值范圍是
【正確答案】ABD
【分析】過(guò)作直徑，利用向量加減幾何意義得判斷A；根據(jù)垂直關(guān)系及、數(shù)量積得運(yùn)算律化簡(jiǎn)判斷B；若為等邊三角形，可判斷C；若為中點(diǎn)，連接，應(yīng)用向量線性運(yùn)算的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律、圓的性質(zhì)得，進(jìn)而求范圍判斷D.
【詳解】如圖，過(guò)作直徑，依題意，
為定值，A正確；
若，則，
則，
又，則，
同理可得，故，B正確；
如圖，當(dāng)時(shí)，若為等邊三角形，
則，
下面說(shuō)明此等邊三角形存在的情況：取中點(diǎn)，連接，
則在中，，則，
又在中，，則，所以存在滿足題意的點(diǎn)，C錯(cuò)誤；
若為中點(diǎn)，連接，則
，
由題意，則，D正確.
故選：ABD
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)定義及向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化各項(xiàng)數(shù)量積或乘積關(guān)系，再由圓的性質(zhì)、基本不等式判斷各項(xiàng)正誤.
三、填空題：本題共3小題，共15分.
12. 已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則取值范圍是______.
【正確答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，作出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡，理解所求即軌跡上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形易求距離的最大、最小值,即得范圍.
【詳解】
由可知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，
而可理解為圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
作直線,交圓于點(diǎn),如圖所示.
顯然,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，,
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，.
即的取值范圍是.
故答案為.
13. 為測(cè)量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得其頂點(diǎn)P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.

【正確答案】
【分析】設(shè)，在，，分別根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出，最后利用余弦定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)塔的高，
在中，，同理可得，，
在中，，則，
，
即，解得.
所以塔的高度為米.
故答案為.
14. 設(shè)與圖象的相鄰3個(gè)公共點(diǎn)自左向右依次為A，B，C，若，則m的值為_____.
【正確答案】##
【分析】作出正弦型三角函數(shù)的圖象，利用其對(duì)稱性和周期性求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，再代入計(jì)算即可.
【詳解】作出函數(shù)的大致圖象，如圖，令，，
解得，

則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個(gè)公共點(diǎn)，，，且，
則點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且，
所以，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知，，.
（1）若，求；
（2）設(shè)，若，求，的夾角.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律求出；
（2）依題意可得，，將兩式兩邊平方結(jié)合兩角和差余弦公式及夾角定義得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)?，?br>所以，，
又因?yàn)?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，且?br>所以，
所以，，
所以，，
所以，
即，即，
所以，，所以，
所以，的夾角.
16. 已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的面積為，.
（1）求角B的大小；
（2）若的角平分線與邊相交于點(diǎn)，，，求的周長(zhǎng).
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式與所給面積建立等量關(guān)系，可求解，代入，可求，結(jié)合三角形內(nèi)角和以及兩角和的余弦公式可求出，從而求出結(jié)果.
（2）根據(jù)等面積法得到，再由余弦定理得到，即可求出，從而求出周長(zhǎng).
【小問(wèn)1詳解】
解：的面積為，則，即，
又，即，所以，
則，
，.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)榈慕瞧椒志€與邊相交于點(diǎn)，
所以，即，
所以，所以，
又由余弦定理，即，
所以，解得或（舍去），
所以.
17. 已知銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量，，.
（1）求；
（2）求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示、三角恒等變換公式得到，再由正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計(jì)算可得；
（2）由（1）問(wèn)過(guò)程知，，代入所求化簡(jiǎn)可將所求轉(zhuǎn)化為，即先求出，化邊為角，利用三角形內(nèi)角和定理、三角恒等變換、同角三角函數(shù)基本關(guān)系將轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，再利用角的范圍求得的范圍.
【小問(wèn)1詳解】
，且，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，
，．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，則，
為銳角三角形，，則，
，．
．
，，，
，，
的取值范圍為，則，
所以的范圍為.
18. 已知函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（1）求的值；
（2）設(shè).若函數(shù)和在上有相同的最大值，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，由，得，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，運(yùn)算得解；
（2）求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)取得最大值，可得出，然后對(duì)整數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
，
由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，
所以，即，解得，
，
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，
，即，
所以當(dāng)時(shí)，.
【小問(wèn)2詳解】
由（1），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為2，
而函數(shù)與存在相同的最大值，
故當(dāng)時(shí)，在上取得最大值2，
可得，，
當(dāng)時(shí)，得，則，解得，
當(dāng)時(shí)，得，則，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上所述，的取值范圍為.
19. 定義在上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，都有成立，則稱為階伸縮函數(shù).
（）若函數(shù)為二階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的值.
（）若三階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求證：函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn).
（）若函數(shù)為階伸縮函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，求在上的取值范圍.
【正確答案】(1)1；(2)證明見解析；(3).
【詳解】試題分析：（Ⅰ）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，，從而f（）=，由此能求出函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，由此能求出的值．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，，由此推導(dǎo)出函數(shù)在（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)．
（Ⅲ）當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，，由此得到，當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．
試題解析：
（Ⅰ）由題設(shè)，當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，，
∴．
∵函數(shù)f（x）為二階伸縮函數(shù)，
∴對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．
∴．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（3m，3m+1]（m∈N*）時(shí)，．
由f（x）為三階伸縮函數(shù)，有f（3x）=3f（x）
∵x∈（1，3]時(shí)，．
∴．
令，解得x=0或x=3m，它們均不在（3m，3m+1]內(nèi)．
∴函數(shù)在（1，+∞）上無(wú)零點(diǎn)．
（Ⅲ） 由題設(shè)，若函數(shù)f（x）為k階伸縮函數(shù)，有f（kx）=kf（x），
且當(dāng)x∈（1，k]時(shí)，f（x）的取值范圍是[0，1）．
∴當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，．
∵，所以．
∴當(dāng)x∈（kn，kn+1]時(shí)，f（x）∈[0，kn）．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，即0＜x≤1，
則?k（k≥2，k∈N*）使，
∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．
又，∴，即．
∵k≥2，
∴f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．

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