一、單選題
1. 已知遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 70B. 80C. 90D. 100
【正確答案】D
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出即可結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
則由題得，解得，
所以.
故選：D.
2. 已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由，的中點(diǎn)為，點(diǎn)差法得到齊次式，可求橢圓的離心率．
【詳解】橢圓，左焦點(diǎn)F?c,0，下頂點(diǎn)，
設(shè)，，的中點(diǎn)為，，．
，．
由，，兩式相減得，
可化為，得，即，兩邊平方得，
化為：，解得，又，解得．
故選：A．
3. 兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.
【詳解】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，
所以.
故選：A
4. 已知向量滿足與的夾角為，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A. 120B. 180C. 210D. 420
【正確答案】C
【分析】根據(jù)累加法可得，進(jìn)而可得，即可根據(jù)等差求和公式求解.
【詳解】，
由于，與的夾角為，故，
因此，
故，
故選：C．
5. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，平面，底面是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，為直線CP上的動(dòng)點(diǎn)，，，若平面，則（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】根據(jù)題意可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直，則直線的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例關(guān)系.
【詳解】因?yàn)槠矫?，底面是矩形，在處建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)，則，所以
，
設(shè)平面的法向量為，則，即
，令，得，所以法向量為，
設(shè)，因?yàn)椋?br>因?yàn)槠矫?，則，所以，解得，
則.
故選：B
二、多選題
6. 已知線段是圓的一條動(dòng)弦，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 直線恒過(guò)定點(diǎn)
B. 直線與圓恒相交
C. 直線，的交點(diǎn)在定圓上
D. 若為中點(diǎn)，則的最小值為
【正確答案】ACD
【分析】由直線過(guò)定點(diǎn)即可判斷A，由直線過(guò)定點(diǎn)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可判斷B，聯(lián)立直線方程，然后消去即可得到點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷C，先求得點(diǎn)的軌跡方程，再由點(diǎn)的軌跡方程，即可得到的最小值，即可判斷D.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€，即，
令，解得，則直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)橹本€，即，
令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，
將點(diǎn)代入圓可得，
即點(diǎn)在圓外，所以直線與圓不一定相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，聯(lián)立兩直線方程可得，解得，
消去可得，即，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)，因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以，
而圓的圓心，半徑為，
則圓心到弦的距離為，即，
即點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，
由選項(xiàng)C可知，點(diǎn)的軌跡方程為，圓心，半徑為，
兩圓圓心距為，
所以的最小值為，故D正確；
故選：ACD
7. 首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列4個(gè)命題中正確的有（ ）
A. 若，則，；
B. 若，則使的最大的n為15；
C. 若，，則中最大；
D. 若，則.
【正確答案】ABD
【分析】
利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，逐一檢驗(yàn)選項(xiàng)，即可得答案.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)檎龜?shù)，公差不為0，且，所以公差，
所以，即，
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，又，
所以，，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)?，則，
所以，又，
所以，
所以，，
所以使最大的n為15，故B正確；
對(duì)于C：因?yàn)?，則，
，則，即，
所以則中最大，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：因?yàn)?，則，又，
所以，即，故D正確，
故選：ABD
解題的關(guān)鍵是先判斷d的正負(fù)，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)求和公式進(jìn)行變形，求得項(xiàng)的正負(fù)，再分析和判斷，考查等差數(shù)列性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬中檔題.
8. 已知拋物線，為其焦點(diǎn)，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為
B. 若直線過(guò)焦點(diǎn)，則以為直徑的圓與相切
C. 若直線過(guò)焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則
D. 設(shè)直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則該直線的斜率與無(wú)關(guān)，與有關(guān)
【正確答案】BCD
【分析】利用拋物線的定義以及數(shù)形結(jié)合可判斷A選項(xiàng)；利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷B選項(xiàng)；求出、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷C選項(xiàng)；利用點(diǎn)差法可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示：
拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若直線過(guò)焦點(diǎn)，則，
線段的中點(diǎn)到直線的距離為，所以，，
因此，以為直徑的圓與相切，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，
聯(lián)立可得，不妨取、，則，
此時(shí)，，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以直線的斜率存在，
由題意可得，
由作差得，
所以，，D對(duì).
故選：BCD.
9. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 平面截正方體所得截面為六邊形
B. 點(diǎn)G到平面的距離為定值
C. 若，且，則G為棱的中點(diǎn)
D. 直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為
【正確答案】BCD
【分析】利用平行線的傳遞性與平行線共面判斷A，利用線面平行的判定定理判斷B，利用空間向量推得四點(diǎn)共面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求得線面角的取值范圍判斷D，從而得解.
【詳解】對(duì)于A，連接，
在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，
所以，，
所以，則平面與平面為同一平面，
所以平面截正方體所得截面為平面，為四邊形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又點(diǎn)G是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)G到平面的距離為定值，故B正確；
對(duì)于C，連接，
因?yàn)?，且，所以四點(diǎn)共面，
因?yàn)樵谡襟w中，平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，
在正方體中，，
所以四邊形是平行四邊形，則，則，
因?yàn)镋為棱的中點(diǎn)，所以G為棱的中點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為n=a,b,c，則，
令，則，故，
設(shè)直線與平面所成角，
則，
因?yàn)?，所以，則，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
10. 等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，，則______．
【正確答案】90
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算作答.
【詳解】由得：，整理得，由得：，整理得，
而，即，于是得，
所以.
故90
11. 將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________．
【正確答案】
【分析】首先判斷出數(shù)列與項(xiàng)的特征，從而判斷出兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成新數(shù)列的首項(xiàng)以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
數(shù)列是以1首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，
所以這兩個(gè)數(shù)列公共項(xiàng)所構(gòu)成的新數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項(xiàng)和為，
故答案為.
該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡(jiǎn)單題目.
12. 已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為_________．
【正確答案】
分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答．
【詳解】依題意，，而為平面的一個(gè)法向量，
所以點(diǎn)到平面的距離,
故
13. 已知離心率為 的橢圓和離心率為的雙曲線有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，是與在第一象限的公共點(diǎn)．線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為________．
【正確答案】
【分析】設(shè)為右焦點(diǎn)，由題意，，利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)有，最后用均值不等式即可求解．
【詳解】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，，
為中點(diǎn)，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，為中點(diǎn)，則，
由，，
則，，，所以，從而有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以的最小值為.
故．
思路點(diǎn)睛：
關(guān)于離心率問(wèn)題，可以根據(jù)條件得到關(guān)于a，c的齊次式，設(shè)，，利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)有，，結(jié)合，得到，利用基本不等式求的最小值即可．
四、解答題
14. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解；
（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論與的關(guān)系，求解.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)數(shù)列的公差為，
∵，∴，∵，∴ ，∴公差為，∴，
∴ ；
【小問(wèn)2詳解】
由已知，
時(shí)，；
時(shí)，；
綜上.
15. 如圖，在三棱錐中，若，，，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求異面直線與所成角的余弦值．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)向量的四則運(yùn)算，用，，表示，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；
（2）根據(jù)向量數(shù)量積公式和運(yùn)算律求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，，所以，，
所以
，
又因?yàn)?，?br>所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得
，
所以，
即異面直線與所成角的余弦值為.
16. 已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)，且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于，垂足為點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（3）設(shè)與軸交于點(diǎn)，在曲線上是否存在一點(diǎn)，使得以為直徑的圓與有除、外的公共點(diǎn)，若存在求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【正確答案】（1）
（2）
（3）存在，．
【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離公式得到，可得，進(jìn)而結(jié)合離心率求解即可；
（2）根據(jù)題意得到，可得點(diǎn)的軌跡為拋物線，進(jìn)而求解；
（3）設(shè)，，，且，，由結(jié)合向量可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切，
則，即，又，，
解得，，所以橢圓的方程是．
【小問(wèn)2詳解】
由條件可知，
即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離等于它到直線的距離，
由拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，且，
則點(diǎn)的軌跡的方程是．
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，若存在點(diǎn)，
設(shè)圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)與，則有．
設(shè)，，，且，，
則，，
所以，
整理化簡(jiǎn)得，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
則，
故的取值范圍是．
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（3）題關(guān)鍵在于根據(jù)題意由結(jié)合向量可得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式可得，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

相關(guān)試卷

2024-2025學(xué)年浙江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年浙江省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析），共19頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學(xué)年浙江省臺(tái)州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含答案）：

這是一份2024-2025學(xué)年浙江省臺(tái)州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含答案），共9頁(yè)。

2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）：

這是一份2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析），共22頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

浙江省臺(tái)州市溫嶺市新河中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

浙江省臺(tái)州市溫嶺市新河中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
浙江省臺(tái)州市山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）

浙江省臺(tái)州市山海協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）
浙江省臺(tái)州市書生中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

浙江省臺(tái)州市書生中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
2024-2025學(xué)年浙江省臺(tái)州市溫嶺市新河中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

2024-2025學(xué)年浙江省臺(tái)州市溫嶺市新河中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
月考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部