選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．若復(fù)數(shù)，則的虛部為( )
A． B．C． D．
2．如圖所示，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形斜二測(cè)畫法的直觀圖，則其原圖形的周長(zhǎng)為( )
A．4B．8
C．D．
3．在中，是邊的中點(diǎn)，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè)，則( )
A．B．C．D．
4．在中，，，點(diǎn)，是邊上兩個(gè)三等分點(diǎn)，則( )
A．B．
C．D．
5．已知向量，，向量在方向上的投影向量為( )
A. B. C. D.
6．已知的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且，則此三角形的最大角與最小角之和為( )
A．B．C．D．
7．已知圓錐的母線長(zhǎng)為4，過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為8，則該圓錐底面半徑的取值集合為( )
A. B. C. D.
8．平面向量，，滿足，，，且，則的取值范圍為( )
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分．
9．已知復(fù)數(shù)，，則下列命題正確的有( )
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
10. 在中，角所對(duì)的邊分別為，則下列說法中正確的是( )
A．若，，則一定是等邊三角形
B．若，則一定是鈍角三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是直角三角形
11. 如圖，在長(zhǎng)方形中，，，，則下列結(jié)論正確的是
( )
A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，
C．對(duì)任意，不成立D．若，則
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 ．
13．已知正四棱臺(tái)的上下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該正四棱臺(tái)的體積為 ．
14．若G為的重心，，則的最小值為 ．
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本題滿分13分)已知復(fù)數(shù)滿足，且為純虛數(shù)．
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)，的值．
16．(本題滿分15分)如圖，正三棱錐中，,,點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿三棱錐側(cè)面爬行到點(diǎn)，求：
（1）該三棱錐的體積與表面積；
（2）螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng).
17．(本題滿分15分)如圖，在梯形中，，，，E、F分別為、的中點(diǎn)，且，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求的長(zhǎng)；
（2）求的取值范圍．
18．(本題滿分17分)如圖，在中，，，且. 為線段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(在的右側(cè))，且.
（1）若時(shí)，求的周長(zhǎng)；
（2）若的面積是的面積的倍，求的大小；
（3）當(dāng)為何值時(shí)，的面積最小，最小面積是多少？
19．(本題滿分17分)正多面體是指各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角，又稱為柏拉圖多面體，因?yàn)榘乩瓐D及其追隨者對(duì)它們所作的研究而得名．自然界中有許多的柏拉圖多面體，如甲烷、金剛石分子結(jié)構(gòu)模型都是正四面體，氯化鈉的分子結(jié)構(gòu)模型是正六面體，螢石的結(jié)晶體有時(shí)是正八面體，硫化體的結(jié)晶體有時(shí)會(huì)接近正十二面體的形狀……柏拉圖多面體滿足性質(zhì)：（其中V，F(xiàn)和E分別表示多面體的頂點(diǎn)數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)）．
（1）如圖所示的正方體中，點(diǎn)為正方體六個(gè)面的中心，假設(shè)幾何體的體積為，正方體的體積為，求的值；
（2）正十二面體共有幾條棱，幾個(gè)頂點(diǎn)？
（3）判斷柏拉圖多面體有多少種？并說明理由．
高一年級(jí)3月月考（答案）
12． 13． 14．
15.（1），則；
（2），.
【詳解】（1）為純虛數(shù)，，
且，，，
；
（2）法一：把代入：，
，
化簡(jiǎn)得：，
即，
解得：，.
法二：的一根為，則另一根為：，
則，
解得：，.
16.（1）體積為，表面積為；
（2）最短路線長(zhǎng)為.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，即，
又，VB、VC在面VBC內(nèi)，得面，
，
（2）如下圖：連接，線段的長(zhǎng)度即螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)，
△中，，
由余弦定理可得：，
即.
17.【詳解】（1），，
由，則，
，
可得，解得.
（2）由圖可得，
，
，
由，則.
18.【詳解】（1）由，，，
得，又，則，，
所以，
在中，
由余弦定理可得
，則，
因?yàn)椋裕?br>∵，∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)為.
（2）設(shè)，
的面積是的面積的倍
所以，即，
在中，，
由，得，
從而，即，而，
由，得，所以，即.
（3）設(shè)，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，的面積取最小值為.
19.【詳解】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，
幾何體所有棱長(zhǎng)為，是正八面體，
所以，
所以；
（2）根據(jù)柏拉圖多面體滿足性質(zhì)：，
正十二面體有個(gè)面，即，則，
設(shè)正十二面體每一個(gè)面都是正邊形，每一個(gè)頂點(diǎn)處有條棱，
因?yàn)槎噙呅沃辽儆袟l邊，而再每個(gè)頂點(diǎn)處至少有條棱，
則，
由于每條棱都出現(xiàn)在相鄰的兩個(gè)面中，每條棱連接兩個(gè)頂點(diǎn)，
則有，即，
所以，所以，
所以，即，
由，得，
當(dāng)，即時(shí)，，符合題意，
當(dāng)，即時(shí)，（舍去），
當(dāng)，即時(shí)，（舍去），
當(dāng)，即時(shí)，（舍去），
綜上所述，，，
此時(shí)，
即正十二面體共有條棱，個(gè)頂點(diǎn)；
（3）假多面體每一個(gè)面都是正邊形，每一個(gè)頂點(diǎn)處有條棱，
因?yàn)槎噙呅沃辽儆袟l邊，而再每個(gè)頂點(diǎn)處至少有條棱，
則，
由于每條棱都出現(xiàn)在相鄰的兩個(gè)面中，每條棱連接兩個(gè)頂點(diǎn)，
則有，
代入可得，即，
當(dāng)時(shí)，，
這與矛盾，
所以中至少有一個(gè)等于，
若，則，
由于，則，
因此，則，對(duì)應(yīng)，
所以存在正四面體，正八面體，正二十面體；
若，則，
由于，則，
因此，則，對(duì)應(yīng)，
所以存在正四面體，正六面體，正十二面體
綜上所述，柏拉圖多面體只有種.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
A
B
D
D
BC
ABD
題號(hào)
11









答案
ABD









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