A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正確答案】D
【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可解答．
【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定是存在量詞命題，
故命題“，”的否定為，.
故選：D.
2. 把按斜二測(cè)畫法得到，如圖所示，其中，，那么是一個(gè)（ ）
A. 等邊三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 三邊互不相等的三角形
【正確答案】A
【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，進(jìn)而分析出的形狀．
【詳解】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：
由圖得，，故為等邊三角形，
故選：A
3. 若點(diǎn)A與直線能夠確定一個(gè)平面，則點(diǎn)A與直線的位置關(guān)系是（ ）.
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】由平面的基本定理判斷即可.
【詳解】由直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，可得D正確，
故選：D.
4. 已知某圓臺(tái)軸截面的周長(zhǎng)為10、面積為，圓臺(tái)的高為，則該圓臺(tái)的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】若圓臺(tái)上下底面半徑分別為且，根據(jù)已知列方程求得，再應(yīng)用圓臺(tái)的表面積的求法求結(jié)果.
【詳解】若圓臺(tái)上下底面半徑分別為且，則圓臺(tái)軸截面腰長(zhǎng)為，
所以，，即，
所以，可得，故，
綜上，圓臺(tái)的表面積為.
故選：C
5. 已知平面向量和滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定義求解即可.
【詳解】向量和滿足，由在方向上的投影向量為，
可得，解得，
所以在方向上的投影向量為.
故選：D.
6. 已知函數(shù)在存在最大值與最小值分別為和，則函數(shù)，函數(shù)圖像的對(duì)稱中心是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】通過分析函數(shù)，得出最大值與最小值的和，得出函數(shù)的表達(dá)式，利用對(duì)勾函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)即可得出函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn).
【詳解】由題意，
在中，，
∴，
∵最大值與最小值分別為和，
∴
在對(duì)勾函數(shù)中，對(duì)稱軸為，對(duì)稱點(diǎn)為，
在中，，
∴即，對(duì)稱軸為，
函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)向下平移1個(gè)單位得到，
∴函數(shù)對(duì)稱點(diǎn)為，
故選：C.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查.函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)稱中心，函數(shù)的最值（和），考查學(xué)生的分析和處理問題的能力，計(jì)算能力，具有一定的綜合性.
7. 已知一個(gè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為3，側(cè)面展開圖是一個(gè)面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺(tái)內(nèi)能放入一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體（圓臺(tái)表面厚度忽略不計(jì)），則該正方體體積的最大值為（ ）
A. 1B. C. D.
【正確答案】B
【分析】通過空間想象將圓臺(tái)內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體問題，轉(zhuǎn)化為求解圓臺(tái)內(nèi)球最大問題.先由側(cè)面展開前后圖形關(guān)系建立方程求解各相關(guān)各量等，再計(jì)算比較圓臺(tái)高與圓錐內(nèi)切球直徑的大小關(guān)系確定最大球狀態(tài)，求解半徑，進(jìn)而求正方體棱長(zhǎng)與體積可得.
【詳解】要使圓臺(tái)內(nèi)能放入自由轉(zhuǎn)動(dòng)的正方體的體積最大，則該正方體的外接球恰好為該圓臺(tái)內(nèi)能放入的最大的球.
設(shè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖半圓形扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，
則，化簡(jiǎn)得，又圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，
聯(lián)立，解得.
設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓半徑分別，則，
解得.

如圖1，還臺(tái)為錐，設(shè)上、下底面圓心為，
在中，，又為銳角，則.
由相似性可知，圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的底角為，
故圓臺(tái)的高.
如圖2，圓錐軸截面為正三角形，
則正三角形內(nèi)切圓即圓錐內(nèi)切球半徑長(zhǎng)為，

因?yàn)檎切蝺?nèi)切圓直徑，
故圓錐內(nèi)切球即圓臺(tái)內(nèi)能放入的最大的球，直徑為.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由正方體外接球直徑即為體對(duì)角線可得，
，解得，
此時(shí)正方體的體積最大，最大為.
故選：B.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題中圓臺(tái)內(nèi)最大球問題，注意通過比較圓臺(tái)高與圓錐內(nèi)切球直徑的大小，從而判斷最大球何時(shí)取到.
8. 已知，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】利用作商法比較與b，利用作差法比較a與b，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)論.
【詳解】，，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以，則，
，
因?yàn)?，所以，即，?br>綜上，.
故選：B.
二、多選題．本題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ）
A.
B.
C. 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上
D. 的最大值為
【正確答案】ABD
【分析】先設(shè)，，代入化簡(jiǎn)，根據(jù)為純虛數(shù)得出；再根據(jù)向量模計(jì)算方法可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷選項(xiàng)C和D.
【詳解】設(shè)，.
則.
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以，即.
所以，，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B正確.
因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均不在實(shí)軸上，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)榈膸缀我饬x為表示點(diǎn)到點(diǎn)，
所以最大值為，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
10. 已知?jiǎng)t下列說法正確的有（ ）
A. 當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增
B. 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根且
C. 若在時(shí)，有恒成立，則a的取值范圍為
D. 存在實(shí)數(shù)t，使為偶函數(shù)
【正確答案】ACD
【分析】將代入，得到函數(shù)解析式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷A；將代入，根據(jù)已知條件有，得到方程，利用韋達(dá)定理即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，分和兩種情況驗(yàn)證即可判斷C；求出，根據(jù)已知條件得方程，化簡(jiǎn)求解即可判斷D.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)
在上單調(diào)遞增，且
又在上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增選項(xiàng)正確；
對(duì)B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)
令可得，，
，，
，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，令
因?yàn)楹愠闪ⅲ?br>若則在恒成立，即在恒成立，
因?yàn)樗院愠闪?，滿足條件，
若，則在恒成立，
即在恒成立，當(dāng)時(shí)
不滿足恒成立，所以a的取值范圍是C選項(xiàng)正確；
對(duì)D選項(xiàng)又為偶函數(shù)，
存在使為偶函數(shù)D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
11. 已知棱長(zhǎng)為2的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，則下列說法正確的是（ ）
A. 球的體積為
B. 球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為
C. 球在正方體外部的體積小于
D. 球在正方體外部的面積大于
【正確答案】BCD
【分析】由棱切球的半徑為,再依次判斷即可.
【詳解】A.依題意，得棱切球的半徑為，則球的體積為，錯(cuò)誤
B.記球的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則內(nèi)接圓柱的高為：，
則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為：，
等號(hào)成立時(shí)，故球的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為：，正確
C.球在正方體外部的體積小于球體積與正方體內(nèi)切球體積之差，即，正確
D.球在正方體外部的面積等于正方體外6個(gè)球冠的表面積.
每一個(gè)球冠的表面積大于這個(gè)球冠中內(nèi)接圓錐的側(cè)面積，
則內(nèi)接圓錐的底面半徑為，高為，得圓錐的母線長(zhǎng)為：，
得內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為：，
所以6個(gè)球冠的表面積大于，正確
故選：BCD
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D項(xiàng)中球在正方體外部的面積等于正方體外6個(gè)球冠的表面積.每一個(gè)球冠的表面積大于這個(gè)球冠中內(nèi)接圓錐的側(cè)面積.
三、填空題．本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．
【正確答案】
【分析】令，則由題意可得在上是減函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立，從而列不等式組可求得答案
【詳解】令，因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，
所以在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為.
13. 已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為______.
【正確答案】
【分析】設(shè)，分析可知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.
【詳解】由題意可設(shè)：，
則，
若，即，則，
可知點(diǎn)C在以為直徑的圓上，即圓心為，半徑，
則在方向上的投影數(shù)量的最大值為，
所以的最大值為.
故答案為.
方法點(diǎn)睛：本題根據(jù)向量運(yùn)算的幾何意義把題意轉(zhuǎn)化為圖形，結(jié)合圖形分析求解.
14. 已知某圓錐側(cè)面展開后的扇形面積為定值，設(shè)扇形的圓心角為，則當(dāng)圓錐的內(nèi)切球體積最大時(shí)，______．
【正確答案】
【分析】利用等面積法求出內(nèi)切球半徑，再結(jié)合基本不等式找到內(nèi)切球半徑最大時(shí)的取等條件，再利用圓心角公式求解即可.
【詳解】設(shè)扇形面積為，圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，內(nèi)切球半徑為，
而，由勾股定理得，
而圓錐的內(nèi)切球在軸截面中與等腰三角形三邊相切，
我們以內(nèi)切球的球心為頂點(diǎn)，向等腰三角形三邊作垂線，
可將其分割為三個(gè)小三角形，其中兩個(gè)小三角形以母線為底，內(nèi)切球半徑為高，
另一個(gè)小三角形以底面圓直徑底，內(nèi)切球半徑為高，
由題意得圓錐軸截面的面積與以內(nèi)切球的球心為頂點(diǎn)分割出的小三角形面積之和相等，
而軸截面面積為，
而以內(nèi)切球的球心為頂點(diǎn)分割出的小三角形面積之和為
，
故，解得，
則該圓錐的內(nèi)切球半徑，
由扇形面積公式得，即，
且記為定值，故，即，而，
因?yàn)?br>，
由基本不等式得，
而，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，此時(shí)，
設(shè)圓錐的內(nèi)切球體積為，而由球的體積公式得，
由冪函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)圓錐的內(nèi)切球體積最大時(shí)，圓錐的內(nèi)切球半徑最大，
而，解得，
當(dāng)最大時(shí)，由弧長(zhǎng)公式得.
故答案為.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵是結(jié)合題意求出內(nèi)切球半徑，然后對(duì)其合理變形后利用基本不等式找到取得最大值時(shí)的取等條件，最后利用圓心角公式得到所要求的值即可．
四、解答題．本題共7小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在中，已知，，，AC邊上的中線為BN，M為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，連接AM交BN于點(diǎn)P．
（1）用與表示，并計(jì)算AM的長(zhǎng)；
（2）求∠NPM的余弦值．
【正確答案】（1），
（2）
【分析】（1）方法一：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算與表示，并利用數(shù)量積運(yùn)算求的模；方法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算求的模；
（2）方法一：根據(jù)平面向量線性運(yùn)算與表示，再利用平面向量夾角公式求解；方法二：利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算夾角.
【小問1詳解】
方法一：M為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，
∴．
∵，∴，
；
∵，，，∴，
∴，∴．
方法二：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得，，，
∵AC邊上的中線為BN，∴，
∵M(jìn)為BC邊上靠近B的四等分點(diǎn)，可得．
設(shè)，代入坐標(biāo)可解得，
且有．
【小問2詳解】
方法一：∠NPM為向量與的夾角，所以，
∵AC邊上的中線為BN，∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
方法二：∠NPM為向量與的夾角，所以，
，，
，，
16. 如圖，已知三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.
（1）求的大??；
（2）若，設(shè)為三角形的角平分線，求的長(zhǎng).
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和公式求解；
（2）利用面積方法和三角形的面積公式計(jì)算.
【小問1詳解】
由得,
又因?yàn)椋?br>所以,
又因?yàn)椋?br>所以,
又因?yàn)?
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以,
又因?yàn)?
所以,
所以,
故答案為.
17. 已知向量，，．
（1）若，求x的值；
（2）記，若對(duì)于任意，而恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．
【正確答案】（1）
（2）的最小值為
【分析】（1）根據(jù)向量平行，得到，由求解即可；
（2）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算得到解析式，由恒成立，再通過求解在的最值，即可得到的最小值.
【小問1詳解】
由，則，則，
，，故，
，由于，所以，
所以，則.
【小問2詳解】
==+，
==，
∵，∴，.
∵恒成立，∴，
從而，即.
18. 若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；
（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；
（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)s的最大值．
【正確答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；
（2）
（3）最大值為.
【分析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；
（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，可求得實(shí)數(shù)的最大值.
【小問1詳解】
對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則無解，
故不是“依賴函數(shù)”.
【小問2詳解】
因?yàn)樵谏线f增，故，即，，
由，故，得，
從而在上單調(diào)遞增，故.
【小問3詳解】
①若，故在上最小值為0，此時(shí)不存在，舍去；
②若，故在上單調(diào)遞減，
從而，解得(舍)或，
從而存在.使得對(duì)任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，
從而，解得，
綜上，故實(shí)數(shù)的最大值為.
方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題常見方法：
① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；
③ 討論最值或恒成立.
19. 如圖1，一個(gè)正三棱柱形容器中盛有水，底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時(shí)，水面恰好過AC，BC，，的中點(diǎn)．現(xiàn)在固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜程度不同，水面的形狀也不同．
（1）如圖2，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面高為多少?
（2）當(dāng)水面經(jīng)過線段時(shí)，水面與地面的距離為多少?
（3）試分析容器圍繞AB從圖1的放置狀態(tài)旋轉(zhuǎn)至水面第一次過頂點(diǎn)C的過程中（不包括起始和終止位置），水面面積S的取值范圍．（假設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中水面始終呈水平狀態(tài)，不考慮水面的波動(dòng)）
【正確答案】（1）6； （2）4；
（3）
【分析】（1）根據(jù)水的體積不變即可得解；
（2）根據(jù)空氣部分的體積大小判斷水面形狀，記的中點(diǎn)為，連接，利用空氣部分體積求出，然后可求側(cè)棱與水平面所成角的正弦值，由可得所求；
（3）判斷空氣部分為臺(tái)體，設(shè)，,根據(jù)體積公式和勾股定理列方程，聯(lián)立整理，代入梯形面積公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，通過換元，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.
【小問1詳解】
記水面與棱分別交于點(diǎn)，
當(dāng)側(cè)面水平放置時(shí)，水是以為底，高為8的直棱柱，
因?yàn)?，分別為棱的中點(diǎn)，
所以，所以水的體積為，
當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，設(shè)水面高為，
則，解得，
即當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面高為6.
【小問2詳解】
因?yàn)槿庵w積為，
所以三棱錐的體積為，
空氣部分的體積為，
因?yàn)椋援?dāng)水面經(jīng)過線段時(shí)，水面與棱交于點(diǎn)，如圖，
由得，
記的中點(diǎn)為，連接，則，
因?yàn)椋裕?br>又平面，平面，所以，，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>所以直線在平面內(nèi)的投影為，
所以為直線與水平面所成角，
又，所以，
所以，
因?yàn)?，所以水面到地面的距離為.
【小問3詳解】
由上可知，水面第一次過頂點(diǎn)C之前，水面與棱相交，如圖：
記的中點(diǎn)分別為，在上，且，，
易知，為正三角形，設(shè)，
則，所以，
整理得①，
又因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面?br>所以與的交點(diǎn)必在上，所以為棱臺(tái)，
所以，
整理得②，
聯(lián)立①②可得，，
因?yàn)?，所以為平行四邊形?br>所以，
易知為等腰梯形，所以為等腰梯形的高，
所以水面面積，
則
當(dāng)水面剛好過點(diǎn)時(shí)，，解得，
則，，
由題意可知，則，
記，，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，，即，
所以，所以，
即水面面積S的取值范圍為.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答關(guān)鍵在于側(cè)棱與水平面所成角的運(yùn)用，利用側(cè)面與水平面所成角表示出水面面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

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2024-2025學(xué)年浙江省寧波市高一上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）：

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