1．本卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。
3．所必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。
選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2．已知圓，則以下選項(xiàng)中與圓內(nèi)切的圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知雙曲線(xiàn)的方程是，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是與，M是雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，則的值為（ ）
A．1 B．13 C．1或13 D．4或10
4．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（ ）
A．3 B． C． D．
6．在四棱臺(tái)中，平面ABCD， ，且，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則直線(xiàn)CP與平面ABCD所成角正弦值的最大值為（ ）
A． B． C． D．
7．設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在C上，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形面積的最大值是，則橢圓C的焦距為（ ）
A． B．6 C． D．
8．記圓錐的側(cè)面是曲面，且曲面平面，其中l(wèi)是圓錐的一條母線(xiàn)，則稱(chēng)平面是“平面”，“平面”上不與l平行且不與l重合的直線(xiàn)稱(chēng)為“圓錐的斜切直線(xiàn)”．已知直線(xiàn)a是圓錐的“斜切直線(xiàn)”，且直線(xiàn)a經(jīng)過(guò)圓錐某條母線(xiàn)的中點(diǎn)，若圓錐的體積是，底面面積是，且圓錐底面中心C到直線(xiàn)a的距離是，則直線(xiàn)l與圓錐底面夾角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知圓，直線(xiàn)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則以下四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（ ）
A．圓C的圓心坐標(biāo)是 B．
C． D．的面積是
10．如圖，把正方形紙片ABCD沿著AE（E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)）翻折成平面，O是原正方形的中心，則在翻折過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．與BD所成角的最大值是
C．若F是CD的中點(diǎn)，則與平面ABCD所成角的正弦值的最大值是
D．過(guò)B做AE的垂線(xiàn)與AE交于點(diǎn)H，
11．已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．記曲線(xiàn)圍成的面積是S，則
B．若，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)B，C， 的最小值是
C．當(dāng)時(shí)，有2條不同的直線(xiàn)l，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)有3個(gè)不同的交點(diǎn)
D．若，設(shè)點(diǎn)B是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則
非選擇題部分
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則___________．
13．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段OA，OC上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)和平面所成的角為，則點(diǎn)B到直線(xiàn)EF的最大距離為_(kāi)_________．
14．已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為在直線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線(xiàn)，其中與橢圓相切于點(diǎn)D， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn)B，C當(dāng)時(shí)， __________．
四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
15．（13分）已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．
（1）求數(shù)列的公比；
（2）若是遞增數(shù)列且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
16．（15分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別是與，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，周長(zhǎng)的為16．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為1，求m．
17．（15分）如圖，三角形PAB和菱形ABCD所在平面垂直，且．線(xiàn)段BC的中點(diǎn)為E．
（1）當(dāng)時(shí)，證明：直線(xiàn)平面ABCD；
（2）當(dāng)時(shí)，求平面PAB和平面PDE夾角的正弦值．
18．（17分）已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與直線(xiàn)的距離相等．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知圓C方程是，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線(xiàn)分別與圓C相切于點(diǎn)A，B．
（i）記四邊形PACB的面積是S，若．求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍；
（ii）設(shè)直線(xiàn)PA，PB的斜率是，若，求的取值范圍．
19．（17分）取整函數(shù)被廣泛的應(yīng)用于數(shù)論，函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱(chēng)為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱(chēng)為取整函數(shù)另外也稱(chēng)是x的整數(shù)部分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，其中，求k的值；
（3）求證：為8的倍數(shù)其中．（參考公式：）
高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科答案
一、選擇題
1．【C】因?yàn)橹本€(xiàn)的方向向量為，所以直線(xiàn)的斜率，即傾斜角正切值，所以?xún)A斜角為．
2．【B】圓心坐標(biāo)，半徑對(duì)于A選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心距為，舍去
對(duì)于B選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心距為，符合題意
對(duì)于C選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心距為，舍去
對(duì)于D選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心距為，舍去
3．【B】由題意得：或13，
又不符題意，舍去．
4．【D】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解方程組得．
5．【B】由題意得：，設(shè)平面ABC的法向量為，則有：
令，解得
又點(diǎn)D到平面ABC的距離為
6．【A】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，直線(xiàn)CP與平面ABCD所成角正弦值最大為．
7．【D】由題意得：，由余弦定理得：，解得①
又當(dāng)M，N分別為橢圓得上、下頂點(diǎn)時(shí)，四邊形面積最大，
②，
又③
①②③聯(lián)立解得：焦距為．
8．【D】如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)A為母線(xiàn)的中點(diǎn)且在直線(xiàn)a上，平面的法向量．不妨取直線(xiàn)a上一點(diǎn)使得，此時(shí)，可得，可以令，則所以
此時(shí)底面中心到直線(xiàn)a的距離，
解得
而底面的法向量，記直線(xiàn)a與底面所成角為，所以．
二、選擇題
9．【AB】解析：對(duì)于A選項(xiàng)，，因此圓心的坐標(biāo)是；
對(duì)于B選項(xiàng)，圓心到直線(xiàn)的距離是，
則；對(duì)于C選項(xiàng)，，
因此C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
10．【ABD】解析：對(duì)于A選項(xiàng)，，則平面．
對(duì)于B選項(xiàng)，，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)的夾角，就是直線(xiàn)AH與AH的夾角，設(shè)，當(dāng)在平面ABCD時(shí)，，
因此直線(xiàn)BD與直線(xiàn)的夾角最大值是．
對(duì)于C選項(xiàng)，如圖所示，的軌跡是圓G，當(dāng)與圓G相切時(shí)，
則與平面ABCD所成角的正弦值的最大，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是2，因此C選項(xiàng)錯(cuò)誤．
對(duì)于D選項(xiàng)，與都是等腰三角形，，因此．
11．【AD】解析：對(duì)于A選項(xiàng)，該曲線(xiàn)的圖象如圖所示，與x軸的交點(diǎn)是，因此該封閉圖形的面積由一個(gè)正方形和四個(gè)半圓組成，計(jì)算可得正方形的面積是，半圓的半徑是，四個(gè)半圓的面積是，因此；
對(duì)于B選項(xiàng)，若過(guò)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)相交，則當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，交點(diǎn)落在以為圓心，半徑是n的圓上，而其他直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)都在圓外，但是曲線(xiàn)也經(jīng)過(guò)，因此不是最小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在曲線(xiàn)外，若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此這樣的直線(xiàn)l有4條，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，無(wú)論點(diǎn)在曲線(xiàn)內(nèi)還是曲線(xiàn)外，到曲線(xiàn)上點(diǎn)的最大值可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到如圖所示的四個(gè)圓上的點(diǎn)的最大值，由對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)到四個(gè)圓上的點(diǎn)的最大值在左上圓或者左下圓取到，則最
大值是．
三、填空題
12．2 13． 14．0
12．2 解析：已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則
13． 解析：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)O做平面的垂線(xiàn)，垂足是G，延長(zhǎng)與底交，交點(diǎn)是L，由于，則點(diǎn)L的軌跡是圓，如圖2所示，設(shè)直線(xiàn)OL的傾斜角是，則，因此圓O的切線(xiàn)方程是，
則點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離是．
當(dāng)時(shí)，“=”成立．
所以點(diǎn)B到直線(xiàn)EF的最大值是．
圖1 圖2
14．0設(shè)點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)的斜率為由于直線(xiàn)與橢圓相切，所以直線(xiàn)DP的方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)P在切線(xiàn)上，將點(diǎn)P代入，化簡(jiǎn)可得①
而，所以②
將①式和②式聯(lián)立可得，，化簡(jiǎn)得③
又因?yàn)?，即，?br>所以，將③式代入化簡(jiǎn)，可得，解得或（舍去）
所以軸，即點(diǎn)P此時(shí)為直線(xiàn)和x軸的交點(diǎn)，故
四、解答題
15．（1）解：由（2分）
化簡(jiǎn)得，解得或（6分）
（2）由題可知，（8分）
兩式相減得：，化簡(jiǎn)得（13分）
16．解：周長(zhǎng)（2分）
橢圓，將代入解得：（4分）
所以橢圓方程為（6分）
（2）由題意得，到1的距離為1的點(diǎn)的軌跡是與l平行的兩條直線(xiàn)，可設(shè)為，則
得或（8分）
因?yàn)?，所以橢圓與相交且與相切由方程組
消去y，得． ①
方程①的根的判別式
．
由，得（12分）
所以
同理：所以（15分）
17．（1）當(dāng)時(shí)，又，所以
故為等腰直角三角形，（2分）
取CD中點(diǎn)F，連AF
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，
所以
所以
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且交線(xiàn)為AB
所以平面PAB，故（6分）
所以平面ABCD（7分）
（2）如圖建系
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，可設(shè)
所以，解得，（10分）
所以（10分）
又平面PAB的法向量，設(shè)平面PDE的法向量
則
所以，化簡(jiǎn)得，令，所以
故（12分）
記平面PAB和平面PDE夾角為，
所以
所以．（15分）
18．解析：（1）設(shè)點(diǎn)，由于動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與直線(xiàn)的距離相等則點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)，拋物線(xiàn)的方程是．（4分）
（2）若，可以轉(zhuǎn)化為，設(shè)點(diǎn)，
則，則，（7分）
聯(lián)立圓方程與橢圓方程，解得，則拋物線(xiàn)與圓只相較于，而過(guò)只能做圓C的一條切線(xiàn)，因此，所以（8分）
（3），可得，可得（10分）
設(shè)PA的方程是，化簡(jiǎn)可得
由相切可得，
整理可得（13分）
，
（16分）
所以（17分）
19．（1）時(shí)，，所以
時(shí)，①，②
①-②得，，所以
又也滿(mǎn)足，故（3分）
（2）當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；
當(dāng)時(shí)，
故（9分）
（3）由題可知
先研究時(shí)，不妨設(shè)，
此時(shí)可以令（且）（其中）
（i）當(dāng)時(shí)，
，
且
所以
又，
且
所以
故，所以；（11分）
（ii）當(dāng)時(shí)，
所以
又
所以，所以（13分）
所以
（15分）
因?yàn)槭沁B續(xù)三個(gè)正整數(shù)的乘積，必為6的倍數(shù)，不妨設(shè)，故，是8的倍數(shù)（17分）題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
D
B
A
D
D
9
10
11
AB
ABD
AD

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