1. 已知函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為，那么等于（ ）
A. B. C. D. 1
【正確答案】C
【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再將代入，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以.
故選：C.
本題主要求在某點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，熟記導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.
2. 已知，則（ ）
A. 28B. 30C. 56D. 72
【正確答案】C
【分析】由組合數(shù)性質(zhì)求出，再用排列數(shù)公式求值.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以由組合數(shù)性質(zhì)得，，
所以.
故選：C.
3. 直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b=（ ）
A. -1或1B. -1或3C. -1D. 3
【正確答案】B
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得的值.
【詳解】令，解得，故切點(diǎn)為或，
而，所以或.
故選：B
4. 在端午小長假期間，某辦公室要從4名職員中選出若干人在3天假期堅(jiān)守崗位，每天只需1人值班，則不同排班方法有（ ）
A. 12種B. 24種C. 64種D. 81種
【正確答案】C
【分析】分析每天排班方法數(shù)，再由分步計(jì)數(shù)原理求解即可
【詳解】根據(jù)題意，第一天值班可以安排4名職員中的任意1人，有4種排班方法，
同理第二天和第三天也有4種排班方法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的排班方法有種，
故選：C
5. 設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A. 有極大值B. 有極小值
C. 有極大值D. 有極小值
【正確答案】A
【分析】由函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的單調(diào)性，則答案可求.
【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
有極大值，無極小值，
故選.
6. 從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為
A. 48B. 72C. 90D. 96
【正確答案】D
【詳解】因甲不參加生物競賽，則安排甲參加另外3場比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽
①當(dāng)甲參加另外3場比賽時(shí)，共有?=72種選擇方案；②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時(shí)，共有=24種選擇方案．綜上所述，所有參賽方案有72+24=96種
故答案為96
點(diǎn)睛：本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體，考查了分類計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
7. 若函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A. 1B. C. 4D.
【正確答案】B
【分析】通過導(dǎo)數(shù)確定為臨界點(diǎn)，由的符號(hào)分類討論求解即可.
【詳解】，
令，得臨界點(diǎn)（因，舍去），
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)無最大值，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，滿足題意，
故選.
8. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，，則不等式的解集為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】設(shè)g（x）＝，根據(jù)已知條件可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，從而將不等式轉(zhuǎn)化為的解集，從而可得出答案.
【詳解】解：設(shè)＝，
則＝，
∵，∴，
∴，∴y＝g（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∵
∴＝，
又＝，
∴，
∴，
∴的解集為．
故選：A．
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．
【詳解】A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC
10. [多選題]下列說法正確的是（ ）
A. 可表示為
B. 若把英文“her”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種
C. 10個(gè)朋友聚會(huì)，見面后每兩個(gè)人握手一次，一共握手45次
D. 老師手里有3張參觀游園的門票分給7人中的3人，則分法有種
【正確答案】ABC
【分析】由排列數(shù)公式可判斷A；由排列定義可判斷B；由組合定義可判斷C D．
【詳解】A項(xiàng)，，正確；
B項(xiàng)，h，e，r，的全排列為（種），正確的有1種，故可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（種），正確；
C項(xiàng)，10個(gè)朋友，兩個(gè)人握手一次，共握手（次），正確；
D項(xiàng)，3張門票屬于相同元素，故應(yīng)有種分法，D不正確．
故選：ABC.
11. 已知函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A. 的單調(diào)減區(qū)間是，B. 的定義域是
C. 的值域是D. 與有一個(gè)公共點(diǎn)，則或
【正確答案】ABD
【分析】先判斷函數(shù)定義域，再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值作出簡圖，進(jìn)而可判斷各選項(xiàng).
【詳解】對(duì)B，函數(shù)定義域滿足，解得，故B正確；
對(duì)A，，令可得和，
解得和，故的單調(diào)減區(qū)間是，，故A正確；
對(duì)C，由A可得當(dāng)和時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，且，
作出簡圖，可得的值域是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由圖象可得，與有一個(gè)公共點(diǎn)，則或，故D正確；
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)在上最小值為___________.
【正確答案】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值.
【詳解】，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函數(shù)上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；
所以.
故
13. 有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上表示不同的信號(hào)，順序不同也表示不同的信號(hào)，共可以組成______種不同的信號(hào)．
【正確答案】39
【分析】根據(jù)給定條件分成每次升1面、升2面、升3面旗3類，求出各類表示的信號(hào)數(shù)，再將各類信號(hào)數(shù)相加即得.
【詳解】每次升1面旗可組成3種不同的信號(hào)；每次升2面旗可組成種不同的信號(hào)；每次升3面旗可組成種不同的信號(hào)，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可組成種不同的信號(hào)．
故39
14. 已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【正確答案】
【分析】運(yùn)用分離參數(shù)法，將方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)問題，繼而只需研究函數(shù)的圖象的單調(diào)性、最值和端點(diǎn)值比較即得.
【詳解】由可得：，設(shè)，依題意，函數(shù)與函數(shù)的圖象在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).
由，，，
可知當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故時(shí)，
又且由知

如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，須使，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 從位女生，位男生中選出人參加垃圾分類宣傳活動(dòng).
（1）共有多少種不同的選擇方法？
（2）如果至少有位女生入選，共有多少種不同的選擇方法？
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式，即可求出結(jié)果；
（2）由題意可知，“沒有女生入選”是“至少有位女生入選”的對(duì)立事件，由此即可求出結(jié)果
【小問1詳解】
解：從位女生，位男生中選出人參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，
選擇方法數(shù)為.
【小問2詳解】
解：沒有女生入選的選擇方法數(shù)為，
所以至少有位女生入選的選擇方法數(shù)為.
16. 已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間.
【正確答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，進(jìn)而可求切線方程；
（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
求導(dǎo)，.
由點(diǎn)斜式得切線方程為：，即.
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）由（1）知，，
令，得，.
當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：
所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.
本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題.
17. 已知函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)，求函數(shù)的最小值.
【正確答案】（1）和；（2）.
【分析】
（1）由極值點(diǎn)求出參數(shù)，再代入，解不等式求遞增區(qū)間
（2）求在上的極值，與端點(diǎn)值比較得出最小值.
【詳解】（1）由題意
，則
，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和
（2）當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表
當(dāng).
當(dāng).
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.
用導(dǎo)數(shù)法求最值方法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；
18. 畢業(yè)季有位好友欲合影留念，現(xiàn)排成一排，如果：
（1）、兩人不排在一起，有幾種排法？
（2）、兩人必須排在一起，有幾種排法？
（3）不在排頭，不在排尾，有幾種排法？
【正確答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用插空法可求出排法種數(shù)；
（2）利用捆綁法可求出排法種數(shù)；
（3）分兩種情況討論：①若在排尾；②若不在排尾.分別求出每一種情況的排法種數(shù)，由加法原理計(jì)算可得出答案.
【詳解】（1）將、插入到其余人所形成的個(gè)空中，因此，排法種數(shù)為；
（2）將、兩人捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素和其他人去安排，
因此，排法種數(shù)為；
（3）分以下兩種情況討論：
①若在排尾，則剩下的人全排列，故有種排法；
②若不在排尾，則有個(gè)位置可選，有個(gè)位置可選，將剩下的人全排列，安排在其它個(gè)位置即可，此時(shí)，共有種排法.
綜上所述，共有種不同的排法種數(shù).
本題考查了排列、組合的應(yīng)用，同時(shí)也考查了插空法、捆綁法以及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
19. 已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.
【正確答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范圍為
【詳解】試題分析：（1）先求導(dǎo)，再由是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)即求解；（2）由（2）確定，再由和求得單調(diào)區(qū)間；（3）由（2）知，在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時(shí)，，可得的極大值為，極小值為，再由直線與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)則須有求解．
試題解析：（1）因?yàn)椋?br>所以，因此
（2）由（1）知，
，
．
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)增區(qū)間是，
的單調(diào)減區(qū)間是
（3）由（2）知，內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少，在上單調(diào)增加，且當(dāng)或時(shí)，
所以的極大值為，極小值為，
當(dāng)時(shí)，
所以在在三個(gè)單調(diào)區(qū)間直線有的圖象各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，
因此，的取值范圍為
考點(diǎn)：（1）函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.
x
3
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
x
0
1
2
＋
0
－
0
＋
增函數(shù)
極大值
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)

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