1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若共線，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知等差數(shù)列滿足，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．“大漠孤煙直，長河落日圓”體現(xiàn)了我國古代勞動(dòng)人民對于圓的認(rèn)知，已知，則以為直徑的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．64B．85C．85D．64
6．已知直線y=2x是雙曲線的一條漸近線，則的離心率等于（ ）
A．B．C．D．或
7．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
8．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．存在最大值，且最大值為B．存在最大值，且最大值為30
C．存在最小值，且最小值為D．存在最小值，且最小值為30
二、多選題（本大題共3小題）
9．下列說法正確的是（ ）
A．若滿足，則一定是等差數(shù)列
B．若滿足，則一定是等比數(shù)列
C．若，則既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列
D．若成等比數(shù)列，則
10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、，則下列描述正確的有（ ）
A．直線與圓相交B．的最小值為
C．存在點(diǎn)，使得D．直線過定點(diǎn)
11．在正方體中，，，則（ ）
A．若，則點(diǎn)的軌跡為線段
B．若，則點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段
C．若，則三棱錐的體積為定值
D．若，則與平面所成角的余弦值的最大值為
三、填空題（本大題共3小題）
12．若直線：與垂直，則 ．
13．已知一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為 .
14．我國某西部地區(qū)進(jìn)行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70是沙漠，從今年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的16改造為綠洲，同時(shí)原有綠洲的4被沙漠所侵蝕又變成沙漠．設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬平方千米．至少經(jīng)過 年，綠洲面積可超過60？（）
四、解答題（本大題共5小題）
15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，其中．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前10項(xiàng)的和．
16．在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值．
17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；
(3)若對任意恒成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍．
18．已知橢圓長軸長為，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．
(1)求橢圓的方程；
(2)若，求的方程；
(3)點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：為定值．
19．已知數(shù)列，若為等比數(shù)列，則稱具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，且，，求的值；
(2)若，判斷并證明數(shù)列是否具有性質(zhì)；
(3)設(shè)，數(shù)列具有性質(zhì)，其中，，，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
答案
1．【正確答案】D
【詳解】直線的斜率，即，為傾斜角，
所以.
故選：D
2．【正確答案】C
【詳解】因?yàn)椋簿€，
所以，解得，
所以.
故選：C.
3．【正確答案】D
【詳解】因?yàn)?，解得?br>故選：D.
4．【正確答案】A
【詳解】因?yàn)橐詾橹睆絻啥它c(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，
半徑為，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
即以為直徑的圓的方程為.
故選：A
5．【正確答案】C
【詳解】∵，
∴，∴，
∴，
，
故選：C.
6．【正確答案】A
【詳解】的漸近線方程為，
因此，故，
故離心率為，
故選：A
7．【正確答案】B
【詳解】函數(shù)對任意都有，
數(shù)列滿足①
又②
①②得：，
得.
故選：B.
8．【正確答案】B
【詳解】根據(jù)題意，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，
即，所以數(shù)列為以首項(xiàng)，為公差的單調(diào)遞減等差數(shù)列，
則，所以，
可知存在最大值，為.
故選：B
9．【正確答案】AD
【詳解】對A：由滿足，則是的等差中項(xiàng)，
故一定是等差數(shù)列，故A正確；
對B：若，滿足，但此時(shí)不為等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對C：若，滿足，但此時(shí)不為等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
對D：若成等比數(shù)列，設(shè)公比為，
則有，，則，故D正確.
故選：AD.
10．【正確答案】BCD
【詳解】圓的圓心，半徑，連接，
對于A，點(diǎn)到直線的距離，直線l與圓C相離，A錯(cuò)誤；
對于B，點(diǎn)在圓上，則，B正確；
對于C，由切線長定理知，，而，
又是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為，C正確；
對于D，設(shè)，則以PC為直徑的圓的方程為
即，
與已知圓的方程相減可得直線的方程為，
即，由可得，
即直線AB過定點(diǎn)，故D正確；
故選：BCD
11．【正確答案】ABC
【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸，
建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A0,0,0、、、、、、
、，
因?yàn)椋?br>對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，、、三點(diǎn)共線，
則點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；
對于B選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，
此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段，故B正確；
對于C選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，其中，
，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，可得，
，則點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，故C正確；
對于D選項(xiàng)，若，則，其中，
易知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且，
則，
因此，當(dāng)時(shí)，則與平面所成角的余弦值的最大值為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．【正確答案】
【詳解】，∵，∴，
∴，即，
∴，∴，
故
13．【正確答案】
【詳解】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
若，則的中點(diǎn)在軸上，而的中點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然不合要求，
故，
則，兩式相減得，
即，
由于弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故，
所以，即，故，
故直線的方程為，即.
故
14．【正確答案】6
【詳解】由題意得
，
所以，
則，
又，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，
則．
令，即，
兩邊取常用對數(shù)得，
所以
，
所以，
所以至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%．
故6.
15．【正確答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，則，公差，
所以等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，
∴
（2）令，得，
則前2項(xiàng)為負(fù)數(shù)，從第3項(xiàng)起為正數(shù)，
∴
16．【正確答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，所以，
在直角三角形中，，為中點(diǎn)，所以，
又，所以，
所以°，即，
又∵，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）
由（1）知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系
則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，
令，可得，
設(shè)平面的法向量為，則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則．
所以平面與平面的夾角的余弦值為．
17．【正確答案】(1)證明見解析，；
(2)；
(3).
【詳解】（1）由，則，又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列，則，
所以.
（2）由，則，
所以，
所以.
（3）由（1）（2），則，整理得恒成立，
令，則，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以，即的最小值為，
綜上，.
18．【正確答案】(1)
(2)或
(3)證明見解析
【詳解】（1）由橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0長軸長為，焦距為，
即，，∴，
故橢圓的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得，
由，得，
則．
，
解得或，
所以當(dāng)時(shí)，的方程為或
（3）直線均不與軸垂直，所以，則且，
所以
，
所以為定值．
19．【正確答案】(1)；
(2)數(shù)列具有性質(zhì)，證明見詳解；
(3)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列具有性質(zhì)可得為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可求得答案；
（2）依據(jù)數(shù)列新定義，結(jié)合等比數(shù)列定義即可判斷結(jié)論，進(jìn)而證明；
（3）求出，可得，進(jìn)而推出，分為奇、偶數(shù)，求出，綜合可得答案.
【詳解】（1）由題意數(shù)列具有性質(zhì)為等比數(shù)列，設(shè)公比為，
由得，
，又，.
（2）數(shù)列具有性質(zhì)；證明如下：
因?yàn)椋?br>所以，
則，即為等比數(shù)列，
所以數(shù)列具有性質(zhì).
（3）因?yàn)椋瑒t.
當(dāng)，，
故，
適合該式，故，
所以由，
得
，
因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，故為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，
故，.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，
故.
關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是關(guān)于數(shù)列新定義類型題目，解答的關(guān)鍵是要理解數(shù)列新定義，并依據(jù)該定義去解決問題.

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