一、單選題：本題共8小題，每小題5分、共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若（，是虛數(shù)單位），則的值分別等于（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義求值即可.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，可得.
故選：A.
2. 已知向量，若，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正確答案】C
【分析】因，則=0，后由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得答案.
【詳解】因，則，得.
故選：C
3. 已知為不共線向量，，則（ ）
A. 三點(diǎn)共線B. 三點(diǎn)共線
C. 三點(diǎn)共線D. 三點(diǎn)共線
【正確答案】A
【分析】運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，求得，從而得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，
故選：A．
4. 已知中，，，，則等于（ ）
A. B. C. D. 5
【正確答案】A
【分析】利用余弦定理可直接求出.
【詳解】在中，，
由余弦定理得，
所以.
故選：A.
本題考查余弦定理解三角形，一般地，如果知道三角形的兩邊及其夾角，求第三邊時(shí)通常利用余弦定理，本題屬于基礎(chǔ)題.
5. 設(shè)與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】直接根據(jù)投影向量的公式計(jì)算即可.
【詳解】在上的投影向量為：
.
故選：B
6. 在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（ ）

A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由向量的線性運(yùn)算結(jié)合圖形特征，求出的值即可.
【詳解】在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
則，所以，.
故選：B
7. 岳陽(yáng)樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國(guó)十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽(yáng)古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽(yáng)樓，邀好友范仲淹作《岳陽(yáng)樓記》使得岳陽(yáng)樓著稱于世.自古有"洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓"之美譽(yù).小李為測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測(cè)得，，米，則岳陽(yáng)樓的高度約為(，)（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【正確答案】B
【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【詳解】Rt△ADC中，，則，Rt△BDC中，，則，
由AC-BC=AB得，約為米.
故選：B
8. 如圖，是邊長(zhǎng)2的正方形，為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則的取值范圍為（ ）

A. B.
C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合已知圖形得出的最值，再利用數(shù)量積即可求出.
【詳解】，由投影的定義知，結(jié)合圖形得，
當(dāng)過P的直線與半圓弧相切于P點(diǎn)且平行于BC時(shí)，最大為，
此時(shí)；
當(dāng)P在C或B點(diǎn)重合時(shí)，最小為，
此時(shí)
∴
故選：C
二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.
9. 已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【正確答案】ABD
【分析】根據(jù)不共線的向量可作為一組基底判斷.
【詳解】解：對(duì)于A，與不共線，故可作為一組基底，故A正確；
對(duì)于B，和不共線，故可作為一組基底，故B正確；
對(duì)于C，，故不能作為一組基底，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，和不共線，故可作為一組基底，故D正確.
故選:ABD.
10. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】AC
【分析】由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)寫出復(fù)數(shù)，然后由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算后判斷．
【詳解】
，正確
，錯(cuò)誤
，正確
，錯(cuò)誤
故選：AC．
11. 已知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c下列命題正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若，，則外接圓半徑為10
C. 若，則為等腰三角形
D. 若，，，則
【正確答案】ACD
【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.
【詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理，可得，即，A正確；
由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；
因?yàn)椋?，即?br>整理可得，即，
因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；
因?yàn)椋?，，所以，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 化簡(jiǎn)______
【正確答案】
【分析】利用向量的加、減法運(yùn)算即可.
【詳解】
故答案為.
13. 在中，，則________________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)正弦定理即可求得角B的大小，計(jì)算可得.
【詳解】由于，
由正弦定理可得，，
即
所以，
故
14. 已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是_________________．
【正確答案】
【詳解】試題分析：因?yàn)橄蛄颗c夾角為銳角，所以且與不共線，所以且，解之得：
考點(diǎn)：向量夾角及坐標(biāo)運(yùn)算.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.
15. 已知復(fù)數(shù).
（1）若z為實(shí)數(shù)，求m值：
（2）若z為純虛數(shù)，求m值；
（3）若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)純虛數(shù)的定義進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)第一象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征進(jìn)行求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)閦為實(shí)數(shù)，
所以；
【小問2詳解】
因?yàn)閦為純虛數(shù)，
所以；
【小問3詳解】
因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
所以.
16. 平面內(nèi)給定兩個(gè)向量，
（1）求；
（2）若，求實(shí)數(shù)k的值.
【正確答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根據(jù)數(shù)乘向量以及向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算得到的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)計(jì)算模長(zhǎng)；
（2）根據(jù)數(shù)乘向量以及向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算分別計(jì)算出兩個(gè)共線向量的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示可求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，則
【小問2詳解】
由題意，，.
因?yàn)?，則，解得.
17. 在中，角所對(duì)的邊分別為，，，且.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的面積.
【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：（Ⅰ），
由余弦定理知，，
又，所以，
（Ⅱ）由，代入得，
解得（舍去負(fù)根），
所以的面積.
18. 設(shè)河寬，水流的速度，船在靜水中的速度，則船必須朝哪個(gè)方向開，才能保證：
（1）所走的路程最短？
（2）所用的時(shí)間最短？
【正確答案】（1）船朝著與水流方向成角的方向開，才能保證所走的路程最短；
（2）船朝著與河岸垂直方向開，才能保證所用的時(shí)間最短.
【分析】（1）當(dāng)船的實(shí)際速度垂直河岸方向時(shí)，所走的路程等于點(diǎn)到直線的距離，為最短路程，根據(jù)題意求出相關(guān)夾角即可確定船頭方向；
（2）當(dāng)船頭方向不與河岸垂直時(shí)，會(huì)得到一個(gè)比小的垂直于岸邊的速度，用時(shí)更長(zhǎng)，故船頭方向與河岸垂直時(shí)用時(shí)最短.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，船在靜水中的速度為，水流的速度為，設(shè)船的實(shí)際速度為，則.
如圖1，在直角三角形中，，所以.此時(shí)，船的實(shí)際速度的方向與河岸垂直，路程最短.
所以，船朝著與水流方向成角的方向開，才能保證所走的路程最短.
【小問2詳解】
如圖2，當(dāng)船頭方向與河岸垂直時(shí)，行駛時(shí)間為為最短.
所以，船朝著與河岸垂直的方向開，才能保證所用的時(shí)間最短.
19. 在平行四邊形中，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，的夾角為.
（1）若，求的值：
（2）當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形的邊和上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的取值范圍.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）以為基底表示出，再通過向量的數(shù)乘運(yùn)算及加減運(yùn)算表示出，可以得到的值，計(jì)算即可；
（2）利用向量的數(shù)乘運(yùn)算表達(dá)點(diǎn)的位置，以為基底表示出，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律，結(jié)合參數(shù)的范圍計(jì)算即可.
【小問1詳解】

如圖，由題意，因?yàn)?，所以?br>且是中點(diǎn)，即,
即,
.
【小問2詳解】

當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則,
，
，
，
又，.
當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，
，
又，
綜上所述，的取值范圍是

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