2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新高考通用)專題16直線與圓幾何問題題型深度剖析與總結(jié)(講義)(學(xué)生版+解析)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

\l "_Tc190270580" 01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 PAGEREF _Tc190270580 \h 2
\l "_Tc190270581" 02知識導(dǎo)圖·思維引航 PAGEREF _Tc190270581 \h 3
\l "_Tc190270582" 03 知識梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc190270582 \h 4
\l "_Tc190270583" 04 真題研析·精準(zhǔn)預(yù)測 PAGEREF _Tc190270583 \h 6
\l "_Tc190270584" 05 核心精講·題型突破 PAGEREF _Tc190270584 \h 8
\l "_Tc190270585" 題型一：直線的方程 PAGEREF _Tc190270585 \h 8
\l "_Tc190270586" 題型二：圓的方程 PAGEREF _Tc190270586 \h 9
\l "_Tc190270587" 題型三：直線、圓的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc190270587 \h 10
\l "_Tc190270588" 題型四：圓的動點與距離問題 PAGEREF _Tc190270588 \h 11
\l "_Tc190270589" 題型五：阿氏圓 PAGEREF _Tc190270589 \h 12
\l "_Tc190270590" 題型六：米勒定理與角度問題 PAGEREF _Tc190270590 \h 13
\l "_Tc190270591" 題型七：圓的數(shù)形結(jié)合 PAGEREF _Tc190270591 \h 14
\l "_Tc190270592" 重難點突破：與距離問題有關(guān)的最值 PAGEREF _Tc190270592 \h 15
直線與圓是高考數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容?？疾樾问蕉酁檫x擇題、填空題，難度中檔。?？记笾本€（圓）方程、點到直線距離、判斷直線與圓位置關(guān)系，以及簡單弦長與切線問題。其中，直線方程、圓的方程、兩直線平行與垂直關(guān)系等是基礎(chǔ)考點，需熟練掌握相關(guān)公式和判定方法，注重數(shù)形結(jié)合解題.
1、直線與圓的位置關(guān)系
（1）幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）
圓心到直線的距離，則：
直線與圓相交，交于兩點，；
直線與圓相切；
直線與圓相離
（2）代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個數(shù)）
由，
消元得到一元二次方程，判別式為，則：
直線與圓相交；
直線與圓相切；
直線與圓相離．
2、圓與圓的位置關(guān)系
用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：
設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：
兩圓相交；
兩圓外切；.
302
兩圓相離
兩圓內(nèi)切；
兩圓內(nèi)含（時兩圓為同心圓）
設(shè)兩個圓的半徑分別為，，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：
3、關(guān)于圓的切線的幾個重要結(jié)論
（1）過圓上一點的圓的切線方程為．
（2）過圓上一點的圓的切線方程為
（3）過圓上一點的圓的切線方程為
（4）求過圓外一點的圓的切線方程時，應(yīng)注意理解：
①所求切線一定有兩條；
②設(shè)直線方程之前，應(yīng)對所求直線的斜率是否存在加以討論．設(shè)切線方程為，利用圓心到切線的距離等于半徑，列出關(guān)于的方程，求出值．若求出的值有兩個，則說明斜率不存在的情形不符合題意；若求出的值只有一個，則說明斜率不存在的情形符合題意．
1．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（）
A．2B．3C．4D．6
2．（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）圓的圓心到直線的距離為（）
A．B．C．D．
3．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則的最小值為（）
A．1B．2C．4D．
4．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知圓的圓心與拋物線的焦點重合，且兩曲線在第一象限的交點為，則原點到直線的距離為．
5．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值．
6．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知實數(shù)滿足，則的最大值是（）
A．B．4C．D．7
7．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，記該點為A，則直線OA的傾斜角不大于的概率為（）
A．B．C．D．
8．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A．1B．C．D．
9．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）若直線被圓截得的弦長為，則的值為．
10．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是．
11．（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)點M在直線上，點和均在上，則的方程為．
12．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．
題型一：直線的方程
【典例1-1】已知，，若的平分線方程為，則所在直線的一般方程為 .
【典例1-2】光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標(biāo)原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為 .
1、已知直線，直線，則，且(或)，.
2、點到直線(A，B不同時為零)的距離.
3、兩條平行直線，(A，B不同時為零)間的距離.
【變式1-1】已知過原點的直線與圓相交于兩點，若，則直線的方程為．
【變式1-2】一條光線經(jīng)過點射到直線上，被反射后經(jīng)過點，則入射光線所在直線的方程為．
1.過定點A的直線與圓交于B，C兩點，點B恰好為AC的中點，寫出滿足條件的一條直線的方程．
題型二：圓的方程
【典例2-1】如圖是一個中國古典園林建筑中常見的圓形過徑門，已知該門的最高點到地面的距離為米，門在地面處的寬度為米.現(xiàn)將其截面圖放置在直角坐標(biāo)系中，以地面所在的直線為軸，過圓心的豎直直線為軸，則門的輪廓所在圓的方程為（）
A．B．
C．D．
【典例2-2】過點引圓：的兩條切線，切點分別為，．若，則過，，三點的圓的方程為（）
A．B．
C．或D．或
1、圓的方程
（1）圓的定義
在平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓
（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（3）圓的一般方程
圓方程為，圓心坐標(biāo)：，半徑：
【變式2-1】已知直線l與拋物線交于A，B兩點（B在第一象限），C是拋物線的準(zhǔn)線與直線l的交點，F(xiàn)是拋物線G的焦點，若，則以AB為直徑的圓的方程為（）
A．B．
C．D．
【變式2-2】“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相輸出垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為橢圓的蒙日圓．若橢圓C：的離心率為，則橢圓C的蒙日圓的方程為（）
A．B．C．D．
1.已知圓，P為直線上的動點，過點P作圓C的切線，切點為A，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，的外接圓的方程為（）
A．B．
C．D．
題型三：直線、圓的位置關(guān)系
【典例3-1】若直線與曲線恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例3-2】在平面直角坐標(biāo)系中，滿足不等式組的點表示的區(qū)域面積為（）
A．B．C．D．
1、直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.
2、圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.
【變式3-1】設(shè)圓和不過第三象限的直線，若圓上恰有三點到直線的距離均為2，則實數(shù)（）
A．B．1C．21D．31
【變式3-2】已知圓與圓交于、兩點，則（為圓的圓心）面積的最大值為（）
A．B．C．D．
1.設(shè)有一組圓，若圓上恰有兩點到原點的距離為1，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
題型四：圓的動點與距離問題
【典例4-1】若實數(shù)、滿足條件，則的范圍是（）
A．B．C．D．
【典例4-2】已知點，，若圓上存在點P滿足，則實數(shù)a的取值的范圍是．
解決與圓相關(guān)的長度或距離的最值問題，通常的策略是根據(jù)所涉及的長度或距離的幾何定義，借助圓的幾何特性，通過數(shù)形結(jié)合的方法來尋找解答。
【變式4-1】已知點是圓上一點，則的范圍是．
【變式4-2】已知點P(m，n)在圓上運動，則的最大值為，最小值為，的范圍為．
1.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．
題型五：阿氏圓
【典例5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)且的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點是圓上任一點，點，，則的最小值為（）
A．1B．C．D．
【典例5-2】古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點是滿足的阿氏圓上的任意一點，點為拋物線上的動點，在直線上的射影為，則的最小值為 .
一般地，平面內(nèi)到兩個定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，此圓被叫做“阿波羅尼斯圓”．特殊地，當(dāng)時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
【變式5-1】古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：若動點M與兩個定點A，B的距離之比為常數(shù)（，），則點M的軌跡是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知，M是平面內(nèi)一動點，且，則點M的軌跡方程為 .若點Р在圓上，則的最小值是 .
【變式5-2】已知實數(shù)滿足，則的最小值為 .
1.阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離之比為定值的點的軌跡是圓.”人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點P是滿足的阿氏圓上的任意一點，則該阿氏圓的方程為；若Q為拋物線上的動點，Q在y軸上的射影為M，則的最小值為 .
題型六：米勒定理與角度問題
【典例6-1】（多選題）已知點在圓：上，點，，則下列說法中正確的是（）
A．點到直線的距離小于6B．點到直線的距離大于2
C．的最大值為D．的最大值為
【典例6-2】德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”（也稱“米勒定理”）：若點是的邊上的兩個定點，C是邊上的一個動點，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點C時，最大．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，點F是y軸負(fù)半軸的一個動點，當(dāng)最大時，的外接圓的方程是（）．
A．B．
C．D．
米勒定理：已知點，是的邊上的兩個定點，點是邊上的一動點，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形的外接圓與邊相切于點時，最大．
【變式6-1】已知為坐標(biāo)原點，點，圓，點為圓上的一動點，則的最小值為 .
【變式6-2】已知圓C：，點P是圓C上的動點，點，當(dāng)最大時，所在直線的方程是 .
1.已知，，是圓上的一個動點，則的最大值為 .
題型七：圓的數(shù)形結(jié)合
【典例7-1】過直線上一點作圓的兩條切線，當(dāng)直線關(guān)于直線對稱時，點的坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【典例7-2】已知是圓上一動點，若直線上存在兩點，使得能成立，則線段的長度的最小值是（）
A．B．C．D．
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式7-1】已知是圓上一個動點，且直線與直線相交于點，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【變式7-2】過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）
A．B．C．D．
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線與直線交于點P，則對任意實數(shù)a，的最小值為（）
A．4B．3C．2D．1
重難點突破：與距離問題有關(guān)的最值
【典例8-1】已知，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【典例8-2】，，函數(shù)的最小值為 .
利用幾何意義轉(zhuǎn)化
【變式8-1】已知，則的最小值為 .
1.著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．已知，則的最小值為．
考點要求
目標(biāo)要求
考題統(tǒng)計
考情分析
直線與方程
掌握直線方程，運用數(shù)形結(jié)合解題
2024年北京卷第3題，4分
2023年I卷第6題，5分
2025年高考數(shù)學(xué)可能會涉及直線與圓的方程，包括直線方程的一般形式、圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式等。同時，可能會考察直線與圓的位置關(guān)系，如相交、相切、相離等，以及相關(guān)的計算和應(yīng)用。
直線與圓的位置關(guān)系
理解位置關(guān)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法
2024年甲卷（理）第12題，5分
2023年甲卷（理）第8題，5分
2023年II卷第15題，5分
2022年II卷第15題，5分
圓與圓的圓的位置關(guān)系
掌握判定方法及應(yīng)用
2022年II卷第14題，5分
位置關(guān)系
相離
外切
相交
內(nèi)切
內(nèi)含
幾何特征
代數(shù)特征
無實數(shù)解
一組實數(shù)解
兩組實數(shù)解
一組實數(shù)解
無實數(shù)解
公切線條數(shù)
4
3
2
1
0

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