一．問題綜述
定點(diǎn)問題是常見的出題形式，解決這類問題的關(guān)鍵是引入變量表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。
1、解決直線過定點(diǎn)問題的基本步驟：（1）設(shè)出直線，（2）借助韋達(dá)定理和已知條件找出與的一次函數(shù)關(guān)系式，（3）代入直線方程，得出定點(diǎn)。
2、處理定點(diǎn)問題的技巧：（1）引進(jìn)參數(shù)法，設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或者曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，即所求的定點(diǎn)。（2）特殊到一般法。從特殊位置入手，找到定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)。
3、其中共線問題是解析幾何中常見問題之一，解決此類問題常利用向量共線定理，可以從兩方面入手（1）共線向量坐標(biāo)交叉相乘相等（2）直線上任意兩點(diǎn)的向量存在倍數(shù)關(guān)系
下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見的定點(diǎn)模型．
二．典例分析
類型1：“手電筒”模型
手電筒模型：限定AP與BP條件(如定值，定值，則直線AB過定點(diǎn)(因三條直線形似手電筒，故名曰“手電筒模型”）
【例1-1】已知橢圓：函若直線：與橢圓相交于求兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)。求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】設(shè)，由得
以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)
解得且滿足，
當(dāng)時，：，直線過定點(diǎn)與已知矛盾．
當(dāng)時，：，直線過定點(diǎn)．
綜上可知：直線過定點(diǎn)
【方法小結(jié)】本題為”弦對定點(diǎn)張直角”的一個例子：圓錐曲線如橢圓上任意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于AB，則AB必過定點(diǎn)(參考百度文庫文章”圓錐曲線的弦對定點(diǎn)張直角的一組性質(zhì)”)
【例1-2】（2017全國Ⅰ理20）已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).
【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).
又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.
因此，解得.
故C的方程為.
（2）設(shè)直線與直線的斜率分別為k1，k2，
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.
則，得，不符合題設(shè).
從而可設(shè)l：（）.將代入得
由題設(shè)可知.
設(shè)，則，.
而.
由題設(shè)，故.
即.
解得.
當(dāng)且僅當(dāng)時，，欲使l：，即，
所以l過定點(diǎn)（2，）
【方法小結(jié)】本題為手電筒模型中定值一個例子，由定值 得到k與m的一次關(guān)系，再代入直線方程，得到定點(diǎn)。
類型2：切點(diǎn)弦恒過定點(diǎn)
【例2-1】過橢圓的右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為
求證：直線恒過定點(diǎn)
略
【解析】有如下結(jié)論：圓上一點(diǎn)處的切線方程為，類比也有結(jié)論：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為
【解】（1）設(shè)則的方程為，
點(diǎn)在上 ① 同理可得 ②
由①②知的方程為，即 ③
易知右焦點(diǎn)滿足③ 故直線恒過定點(diǎn)
（2）略
【例2-2】（2019全國Ⅲ文21）已知曲線：，D為直線上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線， 切點(diǎn)分別為A，B.
（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：
（2）若以為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.
【解】，則.
由于，所以切線DA的斜率為，故 .整理得
設(shè)，同理可得. 故直線AB的方程為.
所以直線AB過定點(diǎn).
（2）略
【方法小結(jié)】切點(diǎn)弦方程是指從圓錐曲線外一點(diǎn)可引兩條切線，切點(diǎn)為，連接兩個切點(diǎn)所得方程具有相同的推導(dǎo)方法。切點(diǎn)弦性質(zhì)可以作為結(jié)論，在考試中可以借鑒本題的書寫步驟。切點(diǎn)弦方程的推導(dǎo)簡單，方程形式簡潔，可以大大簡化解題過程。
類型3：相交弦恒過定點(diǎn)
【例3】如圖，已知直線：，過橢圓：的右焦點(diǎn)，且交橢圓于
兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在直線：上的射影依次為點(diǎn)連接AE，BD，試探索當(dāng)變化時，直線AE，BD是否交于一定點(diǎn)N？若交于N，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明，否則說明理由
【解析】相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用，但是相交弦過定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計算量相對較大，解題過程需要思路清晰，同時注意總結(jié)這類問題的通法.
【解法一】，先探索，當(dāng)時，直線軸，則ABED為矩形，由對稱性知，AE與BD交于定點(diǎn)，
證明：設(shè)，當(dāng)變化時首先AE過定點(diǎn)N
即

又
而
A、N、E三點(diǎn)共線，同理B、N、D三點(diǎn)共線
與相交于定點(diǎn)
【解法二】本題也可以直接得出AE和BD的方程，令，得與軸交點(diǎn)M、N，然后兩個坐標(biāo)相減=0，計算量也不大。
【方法小結(jié)】方法1采用歸納猜想證明，簡化解題過程，是證明定點(diǎn)問題的一類通法，但是需要注意解答的嚴(yán)謹(jǐn)。
類型4：動圓恒過定點(diǎn)
動圓恒過定點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)是垂直向量問題，也可以理解為“弦對定點(diǎn)張直角”的新應(yīng)用
【例4-1】已知橢圓的離心率為，并且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程
（2）過點(diǎn)的動直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)T?若存在，求出T的坐標(biāo)，若不存在，說明理由
【解】（1）由
由直線與拋物線相切得
故所求橢圓為
（2）當(dāng)與軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為
當(dāng)與軸垂直時，以AB為直徑的圓的方程為
由 即兩圓的公共點(diǎn)為(0，1)
因此所求點(diǎn)T如果存在，只能是(0，1)，事實(shí)上.點(diǎn)(0，1)就是所求點(diǎn)，證明如下
當(dāng)與軸垂直時，以AB為直徑的圓過T(0，1)
當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線：
由
記點(diǎn)，則 又
即以AB為直徑的圓恒過T，故在坐標(biāo)平面上存在T(0，1)滿足題意
【例4-2】（2019·北京高考真題（理））已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn)．
【解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，
故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.
(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.
故：.
設(shè)，則，
直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，
易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，
且：，，
則圓的方程為：，
令整理可得：，解得：，
即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn).
【方法小結(jié)】圓過定點(diǎn)問題，可以先取特殊值或者極值，找出定點(diǎn)，再證明向量數(shù)量積等于0.
三．鞏固練習(xí)
1．（2017新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)在橢圓：上，過做軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足 QUOTE QUOTE NP=2NM NP=2NM ．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且 QUOTE QUOTE OP?PQ=1 OP?PQ=1 ．證明：過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．
2．（2011山東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：．如圖所示，斜率為且不過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若
（i）求證：直線過定點(diǎn)；
（ii）試問點(diǎn)能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由．
3．（2014山東）已知拋物線的焦點(diǎn)為，為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)，且有，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時，為正三角形。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點(diǎn)，
（?。┳C明直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
4．（2018·黑龍江哈爾濱三中高二期中（文））曲線，直線關(guān)于直線對稱的直線為，直線，與曲線分別交于點(diǎn)、和、，記直線的斜率為．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）當(dāng)變化時，試問直線是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請說明理由．
5．（2016·浙江高二期中）已知圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，直線與分別與軸交于兩點(diǎn)．
（1）若時，求以為直徑圓的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．
6.（2017·江西高考模擬（文））如圖，已知直線關(guān)于直線對稱的直線為，直線與橢圓分別交于點(diǎn)、和、，記直線的斜率為.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）當(dāng)變化時，試問直線是否恒過定點(diǎn)? 若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請說明理由.
7．（2019·全國高三競賽）如圖，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)和焦點(diǎn)分別在軸、軸上的橢圓、均過點(diǎn)，且橢圓、的離心率均為。過點(diǎn)作兩條斜率分別為、的直線，分別與橢圓、交于點(diǎn)、。當(dāng)時，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由。
8．已知曲線和都過點(diǎn)，且曲線的離心率為.
（1）求曲線和曲線的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，分別在曲線，上，，的斜率分別為，，當(dāng)時，問直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

【鞏固練習(xí)參考答案】
1．【解析】（1）設(shè)，，則，，．
由得 ，．
因?yàn)樵谏?，所以?br>因此點(diǎn)的軌跡方程為．
（2）由題意知．設(shè)，，則
，，，
，，
由得，又由（1）知，
故．
所以，即．又過點(diǎn)存在唯一直線垂直與，所以過點(diǎn)且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)．
2．【解析】（Ⅰ）設(shè)直線，由題意，
由方程組得，
由題意，所以
設(shè)，由韋達(dá)定理得
所以
由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此
此時
所以O(shè)E所在直線方程為又由題設(shè)知D（－3，m），
令=－3，得，即=1，所以
當(dāng)且僅當(dāng)==1時上式等號成立，此時 由得
因此 當(dāng)時，取最小值2．
（Ⅱ）（i）由（I）知OD所在直線的方程為
將其代入橢圓C的方程，并由
解得
又，
由距離公式及得
由
因此，直線的方程為
所以，直線
3．【解析】（Ⅰ）由題意知，設(shè)，則的中點(diǎn)為
因?yàn)?，由拋物線的定義可知，
解得或（舍去）
由，解得．所以拋物線的方程為．
（Ⅱ）（?。┯桑á瘢┲?，設(shè)．
因?yàn)椋瑒t，
由得，故，故直線的斜率
因?yàn)橹本€和直線平行，
設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程得，
由題意，得
設(shè)，則
當(dāng)時，，
可得直線的方程為，由，
整理得，直線恒過點(diǎn)
當(dāng)時，直線的方程為，過點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)．
（ⅱ）由（?。┲本€過定點(diǎn)，
所以。
設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上
故．設(shè)，直線的方程為
由于，可得，代入拋物線的方程得
所以，可求得，
所以點(diǎn)到直線的距離為
==
則的面積，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
所以的面積的最小值為．
4．（Ⅰ）證明：設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，
直線與直線的交點(diǎn)為，
∴，，，，
由得①，
由，得②，
由①②得，
；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，
由，得，
可得或，
即，
由，可將換為，
可得，
，
即直線：，
可得 ，
即為，
則當(dāng)變化時，直線過定點(diǎn)．
5．試題分析：由直線方程得，由得故所求面積為．
（2）根據(jù)兩直線互相垂直設(shè)出直線AP，BP的方程，寫出以MN為直徑的圓的方程，令y=0得定點(diǎn)和．
試題解析：（1）解析：當(dāng)時，直線方程是，所以；直線方程是，所以，因此．所以以為直徑圓的面積是．
（2）解法1：設(shè)直線交軸于；同法可設(shè)直線交軸于，線段的中點(diǎn)．所以以為直徑的圓的方程為：
，展開后得，
令，得，則過定點(diǎn)和．
解法2：設(shè)，線段線段的中點(diǎn)．所以以為直徑的圓的方程為：，展開后得，
考慮到，有，
令，得，則過定點(diǎn)和．
考點(diǎn)：直線與圓的綜合應(yīng)用．
6.【解析】試題分析：（Ⅰ）可以設(shè)直線的方程為，再設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為，于是分別表示出，由直線對稱性可知， 所在直線與垂直，且中點(diǎn)在上，于是整理得出的值；（Ⅱ）本問考查橢圓中直線過定點(diǎn)問題，設(shè)，將AM方程與橢圓方程聯(lián)立，可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理將直線AN方程與橢圓方程聯(lián)立，可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以求出直線MN的方程，從而判定直線MN是否過定點(diǎn).
試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對稱點(diǎn)為
直線與直線的交點(diǎn)為，∴
，由
得……..①
由得…….②，
由①②得
.
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，由得，
∴，∴.
同理： ，

，∴
即：
∴當(dāng)變化時，直線過定點(diǎn).
方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題的探索與證明時一般考慮以下兩種解法：（1）可以先設(shè)直線方程為，然后利用條件建立的等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思路找出定點(diǎn)；（2）從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān).
7.【詳解】注意到，橢圓、的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為；
直線，
由 .
則點(diǎn).內(nèi)飾地，點(diǎn).
因?yàn)椋?，點(diǎn).
則.
故
直線過定點(diǎn).
8.（1）將點(diǎn)P坐標(biāo)代入曲線即可求得r，得曲線的方程；將點(diǎn)P坐標(biāo)代入曲線方程，結(jié)合橢圓離心率，即可求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。
（2）設(shè)、和直線的方程、直線的方程，分別聯(lián)立橢圓方程，用k表示出，求得直線AB的斜率，表示出AB的直線方程，進(jìn)而求得過的定點(diǎn)坐標(biāo)。
【詳解】
（1）曲線和都過點(diǎn)
∴，，曲線的方程為
∵曲線的離心率為
∴
∴
∴曲線的方程，
（2）設(shè)，，直線的方程為，代入到，消去，
可得，解得或，
∴，
直線的方程為，代入到程，消去，可得，
解得或，，
∵，
∴直線的斜率，
故直線的方程為，
即，
所以直線恒過定點(diǎn)

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