時間：120 分鐘 滿分：150 分
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一個
選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．
1. 若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則及共軛復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.
【詳解】∵ ，∴ ，
∴ ，故 .
故選：B.
2. 已知向量 ， 滿足 ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件可計算出 和 的值，即可得到 .
【詳解】∵ ，∴ ，即 ，故 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，故 ，即 ，
∴ ， ，∴ .
故選：D.
3. 已知數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列，若 ， ，則 （
第 1頁/共 24頁
（北京）股份有限公司）
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)計算得解.
【詳解】等差數(shù)列 中， ，解得 ，
等比數(shù)列 中， ， ，
所以 .
故選：A
4. 下列四個選項中，使 成立的充分不必要條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得答案.
【詳解】A.當 時，滿足 ，但 ；當 時，滿足 ，但 .
故 是 的既不充分也不必要條件，A 錯誤.
B.令 ，則 定義域為 ，
∵ ，∴ 是奇函數(shù)，
當 時， ， 在 上為增函數(shù)，故 在 上為增函數(shù)，
由 可得 ，由 可得 ，
故 是 的充要條件，B 錯誤.
C.∵ 在 上為增函數(shù)， ，∴ ，
當 時， 無意義， 不成立，
故 是 的充分不必要條件，C 正確.
第 2頁/共 24頁
（北京）股份有限公司D.∵ 在 上為增函數(shù)，
∴由 可得 ，由 可得 ，
故 是 的充要條件，D 錯誤.
故選：C.
5. 已知函數(shù) ，若 ，則 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析得函數(shù) 為奇函數(shù)，通過求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式.
【詳解】由題意得，函數(shù) 的定義域為 .
∵ ，
∴ 為奇函數(shù).
∵ ，∴ ，
∵ ，當且僅當 ，即 時取等號， ，
∴ 恒成立，即 在 上為增函數(shù).
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ，即 的取值范圍為 .
故選：C.
6. 若 ，則（ ）
A. B.
C. D.
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（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】利用兩角和與差的正余弦公式展開，再進行合并，即可求解.
【詳解】因為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故選:B
7. 已知雙曲線 與橢圓 有相同的左、右焦點，分別為 ， ，以
線段 為直徑的圓與雙曲線 及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于 ， 兩點，且線段 的中點在另
一條漸近線上，則 的面積為（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出 ， 的坐標以及以線段 為直徑的圓的方程，聯(lián)立圓和 可得 點坐標，進
而得出 的中點坐標，代入 ，結(jié)合 即可求出雙曲線方程，再與圓的方程聯(lián)立可得
點坐標，利用三角形的面積公式即可求解.
【詳解】由題意可知 ，所以 ， ， ，
以線段 為直徑的圓的方程為 ，
第 4頁/共 24頁
（北京）股份有限公司雙曲線 的漸近線方程為 ，
由 可得 ，即 ，
因為點 在第一象限，所以 ， ，
所以 ， 中點為 ，
因為點 在漸近線 上，
所以 ，即 ，所以 ，
又由 解得 ， ，
所以雙曲線 ，
聯(lián)立 可得 ，解得 ，
因為 在第一象限，所以 ，
所以 的面積 ，
故選：A
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（北京）股份有限公司【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是求出 中點坐標 ，代入 結(jié)
合 解出雙曲線方程，求出 點坐標.
8. 已知對于 都有 ，則 的最小值為（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將題意的不等式變形為 ，構(gòu)造函數(shù) ，利用函數(shù)的單調(diào)
性得到不等式組 ，再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】由 ，得 ，
即 ，得 .
設(shè) ，則 ，
所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，又 ，
所以 ，即 .
設(shè) ，則 ，
令 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，
得 ，所以 ，
即實數(shù) 的最小值為 .
故選：C
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（北京）股份有限公司【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是將題意的不等式變形為 ，構(gòu)造函數(shù)
，利用函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組 ，再次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出函數(shù)
的最小值即可.
二、多選題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求．全部選對得 6 分，選對但不全的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 下列四個命題中正確的是（ ）
A. 已知事件 相互獨立， ， ，則
B. 已知隨機變量 ，若 ，則
C. 已知隨機變量 ，若 ，則
D. 已知 ， ， ，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用獨立事件的概率乘法公式和概率加法公式判斷 A；利用正態(tài)分布的對稱性判斷 B，利用二項分
布的方差公式和方差的性質(zhì)判斷 C，利用全概率公式判斷 D.
【詳解】選項 A：因 事件 相互獨立， ， ，
所以 ， ，A 說法錯誤；
選項 B：因為隨機變量 ， ，
又因為 ，所以 ， ，B 說法正確；
選項 C：由 解得 ，
又因為隨機變量 ，所以 ，解得 ，C 說法正確；
第 7頁/共 24頁
（北京）股份有限公司選項 D：因為 ，所以 ，
所以 ，D 說法正確；
故選：BCD
10. 已知正方體 的棱長為 2， 為正方體 的內(nèi)切球 的直徑， 為
正方體 表面上一動點，則下列說法正確的是（ ）
A. 若 在線段 上運動，則
B. 若 在線段 上運動，則 的最小值為
C. 與 所成角的范圍為
D. 的取值范圍為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于 A，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)可判定；對于 B，最短距離問題可把兩個線段展開到一個平面
考慮；對于 C，利用線線角的概念及球的性質(zhì)可得線線角的最大值進而可判斷；對于 D，可采用極化恒等式
來轉(zhuǎn)化數(shù)量積結(jié)合球的性質(zhì)即得.
【詳解】對于 A，連接 ，由正方體的性質(zhì)可知 平面 ， 平面
，故 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ， ，同理可得 ，
又 平面 ，所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
第 8頁/共 24頁
（北京）股份有限公司所以 ⊥ ，故 A 正確；
對于 B，把平面 繞著 展開到平面 ，使得 位于 兩側(cè)，如圖所示，
則 ， ，故 B 正確；
對于 C，易知 的中點即為球心 O，如下圖所示：
當 AM 與球相切時，AM 與 所成的角最大，此時 ，
顯然 ，結(jié)合兩直線所成角 范圍可知 AM 與 所成角的范圍為 是錯誤的，故 C 錯誤；
對于 D，依題意可知 O 為正方體的中心，如下圖所示：
，
又因為 MN 為球 O 的直徑，所以 ， ，即可得 .
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（北京）股份有限公司易知當點 P 為正方體與球 O 的切點時， 最?。划旤c P 為正方體的頂點時， 最大，故
，因此可得 的取值范圍為 ，故 D 正確.
故選：ABD.
11. 橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個焦點．
現(xiàn)橢圓 的焦點在 軸上，中心在坐標原點，左、右焦點分別為 ， ．一束光線從 射出，經(jīng)橢圓鏡面
反射至 ，若兩段光線總長度為 4，且橢圓的離心率為 ，上頂點為 ，定點 ，點 為橢圓
上的動點，動直線 為橢圓 的切線，右焦點 關(guān)于直線 的對稱點為 ，
，下列說法正確的是（ ）
A. 橢圓 的標準方程為 B. 的最大值為
C. 的最小值為 3 D. 的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知條件可求 的值，進而可得橢圓 的標準方程，即可判斷選項 A；設(shè) ，利用兩
點距離公式，建立 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式，從而求得 的最大值，即可判斷選項 B；利用橢圓的定義
將 轉(zhuǎn)化為 ，再利用三點共線取得最小值，即可判斷選項 C；根據(jù)光學(xué)性質(zhì)
得到 Q 點的軌跡方程，再利用點到直線距離的幾何意義求解，即可判斷選項 D.
【詳解】
對于選項 A，由題意可知， ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
第 10頁/共 24頁
（北京）股份有限公司所以橢圓 的標準方程為 ，故 A 正確；
對于選項 B，因為 ，設(shè) ，且 ，
則 ，
所以 的最大值為 ，故 B 錯誤；
對于選項 C，因為 ，
當且僅當 三點共線時等號成立， 取到最小值，
由 ， ， ，
所以 ，
所以 的最小值為 3，故 C 正確；
對于選項 D，設(shè)切點為 ，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知， 三點共線，
所以 ，
所以 點的軌跡是以 為圓心，4 為半徑的圓，
則 表示 點到直線 距離的 倍，
圓心 到直線 距離為 ，
所以 點到直線 距離最大值為 ，最大值為 ，
所以 的取值范圍為 ,故 D 正確.
故選：ACD
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 在 的二項式中，所有項的二項式系數(shù)之和為 256，則常數(shù)項等于________．
第 11頁/共 24頁
（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)所有項的二項式系數(shù)之和求得 ，根據(jù)二項式展開式的通項公式求得常數(shù)項.
【詳解】由于所有項的二項式系數(shù)之和為 ，
二項式 展開式的通項公式為 ，
令 ，所以常數(shù)項為 .
故答案為：
13. 足球世界杯小組賽中，同一小組的每支隊伍都必須和組內(nèi)其他隊伍各進行一場比賽，比如 組中有 支
隊伍，則該組需要進行 場比賽．按此規(guī)則，設(shè)一個含有 支球隊的小組中進行的所有比賽場次為
場，則 ________．
【答案】
【解析】
【分析】利用組合數(shù)公式可求得 的表達式，然后利用裂項相消法可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】一個含有 支球隊的小組中進行的所有比賽場次為 場，任何兩支球隊需進行一場比賽，
則 ，當 時，則 ，
故
.
故答案為： .
14. 如圖，一點從正方形的頂點 處出發(fā)在各頂點間移動，每次移動要么以 的概率沿平行于 方向（正、
反方向均可）移動一步；要么以 的概率沿平行于 方向（正、反方向均可）移動一步．設(shè)移動
步后回到點 的概率為 ，到達點 的概率為 ，則 ________， ________．
第 12頁/共 24頁
（北京）股份有限公司【答案】 ①. ##0.625 ②.
【解析】
【分析】根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式求出 ，再由 、 ，
即可得到 是以 為首項、公比的等比數(shù)列，從而求出 的通項公式.
【詳解】依題意 ， ，
又 ，
，
所以 ，
又 ，
所以 是以 為首項， 為公比的等比數(shù)列，所以 .
故答案為： ；
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出 、 ，再結(jié)合等比數(shù)列的定義求出
的通項公式.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 如圖，在四面體 中， 平面 ， ， 為 的重心，點 在線段
上， ．
第 13頁/共 24頁
（北京）股份有限公司（1）證明： ；
（2）若 ， ，求平面 與平面 的夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直去證明線線垂直，結(jié)合線線平行即可；
（2）利用空間直角坐標系，借助空間向量運算來求兩平面夾角的余弦值即可.
【小問 1 詳解】
如圖，連接 并延長交 于 ，連接 ．
∵ 為 的重心，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
又∵ ， ，且 平面 ，
∴ 平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ．
【小問 2 詳解】
如圖，以 為 軸， 為 軸， 軸 建立空間直角坐標系，則
第 14頁/共 24頁
（北京）股份有限公司， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
設(shè)平面 的法向量
,令 ， .
設(shè)平面 的法向量
，令 ， .
∴
∴平面 與平面 的夾角的余弦值為 .
16. 已知函數(shù) ，其圖象相鄰對稱軸間的距離為 ，若將其圖象向右平移 個單位得
到函數(shù) 的圖象．
（1）求函數(shù) 在 上的值域；
（2）在銳角 中，角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 ，且
①求 ；
②求 的最小值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù) 的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出 ，再根據(jù)圖象平移得到 ，再由
范圍求出 的范圍可得答案；
第 15頁/共 24頁
（北京）股份有限公司（2）①由（1）得出 ，利用正弦定理化簡可得答案； ②利用兩角和的正切展開式、基本不等
式可得答案.
【小問 1 詳解】
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【小問 2 詳解】
①∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
又由正弦定理 得 ，
∴ ；
②因為 ，所以 ，
因為 ，
所以 ，
當且僅當 時取等號．所以 ，
解得 ，即 ．
17. 高中生堅持跑操有利于增強體質(zhì)．某高中實踐活動小組經(jīng)過調(diào)查所在學(xué)校學(xué)生堅持跑操的次數(shù)與綜合體
測成績等信息，得到如下數(shù)據(jù)：該學(xué)校有 的學(xué)生每月平均堅持跑操的次數(shù)超過 40 次，這些學(xué)生中，綜合
第 16頁/共 24頁
（北京）股份有限公司體測成績達到“及格”等級的概率為 ，而每月平均堅持跑操的次數(shù)不超過 40 次的學(xué)生的綜合體測成績達
到“及格”等級的概率為 ．
（1）若從該學(xué)校任意抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生綜合體測成績達到“及格”等級的概率；
（2）已知該實踐活動小組的 6 名學(xué)生中有 4 名學(xué)生綜合體測成績達到“及格”等級，從這 6 名學(xué)生中抽取
2 名學(xué)生，記 為抽取的這 2 名學(xué)生中綜合體測成績達到“及格”等級的人數(shù)，求隨機變量 的分布列和
數(shù)學(xué)期望．
（3）經(jīng)統(tǒng)計：該校學(xué)生綜合體測得分 近似服從正態(tài)分布 ，若得分 ，則綜合體測成績
達到“優(yōu)秀”等級，假設(shè)學(xué)生之間綜合體測成績相互獨立．現(xiàn)從該校所有學(xué)生中抽取 40 名學(xué)生，記 為這
40 名學(xué)生中綜合體測成績達到“優(yōu)秀”等級的人數(shù)，求 的數(shù)學(xué)期望．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：若隨機變量 服從正態(tài)分布 ，則 ，
，
【答案】（1）
（2）分布列見解析，
（3）6
【解析】
【分析】（1）利用全概率公式計算；
（2）求出分布列，然后根據(jù)定義計算期望值；
（3）先利用正態(tài)分布的性質(zhì)計算 的概率，然后利用二項分布計算概率.
【小問 1 詳解】
設(shè)事件 “抽取 1 名學(xué)生每月平均堅持跑操的次數(shù)超過 40 次”，
則 “抽取 1 名學(xué)生每月平均堅持跑操的次數(shù)不超過 40 次”，
事件 “抽取 1 名學(xué)生綜合體測成績達到“及格”等級” ，
由全概率公式： ，
∴從該學(xué)校任意抽取一名學(xué)生，該學(xué)生綜合體測成績達到“及格”等級的概率為
【小問 2 詳解】
的可能取值為 0，1，2 ，
第 17頁/共 24頁
（北京）股份有限公司， ， ，
∴ 的分布列為：
0 1 2
；
【小問 3 詳解】
， ，
， ，
∴ 的數(shù)學(xué)期望約為 6 人.
18. 已知拋物線 的焦點為 .拋物線 上一點 滿足 ， 為直線
上的動點，過 作曲線 的兩條切線 ， ，其中 為切點．
（1）求拋物線 方程；
（2）求證：直線 恒過定點；
（3）求 面積的最小值．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由焦半徑公式可得 ，進而可得解；
（2）先設(shè) ， ， ，求得切線方程，由切線交點 可得直線 的方程為
，進而可得；
（3）先求弦長 ，再求 到直線 的距離 ，可得
第 18頁/共 24頁
（北京）股份有限公司，進而可得.
【小問 1 詳解】
由題意 故 ，所以拋物線方程為 .
【小問 2 詳解】
設(shè) ， ， ，
由 得 ，故切線 ： ，即 ，
同理可得切線 ： ，
在兩條切線，則 ，所以直線 ，即 ，
因 ，故 ，故直線 恒過定點 .
（法二）
當直線 斜率存在時，設(shè) ，
聯(lián)立 ，得 設(shè) ， ， ，
， ， ，
由 得 故切線 ，即
同理切線 ，
聯(lián)立得 ，故 ，
代入直線 得 ，
直線 ，所以恒過定點
當直線 斜率不存在時，由對稱性知 ，直線 ，也過定點
第 19頁/共 24頁
（北京）股份有限公司綜上：直線 恒過定點 .
【小問 3 詳解】
聯(lián)立 ，得 ，
由韋達定理可得 ， ，
到直線的距離
當 時， 最小值為
（法二）
當直線 斜率不存在時，直線 ， ， 到直線距離為 8，
當直線 斜率存在時
，
所以 到直線的距離 ，
，
當 時， 的最小值為 3，故 ，
第 20頁/共 24頁
（北京）股份有限公司所以 的面積的最小值為 .
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問，先用弦長公式表示 ，再用點到直線的距離公式表示 到直線 的
距離 ，進而可得 .
19. 已知函數(shù) （ 為自然對數(shù)的底數(shù)）.
（1）若 ，求實數(shù) 的值；
（2）證明： ；
（3）對 恒成立，求 取值范圍.
【答案】（1）1 （2）證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令 對任意 恒成立，討論兩種情況，可得 且
，從而可得答案；
（2）由（1）知，當 時， ，即 ，等價于 ，
要證明 等價于證明 ；
（3）令 ，分類討論，通過多次求導(dǎo)，分別得到函
數(shù)的單調(diào)性與最值，可以求出 取值范圍.
【小問 1 詳解】
，
令 ，對任意 恒成立，
對于函數(shù) ， ，由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以 時，函數(shù) 單調(diào)遞減， 時函數(shù) 單調(diào)遞增，
所以 時，函數(shù) 取得最小值 0，即 當且僅當 時等號成立，
第 21頁/共 24頁
（北京）股份有限公司當 時， ，因為 ，所以 ；
當 時， ，因為 ，所以 ；
當 時，不等式恒成立；
綜上，實數(shù) 的值為 1；
【小問 2 詳解】
由（1）知，當 時， ，即 ，
，
證明： 只需證明 ，
即證： .
令 .
當 時，顯然 單調(diào)遞增， ，
在 上單調(diào)遞減， ，
當 時，顯然 ，即 .
故對一切 ，都有 ，即 ，
故原不等式 成立；
【小問 3 詳解】
令 ，
①若 ，當 時， ，
單調(diào)遞增，
,
故存在唯一 ，使得 ，則當 為減函數(shù)，
，此時 ，與題意不符（舍）.
第 22頁/共 24頁
（北京）股份有限公司②若 ，
（i）當 ，則由①可知， 在 單調(diào)遞增，
在 單調(diào)遞增，所以 ，
所以 成立.
（ii）當 在 單調(diào)遞增，
，故存在唯一 ，使得 ，
當 時， 在 上單調(diào)遞減，
當 時， 在 上單調(diào)遞增，
，故存在唯一 ，使得 ，
當 時， 在 上單調(diào)遞增，
當 時， 在 上單調(diào)遞減，
在 恒成立，
在 單調(diào)遞增，
恒成立，
時， 恒成立，
綜上所述， .
【點睛】不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù) 恒成立( 即可)或 恒成立
（ 即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值 或
恒成立；④ 討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.
第 23頁/共 24頁
（北京）股份有限公司第 24頁/共 24頁
（北京）股份有限公司

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這是一份黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題，文件包含數(shù)學(xué)期末考試題pdf、數(shù)學(xué)答案pdf、數(shù)學(xué)評分標準參考pdf等3份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共9頁， 歡迎下載使用。

黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題：

這是一份黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題，共2頁。

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