黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附答案）

這是一份黑龍江省哈爾濱市第九中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附答案），共10頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2.已知兩條直線及平面，則下列推理正確的是（ ）
A.， B.
C. D.
3．已知直線的傾斜角為，則
A．B．C．D．
4.下列命題錯(cuò)誤的是
A．已知非零向量，，，則“”是“”的必要不充分條件
B．已知，是實(shí)數(shù)，則“”的一個(gè)必要不充分條件是“”
C．命題“，”的否定為“，”
D．若命題“，，”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
5．若直線與直線平行，則它們之間的距離為
A．B．C．D．
6．已知函數(shù)滿足，，且（1），則（1）（2）（3）的值為
A．96B．C．102D．
7．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最大值是
A．B．C．D．
8．已知為橢圓：上一點(diǎn)，，為左右焦點(diǎn)，設(shè)，，若，則離心率
A．B．C．D．
二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上異于長軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
A．△的周長為10B．橢圓的焦距為6
C．△面積的最大值為D．橢圓的離心率為
10．已知空間四點(diǎn)，0，，，3，，，0，，，6，，則下列說法正確的是
A．B．
C．點(diǎn)到直線的距離為D．，，，四點(diǎn)共面
11．下列結(jié)論正確的是
A．若圓，圓，則圓與圓的公共弦所在直線的方程是
B．圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1
C．曲線與曲線恰有三條公切線，則
D．已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為4
12．如圖三棱錐中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是
A．存在實(shí)數(shù)使得
B．當(dāng)、、兩兩垂直時(shí)，
C．當(dāng)、、兩兩所成角為且為中點(diǎn)時(shí)
D．當(dāng)、、兩兩垂直時(shí)，為中點(diǎn)，是錐體側(cè)面上一點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的路徑長為
= 2 \* ROMAN II卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13.函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為
14．對任意的正整數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，若點(diǎn)在直線上，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 ．
15．三個(gè)“臭皮匠”在閱讀一本材料時(shí)發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．即過點(diǎn)，，且一個(gè)法向量為，，的平面的方程為，過點(diǎn)，，且方向向量為，，的直線的方程為．三個(gè)“臭皮匠”利用這一結(jié)論編了一道題：“已知平面的方程為，直線是兩個(gè)平面與的交線，則直線與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰知“諸葛亮”很快就算出了答案．請問答案是 ．
16．如圖，直四棱柱中，底面為平行四邊形，，，，，點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），點(diǎn)是半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若三棱錐的外接球表面積為，則的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．在中，角，，所對的邊分別為，，，且．
（1）求；
（2）已知，為邊上的一點(diǎn)，若，，求的長．
18．給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑是的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為．
（1）求橢圓和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）若點(diǎn)，是橢圓的“準(zhǔn)圓”與軸的兩交點(diǎn)，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
19.已知圓：，兩點(diǎn)，.
= 1 \* GB2 ⑴若，直線過點(diǎn)且被圓所截的弦長為6，求直線的方程；
= 2 \* GB2 ⑵若圓存在點(diǎn)，使得，求圓半徑的取值范圍.
20．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）求滿足的所有正整數(shù)．
21．如圖①所示，長方形中，，，點(diǎn)是邊靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
（1）求四棱錐的體積的最大值；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
22．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)，若恒成立，求的最大值；
（3）已知，證明：．
哈九中2024屆高三學(xué)年上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案
= 1 \* ROMAN I卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．B 2.D 3．A 4.B 5.B 6．C 7．D 8．B
二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．AB 10．BD 11．ABC 12．BC
= 2 \* ROMAN II卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 14．； 15． 16．．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．【解答】（1）因?yàn)椋?br>所以，
即，
所以，因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>（2）因?yàn)?，，?br>根據(jù)余弦定理得，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
在中，由正弦定理知，，
所以，
所以，，
所以．
18．【解答】（1）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，
所以，
因?yàn)闄E圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，
所以，
則，
故橢圓的方程為，其“準(zhǔn)圓”方程為；
（2）不妨設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
所以，
不妨設(shè)，，
此時(shí)，，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
則的取值范圍是，．
19.【解答】 = 1 \* GB2 ⑴過點(diǎn)B且與圓相交的直線斜率必存在，設(shè)直線l斜率為k，則直線l方程為，即，圓心到的距離，因?yàn)橹本€被圓所截的弦長為6，且圓的半徑，故，所以，解得，故直線的方程為或
= 2 \* GB2 ⑵設(shè)圓上一點(diǎn)，使得，則有，整理得，即，故點(diǎn)在以為圓心，且半徑為2的圓上.又因?yàn)?當(dāng)兩圓外切時(shí)，，這時(shí)，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，，當(dāng)兩圓相交時(shí)，，這時(shí).綜上所述，的取值范圍是
20．【解答】（1）證明：由題意，
可知，
兩邊同時(shí)減去2，
可得，
，，
，
數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）解：由（1），可得，
則，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，，，
滿足的所有正整數(shù)為1，2．
21．【解答】（1）取的中點(diǎn)，連接，
，，
當(dāng)平面平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，
此時(shí)平面，且，
底面為梯形，面積為，
則四棱錐的體積最大值為；
（2）連接，由，得，
為的平面角，即，過點(diǎn)作平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，0，，，2，，，3，，，3，
過作于點(diǎn)，由題意得平面，
設(shè)，，，
則，
即，
，
設(shè)平面的法向量為，
由，
取，得；
設(shè)平面的法向量為，
，
由，
取，得．
設(shè)兩平面夾角為，
則
．
令，則，，得．
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值．
平面和平面夾角余弦值的最小值為．
22．【解答】（1）因?yàn)?，所以?br>當(dāng)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．
所以單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增為；
（2），則，
所以，所以在上單調(diào)遞增，
又（1），，
故存在唯一的實(shí)數(shù)，使得即成立．
故時(shí)；，時(shí)．
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．
所以，
其中，令，，
因?yàn)?，?br>所以在上單調(diào)遞減，所以（2）（1）即，
故，故所求的最大值為．
（3）證明：由（1）可得（1），則，
可得，即，即，
令，所以，所以，即，
所以，，2，，，
令，則，且不恒為零，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，
所以，，2，，，
所以