知識點01平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2(如圖①所示)是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基，記為{e1，e2}．
2．正交分解：若基中的兩個向量互相垂直，則稱這組基為正交基，在正交基下向量的線性表示稱為正交分解．若基中的兩個向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標準正交基．
【即學即練1】下列關于基底的說法正確的序號是( )
①平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【即學即練2】若是平面內(nèi)向量的一組基，則下面的向量中不能作為一組基的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【即學即練3】如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( )
A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2
C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2
【即學即練4】在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，若點D滿足eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，以b與c作為基底，則eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D.eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
知識點02平面向量的坐標表示
在平面直角坐標系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為標準正交基．對于坐標平面內(nèi)的任意向量a，以坐標原點O為起點作OP＝a(通常稱OP為位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實數(shù)x，y，使OP＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)稱為向量a在標準正交基{i，j}下的坐標，記作a＝(x，y)．
注：1.對平面向量坐標的幾點認識
(1)設OA ＝xi＋yj(O為坐標原點)，則向量OA 的坐標(x，y) 就是終點A的坐標；反過來，終點A的坐標就是向量OA的坐標(x，y).因此，在直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應的．
(2)兩向量相等的等價條件是它們對應的坐標相等．
(3)要把點的坐標與向量的坐標區(qū)別開來，相等的向量的坐標是相同的，但起點和終點的坐標卻可以不同．
2．符號(x，y)的意義
符號(x，y)在直角坐標系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量，為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．
【即學即練5】下列說法正確的有( )
①向量的坐標即此向量終點的坐標；
②位置不同的向量其坐標可能相同；
③一個向量的坐標等于它的終點坐標減去它的起點坐標；
④相等向量的坐標一定相同．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【即學即練6】如圖，向量a，b，c的坐標分別是________，________，________.
【即學即練7】已知，若的終點坐標為（3，-6），則的起點坐標為（ ）
A．（-4，-8）B．（-4，8）C．（4，-8）D．（4，8）
【即學即練8】已知，，若，則點的坐標為（ ）
A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）
知識點03平面向量運算的坐標表示
注：(1)向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關系，只與其相對位置有關系，即兩向量的坐標相同時，兩個向量相等，但它們的起點和終點的坐標卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則AB ＝(3，3)，CD ＝(3，3)，顯然AB ＝CD，但A，B，C，D各點的坐標都不相同．
(2)運算時，注意向量的起點與終點的順序不要顛倒．
【即學即練9】已知向量，，則向量（ ）
A．B．C．D．
【即學即練10】設，，，，則（ ）.
A．B．C．D．
【即學即練11】已知向量，則____________
【即學即練12】已知平行四邊形ABCD的三個頂點，，的坐標分別是,,,，則向量的坐標是（ ）
A．B．C．D．
知識點04 中點坐標公式
設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點，則x= x1+x22y=y1+y22．
【即學即練13】已知，，M是線段的中點，那么向量的坐標是（ ）
A．B．C．D．
【即學即練14】已知，則線段的中點坐標為_______.
知識點05 平面向量平行的坐標表示
a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
注：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)當b≠0時，a＝λb.
這是幾何運算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關系．
(2)x1y2－x2y1＝0.
這是代數(shù)運算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點、程序化的特征．
(3)當x2y2≠0時，x1x2＝y(tǒng)1y2，即兩向量的對應坐標成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤．
【即學即練15】下列各組向量是平行向量的有________．(填序號)
①a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；
③a＝(2,3)，b＝(3,4)； ④a＝(2,3)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，2)).
【即學即練16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，則k＝________.
【即學即練17】若點，，三點共線，則的值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
題型一：對平面向量基本定理的理解
例1．（2024高一下·全國·專題練習）下列三種說法：①一個平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個平面內(nèi)有無數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定的．
其中，說法正確的為（ ）
A．①②B．②③
C．①③D．①②③
變式1．【多選】（2024高一·江蘇·專題練習）設，是不共線的兩個向量，則下列各組向量能作為一組基底的是（ ）
A．與 B．與
C．與D．與
變式2．【多選】（2024高一下·福建福州·階段練習）若是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024高一下·福建福州·期末）如圖所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
對基的理解
(1)兩個向量能否作為一組基，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．
(2)一個平面的基一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x1=x2y1=y2
提醒：一個平面的基不是唯一的，同一個向量用不同的基表示，表達式不一樣．
題型二：用基表示平面向量
例2．（2024高三下·山東德州·開學考試）在中，點在直線上，且滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
變式1．（2024·廣東佛山·模擬預測）在中，，若，線段與交于點，則（ ）
A．B．
C．D．
變式2．（2024·山西運城·一模）已知所在平面內(nèi)一點，滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
變式3．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A．B．C．D．
變式4．（2024·全國·模擬預測）在等腰梯形中，，，點是線段上靠近的三等分點，則（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
用基表示向量的兩種基本方法
用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對待求向量不斷地進行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．
題型三 平面向量基本定理的應用
（一）利用平面向量基本定理求參數(shù)
例3．（2024·湖南·模擬預測）在中，，點滿足，若，則的值為 .
變式1．（2024高三下·全國·專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則 .

變式2．（2024高三下·全國·專題練習）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點E滿足，CD與AE交于點M，若，則 .
變式3．（2024高二下·湖南岳陽·開學考試）在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，連接、，交于點.若（），則 .
變式4．（2024高三上·河南·專題練習）已知D，E分別為的邊AB，BC上的點，且，，CD與AE相交于點O，若，則 ．
（二）確定兩直線交點的位置問題
例4．（2024高一下·江蘇·專題練習）如圖，在中，點M是BC的中點，點N在AC上，且，AM與BN相交于點P，求與.
變式1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，在中，若，，過點的直線交直線分別于兩點，且，探究之間的關系.

變式2．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，，AD與BC相交于點M.設，.

(1)試用基底表示向量；
(2)在線段AC上取一點E，在線段BD上取一點F，使EF過點M，若，，求的值.
變式3．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，是上一點，是上一點，且，過點作直線分別交于點.
(1)用向量與表示；
(2)若，求和的值.
【方法技巧與總結(jié)】
1．利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有x=my=n
2．充分利用平面幾何知識對圖中的有關點進行精確定位，往往可使問題更便于解決．
3.用向量解決平面幾何問題的一般步驟
(1)選取不共線的兩個平面向量作為基．
(2)將相關的向量用基向量表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．
(3)利用向量知識進行向量運算，得向量問題的解．
(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解．
題型四 平面向量的坐標表示
例5．（2024高一下·全國·專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，，分別為與兩個坐標軸正方向同向的單位向量，，是平面內(nèi)的向量，且A點坐標為，則下列說法正確的是 ．(填序號)

①向量可以表示為；
②只有當?shù)钠瘘c在原點時；
③若，則終點A的坐標就是向量的坐標．
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個單位向量作為基底，若，，則向量的坐標為（ ）
A．B．
C．D．
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）在平面直角坐標系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計算出它們的坐標．
變式3．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，弧的中點為，則（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧與總結(jié)】
在向量的坐標表示中，一定要分清表示向量的有向線段的起點與終點的坐標，同時注意區(qū)分點的坐標與向量的坐標寫法的不同．
題型五 平面向量的坐標運算
例6．【多選】（2024高一下·全國·專題練習）下列各式不正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，，則
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）已知，，求：
(1)；
(2)；
(3).
變式2．（2024高一下·全國·專題練習）已知，若，，求的坐標．
變式3．【多選】（2024高一下·全國·專題練習）已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標為（ ）
A．B．
C．D．
變式4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知向量，，若滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
變式5．（2024高一下·四川自貢·期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
【方法技巧與總結(jié)】
1．向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算，另外，解題過程中要注意方程思想的運用．
2．利用向量的坐標運算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標相同這一原則，通過列方程(組)進行求解．
題型六 平面向量共線的坐標表示
（一）向量共線的判定與證明
例7．（2024高三上·上海浦東新·階段練習）設，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充分必要條件D．非充分非必要條件
變式1．（2024高一下·全國·專題練習）下列各組向量中，共線的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
變式2．【多選】（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中與共線的是（ ）
A．B．
C．D．
（二）利用向量共線的坐標表示求參數(shù)
例8．（2024高一下·河南洛陽·階段練習）已知向量，則“ ”是 “”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
變式1．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，.若與平行，則（ ）
A．B．
C．7D．
變式2．（2024高一·江蘇·專題練習）已知向量，.若，則 ．
變式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，則（ ）
A．B．0C．1D．
變式4．（2024高一·全國·專題練習）平面內(nèi)給定三個向量，且，求實數(shù)關于的表達式.
變式5．（2024高三上·江西贛州·階段練習）已知向量 ，若與共線且同向，則實數(shù)λ的值為（ ）
A．2B．4C．D．或4
變式6．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設，向量，，且，則（ ）
A．B．C．10D．
（三）三點共線問題
例9．（2024高一·全國·隨堂練習）判斷下列各組三點是否共線：
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，.
變式1．（2024高三上·上海黃浦·開學考試）若三點不能構(gòu)成三角形，則 .
變式2．（2024高二上·北京豐臺·期中）已知，，三點共線，則 .
變式3．（2024高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點共線，則（ ）
A．－16B．16C．D．
變式4．（2024高一下·江蘇無錫·期末）已知點，，，若A，B，C三點共線，則的坐標為（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.
(1)若與共線，求的值；
(2)若，，且三點共線，求的值.
變式6．（2024高三上·天津河北·期中）設，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則 ，的最小值為 .
【方法技巧與總結(jié)】
1.向量共線的判定方法
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．
2.根據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問題的兩種思路
(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．
(2)利用向量共線的坐標表達式x1y2－x2y1＝0求解．
3.利用向量解決三點共線問題的一般思路：(1)利用三點構(gòu)造出兩個向量，求出唯一確定的實數(shù)λ；(2)利用向量運算的坐標表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過同一點，可得兩向量所在的直線必重合，即三點共線．
一、單選題
1．（2024高一下·河南·期中）設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（ ）
A．和B．與
C．與D．與
2．（2024·全國·模擬預測）如圖，在中，為的中點，，與交于點，若，，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（ ）
A．3B．5C．7D．11
4．（2024高一·江蘇·專題練習）已知，，三點共線，且，，若點的縱坐標為，則點的橫坐標為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量，，則等于（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習）如圖所示的矩形中，，滿足，，G為EF的中點，若，則的值為（ ）
A．B．3C．D．2
7．（2024高三上·全國·階段練習）在平行四邊形中，，，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
8．（2024·全國·模擬預測）在中，，是的中線，若，，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．（2024高一上·湖南長沙·期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．（2024高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點E在線段AC上，AD與BE交于點F，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024高一上·浙江·期末）下列命題中錯誤的是（ ）
A．已知為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底
B．長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量
C．方向相同的兩個向量，向量的模越大，則向量越大
D．若，則存在唯一實數(shù)使得
12．（2024高一下·全國·專題練習）若，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則下列說法不正確的是（ ）
A．可以表示平面內(nèi)的所有向量
B．對于平面中的任一向量，使的實數(shù)，有無數(shù)多對
C．，，，均為實數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使
D．若存在實數(shù)，，使，則
三、填空題
13．（2024高三·全國·專題練習）已知點，且，則點的坐標是 ．
14．（2024高一下·遼寧·期末）已知四邊形的對角線交于點為的中點，若，則 .
15．（2024高一下·全國·專題練習）已知、是兩個不共線的向量，，，若與是共線向量，則實數(shù) .
16．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量．若非零實數(shù)滿足，則 .
17．（2024高一下·全國·專題練習）已知向量是一個基底，實數(shù)x，y滿足，則 .
四、解答題
18．（2024高二上·廣東·學業(yè)考試）已知向量，，點．
(1)求線段BD的中點M的坐標；
(2)若點滿足點P，B，D三點共線，求y的值．
19．（2024高一·全國·單元測試）在平行四邊形中，．

(1)如圖1，如果分別是的中點，試用分別表示.
(2)如圖2，如果是與的交點，是的中點，試用表示.
20．（2024高三·全國·專題練習）在平行四邊形中，，為的中點，延長交于點，若，求的值.

21．（2024高三上·陜西銅川·期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點，交于．
(1)用和表示；
(2)求證：．
22．（2024高三·全國·專題練習）如圖，已知點是邊長為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過點，并繞點轉(zhuǎn)動，分別交邊于點，設，其中．
(1)求的值；
(2)求面積的最小值，并指出相應的的值．
課程標準
學習目標
(1)理解平面向量基本定理及其意義．能推導平面向量基本定理和運用平面向量基本定理解決某些數(shù)學問題．
(2)借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示．
(3)會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算．
(4)能用坐標表示平面向量的共線條件．
1.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量；
2.能夠靈活應用向量定理解決平面幾何問題.
3.掌握平面向量的坐標表示，理解點坐標與向量坐標的區(qū)別與聯(lián)系.
4.平面上向量的和、差及數(shù)乘運算，會用坐標表示中點坐標.
5.掌握向量平行的坐標表示.
文字敘述
符號表示
加法
兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
減法
兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)
數(shù)乘向量
實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標
若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)
向量的坐標
一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)

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高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.1 平面向量基本定理

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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