第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》就最早提到了負(fù)數(shù)；的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖所示圖形中是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列事件中，是隨機(jī)事件的是（ ）
A．明天太陽從東方升起B(yǎng)．平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓
C．任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是D．經(jīng)過有交通信號的路口時(shí)遇見紅燈
4．我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來解釋．現(xiàn)有三種類型卡片A、B、C，想要拼成如圖所示長方形，則還需要C類型卡片（ ）張

A．3B．4C．5D．6
5．下列各種現(xiàn)象中，屬于中心投影現(xiàn)象的是（ ）
A．陽光下旗桿的影子B．臺(tái)燈下書本的影子
C．太陽光下廣告牌的影子D．正午陽光下的樹影
6．兩條直線與在同一直角坐標(biāo)系中的圖像位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)軸于點(diǎn)，連接，則的值為（ ）
A．B．C．D．
8．若且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程的解為整數(shù)時(shí)，所有符合條件的b的值和為（ ）
A．277B．240C．272D．256
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（ ）
A．3B．C．D．2
10．如圖，如圖，直線與拋物線的圖象都經(jīng)過軸上的點(diǎn)，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，其對稱軸為直線，且．直線與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）．則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①；②；③；④．
A．0B．1C．2D．3
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
11．若，則2x+6的平方根是 ．
12．你知道嗎？我們賴以生存的美麗地球是一個(gè)近似于圓形的球體，它的半徑長約千米．如果讓你做一次旅行，沿著軌道乘“天宮一號”20天走完等于地球半徑長的路程，則“天宮一號”平均每天要飛行 千米．（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）
13．已知直線與直線交點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則b= ．
14．如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球處測得一棟樓頂部處的仰角是，測得這棟樓的底部處的俯角是60°，熱氣球與這棟樓的水平距離是30米，那么這棟樓的高度是 米（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，）
15．如圖，在中，，點(diǎn)為射線上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），直線于點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)．若，則 ．
16．如圖，正方形和正方形的頂點(diǎn)在同一條直線上，頂點(diǎn)在同一條直線上，是的中點(diǎn)，的平分線過點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：；；；，其中正確的有 （填序號）．

三、解答題（本題共8小題，共72分。其中：17-21每題8分，22-23每題10分，24題12分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（8分）
解關(guān)于的分式方程：．
（8分）
如圖，在和中，，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上．求證：．
（8分）
“2024年9月22日，太原舉行馬拉松比賽”，賽事共有四項(xiàng)：A“馬拉松”、B“半程馬拉松”、C“迷你馬拉松”、D“家庭親子跑”．小凡、小明和小穎參加了該項(xiàng)賽事的志愿者服務(wù)工作，組委會(huì)隨機(jī)將志愿者分配到四個(gè)項(xiàng)目組．
(1)為估算本次賽事參加“迷你馬拉松”的人數(shù)，小凡對部分參賽選手作如下調(diào)查：
①請?zhí)畛霰碇兴钡臄?shù)據(jù)．
②請估算本次賽事參加“迷你馬拉松”人數(shù)的概率______．（精確到）
③若本次參賽選手大約有40000人，請你估計(jì)參加“迷你馬拉松”的人數(shù)是多少？
(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求小明和小穎至少有一人被分配到“迷你馬拉松”項(xiàng)目組的概率．
（8分）
如圖，的直徑為，點(diǎn)在圓周上（異于，），．
（1）若，，求圖中扇形的面積．
（2）若是的平分線，求證：直線是的切線．
（8分）
如下圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，請用無刻度直尺完成下列作圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）
(1)在圖1中，將△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到，請畫出和點(diǎn)O；
(2)在圖1中，在邊上找點(diǎn)P，使得；
(3)在圖2中，經(jīng)過A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，作的角平分線；
(4)在圖2中，在（3）的條件下，上一點(diǎn)N不在網(wǎng)格線上，作弦弦．
（10分）
發(fā)石車（圖1）是古代一種攻城器械，據(jù)《三國志》記載：曹操創(chuàng)制發(fā)石車，攻破袁紹軍壁樓．如圖2，發(fā)石車位于點(diǎn)O處，其前方有一堵壁樓，其防御墻的豎直截面為矩形ABCD，墻寬BC為2米，點(diǎn)B與點(diǎn)O的水平距離為23米，垂直距離為6米．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸方向，建立坐標(biāo)系，將石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線近似看作拋物線．
(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為9米．
①求函數(shù)解析式（不寫x的范圍）；
②石塊能否飛越防御墻？
(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上（包括點(diǎn)B，C），求出a的取值范圍？
（10分）
在中，，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)如圖1，若，交于點(diǎn)M，求證：．
(2)在（1）的條件下，如圖2，若，以為邊，在右側(cè)作正方形，連接，當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與B、C重合），的大小是否發(fā)生變化，如果變化，請說明理由．如果不變，請求出的度數(shù)．
(3)如圖3，點(diǎn)P在正方形的邊延長線上，且，在直線的右側(cè)作，且，R為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求出點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)路徑長度，并簡要說明理由．
24．（12分）
綜合與探究
如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接．若點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
(1)求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，并直接寫出直線的函數(shù)解析式．
(2)若，求m的值．
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在m使得為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在請說明理由．
調(diào)查總?cè)藬?shù)
50
100
200
500
1000
參加“迷你馬拉松”人數(shù)
21
45
79
200
401
參加“迷你馬拉松”頻率
______

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