第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1. 4的倒數(shù)是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要了考查倒數(shù)的意義，根據(jù)乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)求解即可．
【詳解】解：4的倒數(shù)是，
故選：A．
2. 我國近年來大力推進(jìn)國家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng)，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過7.8萬門，學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的一般形式為，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為，
故選：C．
3. 下列幾何體中三個(gè)視圖完全相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查簡單的幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖的概念分析各個(gè)圖形的三視圖，再作出判斷即可．
【詳解】解：A．三棱柱的主視圖和左視圖都是矩形，俯視圖是三角形，故不符合題意；
B．圓錐的主視圖和左視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，故不符合題意；
C．圓柱的三視圖既有圓又有長方形，故不符合題意；
D．球的三視圖都是圓，故符合題意；
故選：D．
4．如圖，直線，矩形的頂點(diǎn)A在直線b上，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作，得到，推出，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵矩形，
∴，
過點(diǎn)作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故選C．
5．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、積的乘方逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A. 與不是同類項(xiàng)，不能合并，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，該選項(xiàng)正確，符合題意；
C. ，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
6．在下列事件中，必然事件是（ ）
A. 擲一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3
B. 籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，未投中
C. 經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈
D. 任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180°
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是隨機(jī)事件，熟知在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)必然事件、隨機(jī)事件的意義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．?dāng)S一次骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)是3，是隨機(jī)事件，不符合題意；
B．籃球隊(duì)員在罰球線上投籃一次，未投中，是隨機(jī)事件，不符合題意；
C．經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈，是隨機(jī)事件，不符合題意；
D．任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是，是必然事件，符合題意．
故選：D．
7．如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，垂足為D，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)得到，根據(jù)得到，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，計(jì)算即可．
本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選A．
8．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)關(guān)于“方程”的問題：“今有牛五、羊二，直金十兩．牛二、羊五，直金八兩．問牛羊各直金幾何？”譯文：“今有牛5頭，羊2頭，共值金10兩．牛2頭，羊5頭，共值金8兩．問牛、羊每頭各值金多少？”若設(shè)牛每頭值金x兩，羊每頭值金y兩，則可列方程組是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．因?yàn)槊款^牛值金兩，每頭羊值金兩，根據(jù)“牛5頭，羊2頭，共值金10兩；牛2頭，羊5頭，共值金8兩”，即可得出關(guān)于、的二元一次方程組，此題得解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：．
故選：A．
9．如圖，推動(dòng)水桶，以點(diǎn)O為支點(diǎn)，使其向右傾斜．若在點(diǎn)A處分別施加推力、，則的力臂大于的力臂．這一判斷過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A. 垂線段最短
B. 過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直
C. 兩點(diǎn)確定一條直線
D. 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了力臂，平行公理，垂直的性質(zhì)，直線特點(diǎn)，垂線段最短，根據(jù)圖形分析得到過點(diǎn)有，進(jìn)而利用垂線段最短得到即可解題．
【詳解】解：過點(diǎn)有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是垂線段最短，
故選：A．
10．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
① ②
③對任意實(shí)數(shù)m，均成立 ④若點(diǎn)，在拋物線上，則
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號(hào)，由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，即可得出，，，從而求出，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，計(jì)算即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，即可判斷③；根據(jù)即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，
∴，，，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，
由圖象可得，對任意實(shí)數(shù)m，，
∴對任意實(shí)數(shù)m，均成立，故③正確；
∵點(diǎn)，在拋物線上，且，
∴，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的有①③，共個(gè)，
故選：B．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）
11．分解因式：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
12．計(jì)算：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算．直接按同分母分式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】解：．
故選：1．
13．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．抽獎(jiǎng)方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個(gè)，黃球有3個(gè)，藍(lán)球有5個(gè)，每次搖勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng)，每個(gè)家庭有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為______．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】本題考查概率公式，掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．
利用概率公式直接進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】解：小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為，
故答案為：15．
14．如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點(diǎn)E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長公式，根據(jù)六邊形是正六邊形，根據(jù)正多邊內(nèi)角和等于，求出內(nèi)角，再根據(jù)弧長公式即可得出答案．
【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
15．如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車________完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)，
故答案為：能．
16．“綠波”，是車輛到達(dá)前方各路口時(shí)，均遇上綠燈，提高通行效率．小亮爸爸行駛在最高限速的路段上，某時(shí)刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個(gè)路口顯示綠燈倒計(jì)時(shí)32s，第二個(gè)路口顯示紅燈倒計(jì)時(shí)44s，此時(shí)車輛分別距離兩個(gè)路口480m和880m．已知第一個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是30s、50s，第二個(gè)路口紅、綠燈設(shè)定時(shí)間分別是45s、60s．若不考慮其他因素，小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），則車速v（）的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
利用路程速度時(shí)間，結(jié)合小亮爸爸以不低于的車速全程勻速“綠波”通過這兩個(gè)路口（在紅、綠燈切換瞬間也可通過），可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出車速的取值范圍．
【詳解】解： ．
根據(jù)題意得：，
解得：，
車速的取值范圍是．
故答案為：．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（8分）計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)零指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值、絕對值計(jì)算即可．
【詳解】
．
18．（8分）如圖，在四邊形中，，是邊的中點(diǎn)，．求證：四邊形是矩形．
【答案】證明見解析．
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．利用可證明，得出，根據(jù)得出，即可證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形．
【詳解】證明：∵是邊的中點(diǎn)，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
19.（8分）解方程．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解分式方程，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
，
∴
檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
所以，原分式方程的解為
20．（8分）我國古詩詞源遠(yuǎn)流長．某校以“賞詩詞之美、尋文化之根、鑄民族之魂”為主題，組織學(xué)生開展了古詩詞知識(shí)競賽活動(dòng)．為了解學(xué)生對古詩詞的掌握情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競賽成績，將成績分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：
（1）本次共抽取了________名學(xué)生的競賽成績，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（2）若該校共有2000人參加本次競賽活動(dòng)，估計(jì)競賽成績?yōu)锽等級(jí)的學(xué)生人數(shù)；
（3）學(xué)校在競賽成績?yōu)锳等級(jí)中的甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生里，隨機(jī)選取2人參加經(jīng)典誦讀活動(dòng)，用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率．
【答案】（1）400，見解析
（2）800名 （3）見解析，
【解析】
【分析】（1）利用C等級(jí)的人數(shù)除以其所占的百分比求得樣本總數(shù)，再利用樣本總?cè)藬?shù)減去其他等級(jí)的人數(shù)求得D等級(jí)的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；
（2）利用B等級(jí)的人數(shù)除以樣本總數(shù)求得其所占的百分比，再乘除全校人數(shù)即可求解；
（3）畫樹狀圖可得共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人中恰好有1人被選中有8種等可能的結(jié)果，再利用概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：由圖可得，（名），
∴D等級(jí)的人數(shù)為：（名），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下所示：
故答案為：400；
小問2詳解】
解：（名），
答：估計(jì)競賽成績?yōu)锽等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為800名；
【小問3詳解】
解：畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人中恰好有1人被選中有8種等可能的結(jié)果，
∴甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率為．
21．（8分） 在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系，水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面的豎直高度與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：
（1）根據(jù)上表，請確定拋物線表達(dá)式；
（2）請計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．
【答案】（1）拋物線的表達(dá)式
（2）水火箭距離地面的豎直高度米
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，
根據(jù)題意可設(shè)拋物線的表達(dá)式，結(jié)合體圖標(biāo)可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，代入求解即可；
由題意知，代入拋物線表達(dá)式即可求得水火箭距離地面的豎直高度．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意可知拋物線過原點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式，
由表格得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，
則拋物線的表達(dá)式，
【小問2詳解】
解：由題意知，則，
那么，水火箭距離地面的豎直高度米．
22．（10分）如圖所示，是一張對邊平行的紙片，點(diǎn)，分別在平行邊上．
(1)求作：菱形，使點(diǎn)，落在紙片的平行邊上；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)若，，求菱形的面積．（，，）
【答案】(1)見解析；
(2)．
【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可以畫出圖，方法一，先連接，然后以B為圓心長為半徑，與交于點(diǎn)C，再以C為圓心長為半徑，與交于點(diǎn)D；方法二，先連接以為圓心長為半徑，與交于點(diǎn)D，然后作的垂直平分線，可確定點(diǎn)C，再一次連接即可，方法三，先連接，再做出的角平分線，角平分線與的交點(diǎn)為點(diǎn)，然后以為圓心長為半徑，與交于點(diǎn)C，最后連接即可做出菱形，
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，解直角三角形，求得，進(jìn)一步求解即可；
【詳解】（1）解：方法一：
方法二：
方法三：
∴菱形就是所求作的圖形．
（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．
在中，，．
，
．
∵四邊形是菱形，，
∴．
．
23．（10分）已知實(shí)數(shù)a、b、c，且
（1）若a、b、c分別是關(guān)于x的一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，由公式法解得方程的根為，求證：；
（2）若，，求c的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】此題考查了一元二次方程的求根公式和根的判別式，求出a，b及c的值是解本題的關(guān)鍵．
（1）先寫出一元二次方程 的求根公式，然后根據(jù)公式，結(jié)合已知方程的根，列出關(guān)于的值，即可證明；
（2）把上面兩式化成一元一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)圖象，兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)，即轉(zhuǎn)化為一元二次方程有解的問題，求，即可求出c的取值范圍．
【小問1詳解】
解：一元二次方程解的求根公式為：一元二次方程的根為，
，，，
，，，
此方程的二項(xiàng)式系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為：1，2，，
；
【小問2詳解】
解：設(shè)，，
則，，
有解，
，
，
，
，
，
的最小值為：
24．（13分）在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動(dòng)
【操作判斷】
操作一：如圖①，對折正方形紙片，得到折痕，把紙片展平；
操作二：如圖②，在邊上選一點(diǎn)E，沿折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；
操作三：如圖③，在邊上選一點(diǎn)F，沿折疊，使邊與邊重合，得到折痕把正方形紙片展平，得圖④，折痕與的交點(diǎn)分別為G、H．
根據(jù)以上操作，得________．
【探究證明】
（1）如圖⑤，連接，試判斷的形狀并證明；
（2）如圖⑥，連接，過點(diǎn)G作的垂線，分別交于點(diǎn)P、Q、M．求證：．
【深入研究】
若，請求出的值（用含k的代數(shù)式表示）．
【答案】[操作判斷]45；
[探究證明]（1）等腰直角三角形，理由見詳解；（2）見詳解；
[深入研究]
【解析】
【分析】[操作判斷] 根據(jù)正方形性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)即可求解；
[探究證明]（1）先證明，再證明，則，繼而得到，因此，，即是等腰直角三角形；（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，則，因此；
[深入研究] 連接，先證明，則，由，設(shè)，則，而， 則，可得，，，那么，故．
【詳解】[操作判斷] 解：如圖，
由題意得，，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案為：45；
[探究證明] 解：（1）如圖，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴等腰直角三角形；
（2）如圖，
由翻折得，，
∵四邊形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[深入研究] 解：如圖，連接，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∵是對角線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴,
∵，
∴設(shè)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形背景下的折疊問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
25．（13分）如圖，為內(nèi)接三角形，AB為的直徑，將沿直線AB翻折到，點(diǎn)在上．連接CD，交AB于點(diǎn)，延長BD，CA，兩線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，．求的值．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊可得，根據(jù)切線的定義可得，即可得證；
（2）根據(jù)題意證明，進(jìn)而證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；
（3）根據(jù)，設(shè)，則，得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出，則，進(jìn)而求得，根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解．
【小問1詳解】
證明：∵將沿直線AB翻折到，
∴，
∵AB為的直徑，是切線，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵是切線，
∴，
∵AB為的直徑，
∴，
∴，
∵由折疊可得，
∴，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
【小問3詳解】
解：∵，設(shè)，則，
∴，
∴，
∵由折疊可得，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
水平距離
0
3
4
10
15
20
22
27
豎直高度
0
3.24
4.16
8
9
8
7.04
3.24

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