1．已知函數(shù)，在點(diǎn)，處的切線方程為．
（1）求的解析式；
（2）求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的最大值．
【解析】解：（1），
故，
由，得，
由，得，解得：，
故；
（2）原命題等價(jià)于，，
設(shè)，
，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在遞增，
，故，；
（3）對(duì)恒成立，
，，
故，時(shí)，，且，，恒成立，
即時(shí)，函數(shù)在遞增，，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，取，
，，的變化如下：
，顯然不成立，
綜上，滿足條件的的最大值是2．
2．已知函數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
①時(shí)，在恒成立，故在單調(diào)遞減，
②時(shí)，由，解得：，
由，解得：，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，
，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
（a），
令（a），，
易知函數(shù)（a）在單調(diào)遞增，
又（1），
當(dāng)時(shí)，（a），即，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，（a），即，不滿足題意，
綜上所述的取值范圍為，．
3．已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
當(dāng)時(shí)，，又，
故，遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，
令，解得：，
故在遞減，在遞增；
（2），即，
時(shí)，遞增，恒成立，
時(shí)，，
故，
令（a），（a），
故（a）遞減，又，
故，
綜上：，．
4．已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若在區(qū)間，上恒成立，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）由可得函數(shù)定義域?yàn)椋?br>，
令，經(jīng)驗(yàn)證（1），
因?yàn)?，所以的判別式△，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，1是函數(shù)的異號(hào)零點(diǎn)，
所以1是的異號(hào)零點(diǎn)，所以是函數(shù)的極值點(diǎn)．
（Ⅱ）已知，因?yàn)椋?br>又因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上，
所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以有恒成立；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，上，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以時(shí)，有在區(qū)間，恒成立．
5．設(shè)函數(shù)．若對(duì)所有的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解法一：
令，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：
令，解得，
當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，，所以在，上是增函數(shù)，
又，所以對(duì)，都有，
即當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有，都有．
當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，所以在是減函數(shù)，
又，所以對(duì)，都有，
即當(dāng)時(shí)，不是對(duì)所有的，都有成立．
綜上，的取值范圍是，．
解法二：
令，
于是不等式成立即為成立．
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)：
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)，，為減函數(shù)，
所以要對(duì)所有都有充要條件為．
由此得，即的取值范圍是，．
6．已知函數(shù)，為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），為的導(dǎo)函數(shù)，且，
（1）求的值；
（2）對(duì)任意，證明：；
（3）若對(duì)所有的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）所以（3分）
（2）證明：令，，當(dāng)，，
所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，從而有，；
所以，
，
所以當(dāng)，；（8分）
（3）令，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，所以，從而對(duì)所有，；在，上是增函數(shù)．
故有，
即當(dāng)時(shí)，對(duì)于所有，都有．
當(dāng)時(shí)，對(duì)于，，所以在上是減函數(shù)，所以對(duì)于有，
即，
所以，當(dāng)，不是所有的都有成立，
綜上，的取值范圍是，（14分）
7．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)， 處的切線方程；
（Ⅱ）求的極小值；
（Ⅲ）若對(duì)所有的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，又?br>，切點(diǎn)為，所求切線方程為．（2分）
（Ⅱ）設(shè)，得，得；，得，得；，得，得；
則．（6分）
（Ⅲ）令，
則．
令，得，得；，
得，得；，得，得；
（1）當(dāng)時(shí)，，，
對(duì)所有時(shí)，都有，于是恒成立，
在，上是增函數(shù)．
又，于是對(duì)所有，都有成立．
故當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的，都有成立．
（2）當(dāng)時(shí)，，，
對(duì)所有，都有恒成立，
在上是減函數(shù)．
又，于是對(duì)所有，都有．
故當(dāng)時(shí)，只有對(duì)僅有的，都有．
即當(dāng)時(shí)，不是對(duì)所有的，都有．
綜合（1），（2）可知實(shí)數(shù)的取值范圍，．（12分）
8．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對(duì)任何，都有，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）．（2分）
當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即．
因此在每一個(gè)區(qū)間是增函數(shù)，在每一個(gè)區(qū)間是減函數(shù)．（6分）
（Ⅱ）令，則．
故當(dāng)時(shí)，．
又，所以當(dāng)時(shí)，，即．（9分）
當(dāng)時(shí)，令，則．
故當(dāng)，時(shí)，．
因此在，上單調(diào)增加．
故當(dāng)時(shí)，，
即．
于是，當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，有．
因此，的取值范圍是．（12分）
9．設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若對(duì)所有的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）證明：令，
，
由，解得：，
在，遞減，在，遞增，
，
即成立．
（Ⅱ）解：記，
在，恒成立，
，，
在，遞增，又，
①當(dāng)時(shí)，成立，即在，遞增，
則，即成立；
②當(dāng)時(shí)，在，遞增，且，
必存在使得，
則時(shí)，，
即時(shí)，與在，恒成立矛盾，
故舍去．
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
10．設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
由知，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)．
綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值，，
由假設(shè)知，即，解得，
故的取值范圍是，．
11．已知函數(shù)，
（1）證明為奇函數(shù)，并在上為增函數(shù)；
（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的最大值．
【解析】解：（1），，所以為奇函數(shù)
，而，在上恒成立，所以在上增，
（2）由得，，變形得，
只要大于或等于右邊式子的最大值即可
令得，
；
（3），
．
，
當(dāng)時(shí)，，，，等號(hào)僅當(dāng)時(shí)成立，所以在上單調(diào)遞增．而，
所以對(duì)任意，．
當(dāng)時(shí)，，
若滿足，即時(shí)，．而，因此當(dāng)時(shí)，，不滿足要求．
綜上，故的最大值為2．
12．設(shè)函數(shù)且
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由，由，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，及上單調(diào)遞減．
（2）因?yàn)闀r(shí)，，由得，即求函數(shù)的最大值即可．
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上，當(dāng)時(shí)取得最大值為，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍．
13．設(shè)函數(shù)，
（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)上恒成立時(shí)，求的取值范圍；
（Ⅲ）證明：．
【解析】解：（2分）
（Ⅰ）所以當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)（4分）
當(dāng)時(shí)，在上在上，
故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)，在上不恒成立；（8分）
當(dāng)時(shí)，在處取得最大值為，
因此，即時(shí)，在上恒成立，
即在上恒成立．
所以當(dāng)在上恒成立時(shí)，的取值范圍為（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)時(shí)，的最大值為
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），令，
則得，即，（12分）
從而得，由函數(shù)的單調(diào)性得（14分）
14．已知函數(shù)的定義域是．
（1）求函數(shù)在，上的最小值；
（2），不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1），．
當(dāng)時(shí)，在，上遞減；
當(dāng)時(shí)，在，上遞增．
當(dāng)時(shí)，在，上遞增，；
當(dāng)時(shí)，在，上遞減，在，上遞增，（1）．
．
（2），恒成立，即恒成立．
由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有．
．
15．已知，．
（Ⅰ）若函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，，均有恒成立，試求參數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
對(duì)于任意上，滿足，即，，
而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值5，所以．
（Ⅱ），
，
令，可得或，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，
所以，
恒成立，滿足，
即，
所以的取值范圍是，．
16．已知函數(shù) 是實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在定義域上的最值；
（2）若函數(shù)在，上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．
【解析】解：（1）時(shí)，，
函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
因此時(shí)函數(shù)取得極小值即最小值，
．時(shí)，．
函數(shù)在定義域上有最小值為，無(wú)最大值．
（2），，，
，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
在，上是單調(diào)函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，，
在，上是單調(diào)函數(shù)．
時(shí)恒成立，解得，
綜上所述的取值范圍為，，．
17．設(shè)函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的極小值；
（Ⅱ）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，取得極小值（e），
的極小值為2；
（Ⅱ）由題設(shè)，
令，得，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
是的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，
也是的最大值點(diǎn)，
的最大值為（1）．
又，結(jié)合的圖象（如圖所示），可知
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；
當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）對(duì)任意的，恒成立，
等價(jià)于恒成立，
設(shè)，
等價(jià)于在上單調(diào)遞減，
由在上恒成立，
得恒成立，
（對(duì)，僅在時(shí)成立），
的取值范圍是，．
18．已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，
．
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以時(shí)，；
時(shí)，（2）．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)，即時(shí)，由可得或，此時(shí)單調(diào)遞增；
由可得，此時(shí)單調(diào)遞減；
②當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，此時(shí)單調(diào)遞增；
③當(dāng)，即時(shí)，由可得或，此時(shí)單調(diào)遞增；
由可得，此時(shí)單調(diào)遞減．
綜上：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，，減區(qū)間為．
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，，且，有恒成立，
不妨設(shè)，則由恒成立可得：恒成立，
令，則在上單調(diào)遞增，所以恒成立，
即恒成立，
，即恒成立，又，
在時(shí)恒成立，
，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且，有恒成立．
高考預(yù)測(cè)二：不等式存在性問(wèn)題
19．設(shè)函數(shù)，且，曲線在點(diǎn)，（1）處切線的斜率為0．
（1）求的值；
（2）若存在，，使得，求的取值范圍．
【解析】解：（1）函數(shù)，且，
導(dǎo)數(shù)，
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率為0，
（1），
解得．
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由（1）可知：，
．
①當(dāng)時(shí)，則，
則當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
存在，使得的充要條件是（1），即，
解得；
②當(dāng)時(shí)，則，
則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．
存在，使得的充要條件是，
而，不符合題意，應(yīng)舍去．
③若時(shí)，（1），成立．
綜上可得：的取值范圍是，，．
20．設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線的斜率為0．
（1）求的值；
（2）設(shè)，若存在，，使得且，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率為0，
（1），解得．
（2）由于，
則令，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>．
①當(dāng)時(shí)，則，
則當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
存在，使得的充要條件是（1），即，
解得；
②當(dāng)時(shí)，則，
則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．
存在，使得的充要條件是，
而，不符合題意，應(yīng)舍去．
③若時(shí)，（1），成立．
綜上可得：的取值范圍是，，．
21．已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；
（2）若在區(qū)間，上至少存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）因?yàn)椋?分）
當(dāng)，，
令，得，（3分）
又的定義域?yàn)?，，隨的變化情況如下表：
所以時(shí)，的極小值為1．（5分）
的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；分
（2），．
令，得到，
若在區(qū)間，上存在一點(diǎn)，使得成立，
其充要條件是在區(qū)間，上的最小值小于0即可．
當(dāng)，即時(shí)，對(duì)成立，
在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
故在區(qū)間，上的最小值為（e），
由，得；
當(dāng)，即時(shí)，
①若，則對(duì)，成立，
在區(qū)間，上單調(diào)遞減，
在區(qū)間，上的最小值為（e），
顯然，在區(qū)間，上的最小值小于0不成立．
②若，即時(shí)，則有
在區(qū)間，上的最小值為，
由，
得，解得，即．
綜上，由（1）（2）可知：，，．
22．已知函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的極小值；
（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在區(qū)間，上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍，
【解析】解：（1）的定義域?yàn)椋?分）
當(dāng)時(shí)，，，（2分）
（3分）
所以在處取得極小值1．（4分）
（2），
（6分）
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（7分）
②當(dāng)，即時(shí)，在上，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（8分）
（3）在，上存在一點(diǎn)，使得成立，即
在，上存在一點(diǎn)，使得，
即函數(shù)在，上的最大值小于零．（9分）
由（2）可知
①即，即時(shí)，在，上單調(diào)遞減，
所以的最小值為（e），
由（e）可得，
因?yàn)椋?br>所以；（10分）
②當(dāng)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
所以最小值為（1），由（1）可得；（11分）
③當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，
因?yàn)椋?br>所以，
故
此時(shí)，不成立．（12分）
綜上討論可得所求的范圍是：或．（13分）
23．（1）若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間求，的值；
（2）設(shè)，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；
（3）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)，（2）處的切線的傾斜角為，對(duì)于任意，，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．
【解析】解：（1），
，
因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間，
所以方程的兩根分別為，2，
即，，
所以；
（2），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
若函數(shù)在，上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
即在，上有解
，
只需即可，
由，解得，
當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，恒成立，
即此時(shí)函數(shù)在，上為減函數(shù)，不滿足條件．
（3）由（2），，
，
，
，
令得，△，
故兩個(gè)根一正一負(fù)，即有且只有一個(gè)正根，
函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，
在上有且只有實(shí)數(shù)根，
，，（3），
，，故，
而在，單調(diào)減，
，
綜合得．
24．已知函數(shù)，，，．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)是上的增函數(shù)，求的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）．
因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以在上恒成立．
則有△，即．
設(shè)為參數(shù)，，
則
當(dāng)，且時(shí)，取得最小值．
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，
①當(dāng)時(shí)，是開口向上的拋物線，
顯然在上存在子區(qū)間使得，所以的取值范圍是．
②當(dāng)時(shí)，顯然成立．
③當(dāng)時(shí)，是開口向下的拋物線，
要使在上存在子區(qū)間使，
應(yīng)滿足或
解得．
則的取值范圍是．
高考預(yù)測(cè)三：恒成立與存在性的綜合問(wèn)題
25．已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)．當(dāng)時(shí)，
若對(duì)任意，存在，，使，求實(shí)數(shù)取值范圍．
對(duì)于任意，，都有，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，令得，
所以此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù)，在是減函數(shù)；（2分）
當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)函數(shù)在是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
此時(shí)函數(shù)在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（4分）
當(dāng)，令，解得，
此時(shí)函數(shù)在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；（6分）
當(dāng)，由于，令，解得，
此時(shí)函數(shù)在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．（8分）
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以對(duì)任意，
有，又已知存在，，使，所以，，，
即存在，，使，即，即，
所以，解得，即實(shí)數(shù)取值范圍是．（12分）
不妨設(shè)，由函數(shù)在，上是增函數(shù)，函數(shù)在，是減函數(shù)，
等價(jià)于，
所以
設(shè)是減函數(shù)，
所以在，上恒成立，即，解得．（16分）
26．已知函數(shù)．
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，，均存在，使得，求的取值范圍．
【解析】解：（Ⅰ）．
①當(dāng)時(shí)，，，
在區(qū)間上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
②當(dāng)時(shí)，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．
③當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是．
④當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間和上，；區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（Ⅱ）設(shè)，，，，為增函數(shù)，
由已知，（2）．由可知，
①當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
故（2），
所以，，解得，故．
②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故．
由可知，，所以，
綜上．
27．已知函數(shù)為常數(shù)，
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
（2）當(dāng)在處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程在，上恰有兩個(gè)不同的相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若對(duì)任意的，總存在，，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）時(shí)，，
，于是（1），
又（1），即切點(diǎn)為，
切線方程為；
（2），，即，
，，
此時(shí)，，，上遞減，，上遞增，
又，，（2），
；
（3），
，，
即，
在，上遞增，（1），
問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意的，不等式成立，
設(shè)（a），
則（a），
又（1），（a）在1右側(cè)需先增，（1），，
設(shè)（a），對(duì)稱軸，
又，（1），
所以在上，（a），即（a），
（a）在上單調(diào)遞增，（a）（1），
即，
于是，對(duì)任意的，總存在，，使不等式成立，
．
，
0
遞增
極大值
遞減
1
0
極小值
，
0
極小值
1
0
極小

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