2025年高考數(shù)學二輪復習(新高考通用)專題19圓錐曲線高頻考點深度剖析壓軸解答題(練習)(學生版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一：軌跡方程
1．已知橢圓，左?右焦點分別為，短軸的其中一個端點為，長軸端點為，且是面積為的等邊三角形.

(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若雙曲線以為焦點，以為頂點，點為橢圓與雙曲線的一個交點，求的面積；
(3)如圖，直線與橢圓有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于兩點.當點運動時，求點的軌跡方程.
【解析】（1）是面積為的等邊三角形，，
橢圓的方程為，離心率.
（2）由題意得雙曲線中的，則，
所以雙曲線方程為，
聯(lián)立橢圓方程解得:，即，
.
（3）由題易知，則聯(lián)立，
得，
，即，
設(shè)為，則，
直線，令，解得，則，
令，則，則，
.
則點的軌跡方程為.
2．已知橢圓的右焦點為，順次連接橢圓E的四個頂點恰好構(gòu)成一個邊長的菱形．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)直線與橢圓有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，是否存在兩定點，使得點滿足恒為定值？若存在，請求出定點的坐標若不存在，請說明理由．
(3)對于第（2）問，如果推廣到一般的橢圓．求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？
【解析】（1）由題意，，
解得，橢圓E的標準方程.
（2）設(shè)，聯(lián)立，消y得，
由，得：①，
所以，
直線的方程為：
令，得，令，得
的坐標滿足②，③
又，
所以的軌跡方程為，
由橢圓定義，知存在定點，使得.
方法二：的坐標滿足②，③
解得：，代入①得
所以，的軌跡方程為.
（3）設(shè)，聯(lián)立，消y得：，
，得：，④
由④式得：
直線的方程為：
令，得，令，得
的坐標滿足⑤，⑥
解得：，代入④得．
的軌跡方程為
所以，點的軌跡是以焦點，長軸長為的橢圓.
題型二：向量搭橋進行翻譯
3．已知雙曲線E：與有相同的漸近線，且過點.
(1)求E的方程；
(2)已知O為坐標原點，直線與E交于P，Q兩點，且，求m的值.
【解析】（1）由題意，設(shè)E的方程為，又E過點，
所以，解得，
所以E的方程為.
（2）設(shè)，，由得，
因為，
所以，，
所以
，
所以，
解得或.
4．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經(jīng)過C的焦點時，點A的坐標為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由已知C：，點A的坐標為，得，
焦點，，.
所以，，故C：.
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
當直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由已知得，，設(shè)，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知；
當直線PQ的斜率不存在，此時，，，，，符合題意；
故存在定直線l：滿足條件.
題型三：弦長、面積背景的條件翻譯
5．在平面直角坐標系中，橢圓的離心率是，上的點到兩焦點的距離之和等于4.
(1)求橢圓的方程；
(2)過焦點作斜率為1的直線與橢圓相交于兩點.求的面積.
【解析】（1）由橢圓的定義知，則
由，得，故.
∴橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，由（1）知，則的方程為，
由得，
顯然，，
∴.
∵點到直線的距離，
∴，故的面積為.
6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，焦距為4，P為C上一點，，的面積為
(1)求C的方程;
(2)已知點，斜率為1的直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，求l的方程.
【解析】（1）由題意可知，，
在中，由，得，
由，解得，
又由余弦定理得，，
化簡得，即，
，從而，
所以，雙曲線方程為.
（2）
設(shè)直線l的方程為，與雙曲線相交于，，
聯(lián)立化簡可得，
由，可得，
，，
所以，，
設(shè)點到直線l的距離為d，則，
故，解得
故l的方程為.
題型四：斜率之和差商積問題
7．已知橢圓的上頂點為，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)B為橢圓C的下頂點，動點M到坐標原點O的距離等于1（M與A，B不重合），直線AM與橢圓C的另一個交點為N.記直線BM，BN的斜率分別為，，問：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）由題意得解得，.
所以橢圓C的方程為.
（2）
因為B為橢圓C的下頂點，所以.
設(shè)（且），則直線BN的斜率.
由點M到坐標原點O的距離等于1，可知點M在以AB為直徑的圓上，
所以直線AM與直線BM垂直.
由題意得直線AM的斜率，
所以直線BM的斜率.所以.
因為點N在橢圓C上，所以，
故，所以，
所以存在，使得恒成立.
8．平面內(nèi)，動點與定點的距離與到定直線：的距離之比為常數(shù).
(1)求動點的軌跡方程；
(2)過點作不垂直于軸的直線，與動點的軌跡交于兩點，點在直線上，記直線的斜率分別為，證明：成等差數(shù)列.
【解析】（1）設(shè)動點，由題意可得，
化簡整理得：，
所以動點的軌跡方程為；
（2）當直線斜率不存在時，的坐標分別為，則，
即，所以成等差數(shù)列；
當直線斜率存在時，設(shè)直線：，，
聯(lián)立直線和橢圓方程，化簡得，
則，
，
，
即，所以成等差數(shù)列；
綜上，成等差數(shù)列.
題型五：弦長、面積范圍與最值問題
9．已知雙曲線的右焦點為，過點的直線與交于、兩點，當直線與軸垂直時，．
(1)求的方程；
(2)若點、分別在的左、右兩支上，點為的中點，過點且與垂直的直線與直線（其中為坐標原點）交于點，求面積的最小值．
【解析】（1）由題意知，因為，
所以將點的坐標代入雙曲線的方程得，
又，解得，，
所以雙曲線的方程為．
（2）若直線軸，則、都在雙曲線的右支上，不合乎題意，
若直線軸，則線段的中點為原點，不合乎題意，
所以，直線斜率存在且不為零，
設(shè)、、，直線的方程為，
由，得，
則，，
所以，，
所以，，則，
所以直線為，與直線的方程聯(lián)立，得，
所以點到直線的距離．
因為，
所以，
令，則，，
由，得，即，
令，則，
當時，；當時，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
當且僅當，即時取等號，即面積的最小值為．
10．已知O為坐標原點，雙曲線的離心率為，且過點.
(1)求C的標準方程；
(2)過C的右焦點F的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于兩點A、B，點Q是線段的中點，過點F且與垂直的直線交直線于M點，點N滿足；
①證明：點M在一條定直線上；
②求四邊形面積的最小值.
【解析】（1）由已知雙曲線離心率，即，
則雙曲線方程為，又曲線過點，即，解得，
所以雙曲線方程為；
（2）由（1）得，
①由已知直線的斜率k存在且，設(shè)直線，，
且，
聯(lián)立直線與雙曲線，得，恒成立，且，即，解得，又Q為A，B中點，
則，則，即，
則直線，又直線過點，且過點F，則，
聯(lián)立與，即，解得，即，
即點M在直線上；
②，，又點N滿足，
則四邊形為平行四邊形，且，
則，
設(shè)，則，則，
設(shè)，則，
令，解得，
當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當時，取最小值為，
即當時，的最小值為.
題型六：定值問題
11．若為拋物線上一點，過作兩條關(guān)于對稱的直線分別另交于兩點.
(1)求拋物線的方程與焦點坐標；
(2)判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）由題意，得，得，所求拋物線方程為，其焦點坐標為.
（2）如圖，由題意，不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立拋物線方程，消去得，
由韋達定理得，
因為直線與關(guān)于對稱，所以，且，
所以，
所以，即，即，
由韋達定理得，解得，
所以直線的斜率為定值.
12．已知雙曲線的上下頂點分別是M、N，過其上焦點F的直線l與雙曲線的上支交于P、Q兩點在y軸左側(cè)
(1)求直線l斜率的取值范圍；
(2)若，求直線l的方程；
(3)探究直線MP和直線NQ的斜率之比是否為定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，請說明理由.
【解析】（1）雙曲線的上焦點，
依題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線l的方程為：，，
由消去，得，顯然，
，，
由直線l與雙曲線的上支交于P、Q兩點，得令，解得.
（2）由（1）及，得，解得，
又，則，即，解得，
所以直線的方程為.
（3）點，直線斜率，直線斜率，
由，得
所以，為定值.
題型七：中點弦與對稱問題
13．已知雙曲線C：．
(1)若直線與雙曲線C有公共點，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)若直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且A，B關(guān)于點對稱，求直線l的方程．
【解析】（1）雙曲線C的漸近線方程為，要使直線與雙曲線C有公共點，則有，即實數(shù)k的取值范圍為．
（2）設(shè)點，．∵點恰好為線段AB的中點，
∴，．
由，兩式相減可得，
，
即，∴，
∴直線l的斜率，
∴直線l的方程為，
即．
14．已知雙曲線
(1)求雙曲線的虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程；
(2)過點的直線與雙曲線交于，兩點且點恰好為線段的中點，求直線的方程
【解析】（1）將化為標準方程可得，
由方程可得，解得，
故實半軸為，虛半軸為，
所以漸近線方程為，
又，解得，
所以焦點坐標為，離心率.
（2）設(shè)，，
因為點為線段的中點，
所以有，，
所以
所以，
又
所以在雙曲線內(nèi)部，所以直線一定與雙曲線有兩個交點，
所以直線的方程為：，
即：.
題型八：定點問題
15．設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為，上頂點為，點是橢圓上異于頂點的動點，已知橢圓的離心率短軸長為2.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與直線交于點，直線與軸交于點，求證：直線恒過某定點，并求出該定點.
【解析】（1）由題意可知，，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）可知，,設(shè)，
設(shè)直線的方程為且，
直線的方程為且，
則直線與軸的交點為，
直線的方程為，
則直線與直線的交點為，
將代入方程，得，
則點的橫坐標為，點的縱坐標為，
將點的坐標代入直線的方程，
整理得，
因為，
所以，即，
由點坐標可得直線的方程為：
，
即，則直線過定點.
16．如圖，已知面積為的矩形，與坐標軸的交點是橢圓：的四個頂點，且該橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)為坐標原點，過下頂點的直線與軸相交于點（不同于），與直線相交于點，與橢圓相交于點，直線與直線相交于點.
（i）證明：；
（ii）設(shè)線段的中點為為橢圓上的兩點，且直線，與橢圓都僅有一個公共點，，垂足為.探究：是否存在定點，使得為定值?若存在，求點的坐標以及此定值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由題意可得，解得，
故橢圓方程為
（2）設(shè)，則，故，
,
設(shè)直線的斜率分別為，
則，
故
由于,則，
直線的方程為令則，故
所以
直線的方程為令則，故
所以，
，
故，即；
（ii）存在定點，使得為定值，理由如下：
設(shè)，
①當過橢圓上點的有斜率時，設(shè)直線：，
聯(lián)立與橢圓方程可得，
由于直線與橢圓只有一個公共點，故，
化簡得，
所以，代入到可得，
所以，
從而直線：，即（※），
②當過的直線斜率不存在且與橢圓只有一個交點時，：也滿足（※），
同理可得當過且與橢圓只有一個交點的直線方程為，
由于兩直線均經(jīng)過點,故，
故直線方程為:，
由（i）可知的方程為令則，故
又，
則的中點即，
直線方程為，
即，
令，解得，
故直線恒過點，又,
故在以為直徑的圓上，即，使得為定值，
題型九：三點共線問題
17．已知雙曲線的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為，過點的直線交于，兩點.
(1)求的方程；
(2)設(shè)的左、右頂點分別為，，直線與直線交于點，證明：，，三點共線.
【解析】（1）由題意知，因為，
所以，所以，
所以的方程為.
（2）由題意知，，
當直線的斜率為0時，：，此時，，三點共線顯然成立，
當直線的斜率不為0時，設(shè)：，，，
聯(lián)立可得，
由題意得，
，
所以，，
因為直線的方程為，
令，得，所以，
所以，
因為，
所以
所以，故，，三點共線，
綜上得，，三點共線.
18．若拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)過點的直線交拋物線于兩點，點A關(guān)于軸的對稱點是，證明：三點共線．
【解析】（1）
拋物線的準線為
點到準線的距離為，解得，
拋物線的方程為．
（2）由題知直線不與軸平行，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，得，解得或，
．
又點A關(guān)于軸的對稱點為，
則直線的方程為，
即．
令，得．
直線恒過定點，而點，因此三點共線．
題型十：四點共圓問題
19．如圖，，分別為橢圓的左、右頂點，為第一象限上一點，且，過點的直線與有唯一的公共點.
(1)求的方程；
(2)過原點作直線的平行線與橢圓C交于M，N兩點，證明：P，M，，N四點共圓，并求該圓的標準方程.
【解析】（1）法一：，由，得，解得，
代入橢圓方程得，所以，設(shè)直線，
聯(lián)立橢圓方程，得，
即.
由，
整理得，解得，
因此直線的方程為：.
法二：，則，，
令，則，
故直線的方程為：，
（2）依題意，直線MN的方程為，聯(lián)立橢圓可得，
即，即，，，.
設(shè)圓的方程為，代入，P，M，可得：
，解得，
此時圓方程為，
將點代入上述方程，得，
所以點也在此圓上，故P，M，，N四點共圓，
其標準方程為.
20．設(shè)、是橢圓上的兩點，點是線段的中點，線段的中垂線與橢圓交于，兩點；
(1)求的方程，并確定的取值范圍：
(2)判斷是否存在，使、、、四點共圓，若存在，則寫出圓的標準方程；若不存在，請說明原因．
【解析】（1）依題意，可設(shè)直線的方程為，
代入，整理得①，
設(shè)，，則，是方程①的兩個不同的根，
②，且．
由是線段的中點，得，
解得，代入②得，
即的取值范圍是．
于是直線的方程為，即．
（2）
垂直平分，
直線的方程為，即代入橢圓方程，整理得③．
又設(shè)，，的中點為，
則，是方程③的兩根，
，，且，，即，
于是由弦長公式可得．④
將直線的方程代入橢圓方程得⑤．
所以，，
同理可得⑥．
當時，，
．
假設(shè)存在，使得、、、四點共圓，則必為圓的直徑，點為圓心．
點到直線的距離為⑦．
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得．
故當時，、、、四點均在以為圓心，為半徑的圓上．
此時圓的方程為.
題型十一：切線問題
21．定義：在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．雙曲線的左、右焦點分別為，，實軸長為2，且點為雙曲線右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于、兩點，且點在點上方．當軸時，直線為的等線．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積；
(3)已知為坐標原點，設(shè)，點的軌跡為曲線，判斷：在點處的切線是否為的等線，并說明理由．
【解析】（1）在雙曲線的方程中，令，解得，因為直線為的等線，顯然點在直線的上方，故有，
又、，有，，解得，，所以的方程為；
（2）設(shè)，由題意有方程為①，
雙曲線漸近線方程為，聯(lián)立得，，
故，所以是線段的中點，
因為、到過原點的直線距離相等，則過原點點的等線必定滿足：、到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過點，即直線的方程為，
由，解得，故．
所以，所以，
所以，所以；
（3）設(shè)，由，所以，，
故曲線的方程為，由①知切線為，也為，
即，易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，
分別記、，到的距離為、、，
由（2）知，，
所以，
由得，，
因為，
所以直線為的等線．
22．橢圓的光學性質(zhì)在物理學中有主要應(yīng)用：如圖1，在橢圓上有一點，分別為其左、右焦點，過作直線與切于，則直線與的夾角大小相等.
(1)求證：的方程為：；
(2)如圖2：在（1）的基礎(chǔ)上，雙曲線的虛軸長為2且與有相同焦點，不與、的交點重合，與交于兩點，過分別作的切線交于.求證：（ⅰ）（ⅱ）
【解析】（1）當切線斜率存在時，設(shè)直線與相切于點，
聯(lián)立直線和橢圓方程可得，
所以，整理可得；
易知，即，所以可得；
整理可得；
又因為切點在橢圓上，即，整理可得
聯(lián)立①②可得，即，得；
所以切線方程為，化簡可得；
經(jīng)檢驗，切線斜率不存在時也符合上式，
即橢圓上在點處的切線方程為.
（2）（ⅰ）由，得，
所以的方程為：，由，
消去，得，
設(shè)，則，
所以
，
同（1）寫出的方程，得
則其斜率之積為，所以.
（ⅱ）聯(lián)立聯(lián)立，
得到：，即：，
于是，即，
又，，，
得，又由于橢圓的光學性質(zhì)：，
又，所以，即.
題型十二：定比點差法
23．已知橢圓，．過的直線交橢圓于兩點，交軸于點，設(shè)，，求證：為定值
【解析】設(shè)，，
將兩點代入橢圓方程得：…①，…②；
,即，，，
代入①式整理得：…③；
同理由可得：…④；
③④得：…⑤
⑤式對任意恒成立，，解得：，
為定值.
24．已知橢圓：的右焦點為，點，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，其中點在第一象限內(nèi)，射線，與橢圓的交點分別為，.
（1）若，，求橢圓的方程；
（2）若直線的斜率是直線的斜率的2倍，求橢圓的方程.
【解析】（1）由，根據(jù)橢圓的對稱性知軸，過右焦點
所以，，，
則，由，可得
解得，代入橢圓方程得，解得，
所以，即，所以，故橢圓方程為；
（2）設(shè)，，令，則，
代入橢圓方程得，即，
又，所以，化簡得到 ①
同理：令，同理解得，代入橢圓方程同理可得 ②
由題知，解得，③
①②得，將③式代入得，故，
故橢圓方程為.
題型十三：齊次化
25．已知橢圓的中心為，長軸、短軸分別為，，，分別在橢圓上，且，求證：為定值.
【解析】
因為，所以由勾股定理可得.
所以.
設(shè)的面積為，到的距離為，
則，因此.
所以要證明為常數(shù)，只需證明為定值.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立
齊次化，并整理可得，
方程的兩根為與，由韋達定理得.
因為，所以，化簡得.
由點到直線的距離公式，得，
所以為定值.
26．已知橢圓的左頂點為，，為上的兩個動點，記直線，的斜率分別為，，若，試判斷直線是否過定點.若過定點，求該定點坐標；若不過定點，請說明理由.
【解析】將坐標系左移2個單位長度（即橢圓右移），則橢圓方程變?yōu)椋?br>即.
設(shè)直線為直線，平移后為直線，聯(lián)立
齊次化得，整理可得，
兩邊同除以，得，則，解得.
把代入直線中，得，當時，，
所以過定點，則直線過定點.
題型十四：極點極線問題
27．已知橢圓的左、右頂點分別為，，為原點.以為對角線的正方形的頂點，在上.
（1）求的離心率；
（2）當時，過作與軸不重合的直線與交于，兩點，直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請說明理由.
【解析】解法一：（1）以為對角線的正方形的頂點坐標分別為，，.
因為，在橢圓上，所以，
所以，
所以，
所以橢圓的離心率；
（2）當時，，所以橢圓的方程為.
為定值，理由如下：
①當直線的斜率不存在時，的方程為，則，，
所以，，所以.
②當直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，
設(shè)，，
不妨設(shè)，且.
由可得，
，，.
要證，只要證明：，
只要證：，
只要證：，
只要證：，
因為，，即證，
因為，，所以.
所以成立，
綜上所述：.
解法二：（1）同解法一；
（2）當時，，所以橢圓的方程為.
設(shè)的方程為，，
設(shè)，，不妨設(shè).
由可得，
，，.
所以，即.
.
綜上所述：.
解法三：（1）同解法一；
（2）當時，，所以橢圓的方程為.
設(shè)的方程為，，
設(shè)，，不防設(shè).
由可得，
，，.
因為在橢圓上，所以，即，
所以.
，
.
所以.
綜上所述：.
解法四：（1）同解法一；
當時，，所以橢圓的方程為.
設(shè)，，
因為在橢圓上，所以，所以.
所以，
同理.
設(shè)，則，
所以，①
，②
①+②得，
當時得，不合題意，舍去.
當時，，
所以直線經(jīng)過點，
又過定點，故，解得.
綜上所述：.
28．設(shè)橢圓過點，且左焦點為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上
【解析】(1)由題意：
，解得，所求橢圓方程為
(2)方法一
設(shè)點Q、A、B的坐標分別為．
由題設(shè)知均不為零，記,則且
又A，P，B，Q四點共線，從而
于是，
，
從而
，（1），（2）
又點A、B在橢圓C上，即
（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得
即點總在定直線上
方法二
設(shè)點，由題設(shè)，均不為零．
且
又四點共線，可設(shè),于是
（1）
（2）
由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得
（3）
(4)(4)－(3) 得
即點總在定直線上
題型十五：同構(gòu)問題
29．拋物線的焦點到準線的距離等于橢圓的短軸長．
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)是拋物線上位于第一象限的一點，過作（其中）的兩條切線，分別交拋物線于點，過原點作直線的垂線，垂足為，證明點在定圓上，并求定圓方程
【解析】（1）由橢圓可知短軸長，
所以拋物線的焦點到準線的距離等于，
故橢圓方程為；
（2）因為是拋物線上位于第一象限的一點，所以，又，
所以，
設(shè)，則直線方程為，
即，
因為：即與圓相切，
所以，整理得①，
同理，直線與圓相切可得②
由①②得是方程的兩根，
所以，
代入整理得，
令，解得，故直線過定點，
所以點在以和連線為直徑的圓上，且圓的方程為；
30．已知拋物線C：的焦點到準線的距離為2，圓M與y軸相切，且圓心M與拋物線C的焦點重合.
(1)求拋物線C和圓M的方程；
(2)設(shè)為圓M外一點，過點P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個不同的點，和點，，且.證明：點P在一條定曲線上.
【解析】（1）由題設(shè)得，
所以拋物線的方程為.
因此，拋物線的焦點為，即圓的圓心為
由圓與軸相切，所以圓半徑為，
所以圓的方程為；
（2）證明：由于，每條切線都與拋物線有兩個不同的交點，則.
故設(shè)過點且與圓相切的切線方程為，即.
依題意得，整理得①；
設(shè)直線的斜率分別為則是方程①的兩個實根，
故，②，
由得③，
因為點，
則④，⑤
因為，所以，
即，整理為，，
所以點是圓，，
重難點突破：蝴蝶問題
31．如圖，已知橢圓，矩形ABCD的頂點A，B在x軸上，C，D在橢圓上，點D在第一象限.CB的延長線交橢圓于點E，直線AE與橢圓?y軸分別交于點F?G，直線CG交橢圓于點H，DA的延長線交FH于點M.
（1）設(shè)直線AE?CG的斜率分別為?，求證：為定值；
（2）求直線FH的斜率k的最小值；
（3）證明：動點M在一個定曲線上運動.
【解析】（1）由對稱性，設(shè)，，，
則，得，
故，，則，
（2）由，
聯(lián)立，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，
所以，可得，
又，聯(lián)立，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，
所以可得：，
所以
，
由圖知，所以即,
當且僅當即取等.
所以直線FH的斜率k的最小值為.
（3）易知，
令可得，
所以，
，
所以，
因為，
所以，
即M在曲線上.
32．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，過焦點且垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長為，直線與橢圓相切．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)斜率為的直線過，與橢圓交于兩點，延長，分別與橢圓交于兩點，直線的斜率為，求證為定值．
【解析】（1）與橢圓相切，，
將代入橢圓方程得：，，則，
橢圓的標準方程為：.
（2）
由（1）得：，，則直線，
設(shè)，，，，
則直線的方程為：，
由得：，
，則，，
；同理可得：；
，
，即為定值.
1．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，焦距為4．過點的直線與雙曲線相交于兩點，點關(guān)于軸對稱的點為點．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)證明：直線過定點；
(3)若直線的斜率為，求直線的方程．
【解析】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意有，解得，故雙曲線的標準方程為；
（2）設(shè)直線的方程為（顯然直線的斜率存在），
點的坐標分別為，聯(lián)立方程，
消去后整理為，
有，
點的坐標為及對稱性，設(shè)直線與軸交點為，
有，有，有，
整理為，
有，化簡可得，
故直線過定點；
（3）由直線過定點，直線的斜率為，直線的方程為，
聯(lián)立方程消去后整理為，可得，
，
故直線的方程為或．
2．設(shè)拋物線的焦點為.已知到直線的距離為，過的直線交于兩點.
(1)求的方程；
(2)已知點，直線交于點.若，求的面積.
【解析】（1）由題意知，F(xiàn)點到的距離為，故（舍去）或，
故的方程為.
（2）由題意知直線AB的斜率必存在，
設(shè).
聯(lián)立，有，，故，
聯(lián)立，有，，故，
故
由有，則，
故.
注意到軸，故的面積為.
3．已知動圓M與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，記圓心M的軌跡為曲線C．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)點在C上，且以為直徑的圓E經(jīng)過坐標原點O，求圓E面積的最小值．
【解析】（1）設(shè)圓M的半徑為，由題意可知，，
且，且，
因，故圓心M的軌跡為橢圓，
易知橢圓C的長軸長為，焦距為，則，，，
故C的方程為：．
（2）
方法1：設(shè)，，由題意可得，則，即得，
當直線的斜率不存在時，設(shè)直線，則，，
由可得，，
所以，解得，則，
此時，圓E的面積為．
當直線的斜率存在時，設(shè)直線，
由可得，，
所以，，
所以
，
所以，即，
代入，
所以
，
當且僅當時，取得最小值，所以圓E面積的最小值為．
方法2：因為以為直徑的圓E經(jīng)過坐標原點O，所以，
①當直線中有一條斜率不存在時，則另一條斜率為0，
易知，所以圓E的半徑為，所以圓E的面積為．
②若直線的斜率均存在，設(shè)直線，直線，，，
所以由可得，同理可得
所以
，
所以，
當且僅當時，取得最小值，所以此時，圓E面積的最小值為，
因為，所以圓E面積的最小值為．
方法3：設(shè)，，
因為，所以，
所以
，
由可得：，
整理得，，
由基本不等式，有，
所以，
設(shè)，則，即，解得，
所以，
所以圓E面積的最小值為．
方法4：設(shè)，，
因為，所以可設(shè)，且，
因為點在C上，所以，
所以，
同理可得，，所以，
所以，
所以
，
當且僅當，，或，，時等號成立，
所以圓E面積的最小值為．
4．已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，焦距為，圓與橢圓相交于，兩點，，的面積為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的動直線與橢圓有兩個交點，，以線段為直徑作圓，點始終在圓內(nèi)（包括圓周），求的取值范圍．
【解析】（1）方法一：因為，所以，
則，
解得．
因為的面積為，所以，，，
所以橢圓的標準方程為；
方法二：因為，，
所以是正三角形，，
所以點在線段的中垂線上，則，是橢圓的短軸端點．
因為的面積為，所以，
在中，易知，
故橢圓的標準方程為；
（2）方法一：設(shè)點，．
當直線的斜率不存在時，的方程為，代入橢圓方程得，
不妨設(shè)，，易求．
當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則
消去得，，
所以，．
因為點在圓內(nèi)（包括圓周），所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即恒成立，
所以，解得．
綜上，的取值范圍為．
方法二：
當直線的斜率為0時，圓以橢圓的長軸為直徑，所以．
當直線的斜率不存在，或斜率不為0時，設(shè)的方程為，
且，．
聯(lián)立，消去得，
所以，．
因為點在圓內(nèi)（包括圓周），所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即恒成立，
所以，解得．
綜上，的取值范圍為．
5．設(shè)拋物線：，是大于0的常數(shù).拋物線的焦點為，過的垂直于軸的直線交拋物線于兩點（點在軸上方），直線與直線相交于點（異于），與拋物線相交于點（異于坐標原點），直線交拋物線于另一點，直線與軸相交于點.
(1)若是的重心，求的值；
(2)設(shè)直線與直線相交于點分別為線段的中點.
（ⅰ）求證：三點共線；
（ⅱ）設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍.
【解析】（1）
由題意可得，，，，
聯(lián)立與，可得，由于，
故，，故，
則：，化簡可得：，
聯(lián)立：與可得，
故，進而可得，故，
由于的重心為，故，化簡得，
，.
（2）（i），故直線，
聯(lián)立與，得，，
因此，故，即，
，
直線，令，則，
故，
,
由于，
因此，又有公共點，
故三點共線，
（ⅱ）由題意，
設(shè)，，，
則，，，
由得，
得，
得，
得，
得，
得，
得，
得，
得，
又因，得，
故的取值范圍為
6．已知橢圓的左右頂點分別為，，點為橢圓上的一動點，直線與的斜率之積為，面積的最大值為8.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于，兩點，記直線，的斜率分別為，，若.
（i）求證：直線過定點；
（ii）求面積的最大值.
【解析】（1）
設(shè)，，，
則，，，
又，.，.
面積的最大值為，，，
橢圓的方程為.
（2）（i）
設(shè)直線的方程為，直線的方程為，
則M，N同時滿足方程和，
即，又，.
代入得，即，過定點.
（ii）設(shè)，，由題意知直線的斜率不為，
所以設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去后整理得：
，，，
.
，令，.
因此，，，
由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以.
此時，，所以面積的最大值為.
7．已知動圓與動圓，滿足，記與公共點的軌跡為曲線T，曲線T與x軸的交點記為A，點A在點B的左側(cè)
(1)求曲線T的方程；
(2)若直線l與圓相切，且與曲線T交于，兩點點在y軸左側(cè)，點在y軸右側(cè)
（?。┤糁本€l與直線和分別交于，兩點，證明：；
（ⅱ）記直線，的斜率分別為，，證明：是定值.
【解析】（1）設(shè)圓，的交點為M，則，，
因為，所以，
故點M的軌跡曲線是以，為焦點的雙曲線，
從而，，即，，
故曲線T的方程為
（2）（?。┮C，
只要證線段的中點與線段的中點重合.
設(shè)，，其中，
由條件，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為
因為直線l與圓相切，
所以，即
聯(lián)立，消去y并整理得，
所以，
從而線段的中點橫坐標為
又直線與直線和交點的橫坐標分別為和，
則線段中點的橫坐標為，
所以
（?、。┯蓷l件，，即，
所以，
由題意知，，
所以
，
即為定值
8．已知拋物線的焦點為，直線過與交于，兩點，為坐標原點，直線交的準線于點．
(1)當?shù)膬A斜角為時，求；
(2)求直線的斜率；
(3)若，，，四點共圓，求該圓的半徑．
【解析】（1）由題意知，拋物線焦點坐標為，直線的方程為，
聯(lián)立，則，所以，，
所以 .
（2）設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，，所以，，所以，
直線方程為，所以點的縱坐標為，
所以，直線的斜率為0.
（3）由題意知，，，，，不妨設(shè)在第一象限，
因為，，，四點共圓，直線平行軸，故可設(shè)圓心坐標為，圓半徑為，
，即，所以，
，
解得，故，所以.
9．已知雙曲線的焦點與拋物線的焦點重合，且雙曲線的離心率為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點的直線與雙曲線交于兩點，的面積為，求直線的方程.
【解析】（1）拋物線的焦點坐標為，
所以雙曲線中，
雙曲線的離心率為，即
雙曲線方程為
（2）顯然直線斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，
所以原點到直線的距離，
聯(lián)立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以，
所以，
解得，所以，
所以直線的方程為或.
10．已知在平面直角坐標系中，兩定點，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是.
(1)求點的軌跡方程，并指出的形狀.
(2)若直線與點的軌跡交于，兩點，求證：直線與直線的交點在定直線上.
【解析】（1）設(shè)點的坐標為，
因為，所以直線的斜率為，
因為，所以斜率為，
由已知得，整理得，
故形狀為焦點在軸上，長軸長為6，焦距為，除去，的橢圓.
（2）聯(lián)立，消去整理得：，
如圖，設(shè)，，，，
而，
直線，直線，
聯(lián)立兩直線得到，
整理得，
故直線與直線的交點在定直線上.
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc190287113" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc190287113 \h 2
\l "_Tc190287114" 題型一：軌跡方程 PAGEREF _Tc190287114 \h 2
\l "_Tc190287115" 題型二：向量搭橋進行翻譯 PAGEREF _Tc190287115 \h 5
\l "_Tc190287116" 題型三：弦長、面積背景的條件翻譯 PAGEREF _Tc190287116 \h 7
\l "_Tc190287117" 題型四：斜率之和差商積問題 PAGEREF _Tc190287117 \h 9
\l "_Tc190287118" 題型五：弦長、面積范圍與最值問題 PAGEREF _Tc190287118 \h 11
\l "_Tc190287119" 題型六：定值問題 PAGEREF _Tc190287119 \h 15
\l "_Tc190287120" 題型七：中點弦與對稱問題 PAGEREF _Tc190287120 \h 17
\l "_Tc190287121" 題型八：定點問題 PAGEREF _Tc190287121 \h 19
\l "_Tc190287122" 題型九：三點共線問題 PAGEREF _Tc190287122 \h 23
\l "_Tc190287123" 題型十：四點共圓問題 PAGEREF _Tc190287123 \h 25
\l "_Tc190287124" 題型十一：切線問題 PAGEREF _Tc190287124 \h 28
\l "_Tc190287125" 題型十二：定比點差法 PAGEREF _Tc190287125 \h 32
\l "_Tc190287126" 題型十三：齊次化 PAGEREF _Tc190287126 \h 34
\l "_Tc190287127" 題型十四：極點極線問題 PAGEREF _Tc190287127 \h 35
\l "_Tc190287128" 題型十五：同構(gòu)問題 PAGEREF _Tc190287128 \h 40
\l "_Tc190287129" 重難點突破：蝴蝶問題 PAGEREF _Tc190287129 \h 43
\l "_Tc190287130" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc190287130 \h 47

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