一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 從集合中任取兩個不同的數(shù)組成復數(shù)，其中虛數(shù)有（ ）
A. 4個B. 9個C. 12個D. 16個
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法計數(shù)原理計算即可求得結果.
【詳解】根據(jù)題意可知，若復數(shù)表示虛數(shù)，則；
第一步，從中任取一個數(shù)作為，共有3種選法；
第二步，再從剩余的三個數(shù)任取一個作為，共有3中選法，
因此共有種.
故選：B
2. 函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率等于時的瞬時變化率，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別求出函數(shù)的平均變化率和瞬時變化率，解方程可得結果.
【詳解】易知平均變化率為，
可得，瞬時變化率為，
因此，解得.
故選：A
3. 記為等差數(shù)列的前n項和，已知，則（ ）
A 0B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由結合等差中項的性質可得，結合已知求出公差，進而求得的值.
【詳解】等差數(shù)列中，，則，
因此公差，所以.
故選：D
4. 若直線與圓相交于A、B兩點，且（其中O是原點），則k的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用圓心到直線距離以及弦長公式，列方程求得結果.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
圓心到直線距離為，弦長，
依題意，，所以.
故選：C
5. 若函數(shù)在內無極值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出導數(shù)，再由導函數(shù)在內無變號零點，結合函數(shù)的單調性確定最小值和最大值的范圍即可求解.
【詳解】由函數(shù)在內無極值，得在內無變號零點，
而函數(shù)在上單調遞增，則或，解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
故選：C
6. 設為曲線的左，右兩個焦點，P是曲線與的一個交點，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的坐標，由橢圓、雙曲線的定義求出，，再由余弦定理求出，即可求出.
【詳解】由曲線：的方程得，由橢圓的定義得，
又曲線：的焦點和曲線的焦點相同，不妨設在雙曲線右支上，
雙曲線的定義得，，，
在中，由余弦定理可得，
.

故選：D
7. 已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將問題轉化為與曲線有三個不同的交點，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，從而結合圖象即可求得實數(shù)的范圍；
詳解】令，即得，即方程有三個零點，
即直線與曲線有三個不同的交點，
可得，
所以當或時，，單調遞減；
當時，，單調遞增，
所以當時，有極小值為，
當時，有極大值為，
當時，，且當時，，
所以作出函數(shù)的圖象如圖所示，
所以數(shù)形結合可知，即實數(shù)的取值范圍為,
故選：A
8. 拋物線有一個重要的性質：從焦點出發(fā)的光線經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，此時反射面為拋物線在該點處的切線．過拋物線上的一點P（異于原點O）作C的切線l，過O作l的平行線交PF（F為C的焦點）于點Q，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由光學性質可知，即，結合由三角不等式可得答案；
【詳解】由可得，故焦點,
如圖，由光學性質可知：入射光線，反射光線軸，所以，
又，所以，因為軸，，
則有，所以，即，
由三角不等式可得（因在拋物線上且異于原點，等號不可取），
即；

故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)平行線以及光學性質可得，，故，進而可得，即可利用三角形三邊關系求解.
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.
9. 某企業(yè)根據(jù)市場調研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下，則下列敘述正確的是（ ）
參考公式：關于的回歸直線方程中，
A.
B. 由散點圖知變量和負相關
C. 相關系數(shù)
D. 用最小二乘法求得關于的線性回歸直線方程為
【答案】AC
【解析】
【分析】對于A，根據(jù)條件，直接求出，即可求解；對于B和C，根據(jù)條件，畫出散點圖，即可求解；對于D，利用線性回歸直線方程過樣中心，代入計算，即可求解.
【詳解】對于選項A，由題知，，故選項A正確，
對于選項B，由圖表可得散點圖如下，由散點圖知變量和正相關，所以選項B錯誤，
對于選項C，由選項B知變量和正相關，所以，故選項C正確，
對于選項D，因為樣本中心點為，又，
所以不是關于的線性回歸直線方程，故選項D錯誤，
故選：AC.
10. 已知點，點P在上運動，在此過程中，則（ ）
A. 的面積最大值為B. 的取值范圍是
C. 存在斜率為的直線D. 存在四個直角三角形PMN
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)點到直線的距離公式，以及兩點距離公式，即可根據(jù)面積公式求解A，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算求解B，根據(jù)相切時的斜率即可求解C，分情況討論直角頂點，即可結合點到直線的距離以及兩圓位置關系求解D.
【詳解】因為所以，
所以直線的方程，即，
由，得，
所以圓心，半徑為，
對于A：因為圓心到直線的距離為，，

所以的面積最大值為，故A錯誤；
對于B,設，則，
由，則，
，因此，故B正確，
對于C，當直線與上半圓相切于點時，此時，故，故存在斜率為的直線，C正確，
對于D，①設與直線垂直且過點的直線為，
則，得，即直線，
因為圓心到直線的距離為，
所以直線與圓有兩個交點，

所以以為直角頂點的直角三角形有2個；
②設與直線垂直且過點的直線為，
則，得，即直線為，
因為圓心到直線的距離為，
所以直線與圓相離，無公共點，

所以以為直角頂點的直角三角形不存在；
③以為直徑圓為，設圓心為，則，半徑為，
所以，
因為，
所以以為直徑的圓與圓相交，

所以以為直角頂點的直角三角形有2個；
綜上，在運動過程中，能且只能得到4個不同的，故D正確.
故選：BCD
11. 己知數(shù)列滿足（t為正整數(shù)），則下列結論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則t所有可能取值的集合為
C. 若，為正整數(shù)，則的前項和為
D. 任意都不能構成等差數(shù)列
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)遞推公式代入計算可判斷A正確，B錯誤，由可知數(shù)列的前構成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前項和公式計算可得C錯誤，對中的前兩項是否為3的倍數(shù)進行分類討論，再由等差數(shù)列定義判斷即可得D正確.
【詳解】對于A，若，可得，
根據(jù)遞推公式計算可得，即可得A正確，
對于B，由題意（t為正整數(shù)）以及遞推公式可知均為正整數(shù)；
顯然當時，可得只能為，
再根據(jù)遞推公式可得前3項的取值有以下情況：
；；；
；；
所以t所有可能取值的集合為，可得B錯誤；
對于C，若，為正整數(shù)，顯然可知數(shù)列的前構成等比數(shù)列，公比為，；
則可知數(shù)列的前項和為，即C錯誤；
對于D，若都為3的倍數(shù)，且能構成等差數(shù)列，
因此可得，顯然此時，
顯然此時不能構成等差數(shù)列；
若都不為3的倍數(shù)，且能構成等差數(shù)列，
則，因此，
解得，與題意矛盾，顯然此時不能構成等差數(shù)列；
若為3的倍數(shù)，不為3的倍數(shù)，且能構成等差數(shù)列，
則，因此，
解得，與題意矛盾，顯然此時不能構成等差數(shù)列；
若不為3的倍數(shù)，為3的倍數(shù)，且能構成等差數(shù)列，
則，因此，
解得，與題意矛盾，顯然此時不能構成等差數(shù)列；
綜上可得，任意都不能構成等差數(shù)列，即D正確
故選：AD
【點睛】關鍵點點睛：在判斷D選項時關鍵在于對任意中的前兩項是否為3的倍數(shù)分四類進行討論，再利用等差中項性質判斷即可得出結論.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知直線是雙曲線的一條漸近線，則雙曲線C的離心率為__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出值，進而求出離心率即可.
【詳解】由雙曲線的漸近線為，得，即，
所以雙曲線離心率.
故答案為：
13. 已知定義在的函數(shù)滿足，則不等式的解集為__________．
【答案】
【解析】
【分析】令函數(shù)，求導函數(shù)并根據(jù)函數(shù)符號與單調性的關系判斷得出的單調性，再利用單調性解不等式可得結論.
【詳解】構造函數(shù)，則，
又，，可得，
因此在上單調遞增，
原不等式可化為，即，
可得，因此，
解得.
故答案為：.
14. 棱長為的正四面體中，點為平面內的動點，且滿足，點為的重心，則直線與直線所成角的余弦值的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】依題意建立空間直角坐標系，利用正四面體性質求出點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，再利用重心性質以及異面直線夾角的向量求法即可求出結果.
【詳解】根據(jù)題意，記在底面內的攝影為，則平面，
又平面，故，；
利用正四棱錐性質可得，所以，
又因為，則，
可知點的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，
以為坐標原點，所在直線分別為軸，在平面內過作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：
設，
易知，
又點為的重心，可得，
因此，
設直線與直線所成的角為，
則可得
當時，取得最大值.
因此直線與直線所成角的余弦值的最大值為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解異面直線夾角的方法：
平移法：作出異面直線夾角的平面角求解；
向量法：利用空間向量以及夾角公式計算.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列的前n項和滿足，且．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）記為數(shù)列的前n項和，求使成立的n的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質可得，即可利用的關系得，利用等差數(shù)列的定義即可求證，
（2）利用裂項相消法求解，即可利用二次函數(shù)的性質求解最值.
【小問1詳解】
由可得為等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，
故，即，
當時，，故，
當時，也符合，
故，
因此時，，故為等差數(shù)列，且公差為2，
【小問2詳解】
，
故，
由可得，
故，
由于為開口向上，且對稱軸為的二次函數(shù)，
故在單調遞增，且，
因此使成立的n的最小值為2.
16. 設函數(shù)．
（1）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，當時，函數(shù)的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）由給定的恒成立的不等式分離參數(shù)，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可.
（2）利用導數(shù)按分類討論函數(shù)在上的單調性，并求出最小值即可.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，不等式，
令，依題意，恒成立，，
當時，；當時，，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，，則，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
【小問2詳解】
由函數(shù)，求導得，由，得，
當時，，函數(shù)在上單調遞減，
，解得，無解；
當時，由，得；由，得，
函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，
，解得，符合題意，
所以存在實數(shù)a，當時，函數(shù)的最小值是2，.
17. 如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，為的中點．
（1）求點到平面的距離：
（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）以點為坐標原點建立空間直角坐標系，再由空間距離的向量求法計算可得結果；
（2）設，利用線面角的向量求法解方程計算可得結果.
【小問1詳解】
取的中點為，連接，
因為平面，平面，
所以，
又，的中點為，，
所以，，可得四邊形為平行四邊形，
又，因此為矩形，可知，
因此兩兩垂直，
以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：
易知，因此；
可得，
設平面的一個法向量為；
則，解得，令，可得；
因此法向量可以為，
且，，，為的中點．
易知，
所以點到平面的距離為；
【小問2詳解】
假設存在點，設，
易知，
所以，
由（1）可知平面的一個法向量為，
因為直線與平面所成角的正弦值是，
所以，
解得，
即，可得.
18. 己知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）記橢圓的右焦點為，若點在橢圓上，滿足，求直線的斜率．
（3）過點的動直線與橢圓有兩個交點，在y軸上是否存在點使得恒成立．若存在，求出點縱坐標的取值范圍；若不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在點縱坐標的取值范圍為，滿足題意.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率并代入點坐標計算可得橢圓方程；
（2）設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程并利用韋達定理以及向量共線解方程可得結果；
（3）對直線的斜率進行分類討論，聯(lián)立直線和橢圓方程由韋達定理以及向量數(shù)量積的坐標表示，再根據(jù)恒成立解不等式可得結果.
【小問1詳解】
依題意可知，解得，
因此橢圓的方程為；
【小問2詳解】
易知，設直線的方程為，；
聯(lián)立，整理可得，顯然；
因此，
由可得，即，
代入可得，即；
因此，即，
解得，
因此直線的方程為，即其斜率為.
【小問3詳解】
如下圖：
當過點的動直線斜率存在時，
設直線方程為，，；
聯(lián)立，整理可得，顯然Δ=4k2+62k2+1>0；
因此，
所以
若存在點使得恒成立，可得，
解得，
當過點的動直線斜率不存在時，兩個交點分別為橢圓的上下頂點，
顯然此時方向相反，滿足題意；
綜上可得，點的縱坐標的取值范圍為，使得恒成立.
19. 數(shù)列的前項和為，若存在正整數(shù)，且，使得同時成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”
（1）若首項為3，公差為的等差數(shù)列是“數(shù)列”，求的值；
（2）已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為．
①若數(shù)列為“數(shù)列”，求的最大值；
②若，為偶數(shù)，試判斷是否存在正整數(shù)，使數(shù)列為“數(shù)列”？如果存在，求出的最小值，如果不存在，說明理由．
【答案】（1）
（2）①的最大值為；②不存在正整數(shù)，使數(shù)列為“數(shù)列”；理由見解析；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項和公式解方程組可得；
（2）①利用等比數(shù)列前項和公式解方程組可得，對的取值分類討論即可得當時，取得最大值為；
②根據(jù)“數(shù)列”定義可得，對正整數(shù)的奇偶性進行分類討論，構造函數(shù)利用導數(shù)判斷得出單調性即可得出結論.
【小問1詳解】
因為等差數(shù)列是“數(shù)列”，所以，
即可得，由首項為3，解得；
【小問2詳解】
①當公比時，可得；
由數(shù)列為“數(shù)列”可得，
即，顯然此時方程組無解，即；
當時，由可得，
解得；
顯然當為偶數(shù)時，此時無解，
因此一定為奇數(shù)，
當時，可得，當時，可得，
以此類推易知時，可得，
顯然隨之的增大而減小，
所以時，取得最大值；
②因為數(shù)列為“數(shù)列”，，所以，
即,
兩式作商可得，即，
因為為偶數(shù)，
假設為偶數(shù)，則可得，
令函數(shù)，則，
當時，易知，即，
所以在上單調遞增，
因為，所以，
這與矛盾，因此假設不成立；
假設為奇數(shù)，則可得，
因為，所以，，即
因此
這與矛盾，因此假設不成立；
綜上可得，若，為偶數(shù)，不存在正整數(shù)，使數(shù)列為“數(shù)列”.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據(jù)“數(shù)列”得出的關系式，再對其奇偶性分類討論，利用同構思想構造函數(shù)得出函數(shù)單調性可判斷方程無解，可得不存在正整數(shù)滿足題意.

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