1. 已知方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則的公比是（ ）.
A 1B. 2.C. 3D. 5
3. 已知，記在處的切線為，則過與垂直的直線方程為（ ）.
A B. C. D.
4. 已知直線，圓，其中若點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）.
A. 相交B. 相切C. 相離D. 相交或相切
5. 數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項和為（ ）.
A. 63B. 127C. 255D. 256
6. 已知為圓上兩動點，且，則弦的中點到直線距離的最大值為（ ）．
A B. C. D. 4
7. 已知函數(shù)，則的最大值為（ ）.
A. 2B. C. D.
8. 已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（ ）.
A. B. C. D.
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）.
9. 已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構(gòu)成直角三角形，則點坐標(biāo)可能是（ ）.
A. B.
C. D.
10. 已知數(shù)列的前項和為，下列命題正確的有（ ）.
A. 若為等差數(shù)列，則一定是等差數(shù)列
B. 若為等比數(shù)列，則一定是等比數(shù)列
C. 若，則一定是等比數(shù)列
D. 若，則一定是等比數(shù)列
11. 下列不等式恒成立的有（ ）.
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C. （其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）
D. 當(dāng)時，
12. 已知點，點在曲線上運動，點在圓上運動，則值可能是（ ）.
A. 1B. 3C. 4D. 5
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知為橢圓上一點，，分別為上動點，則的最大值為_________．
14. 已知在處取得極小值，則實數(shù)的值為_________．
15. 已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為____________.
16. 已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則_______．
四、解答題（本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.
（1）求拋物線方程；
（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.
18. 已知數(shù)列的前項和為，且_________.
在①；②成等比數(shù)列；③三個條件中任選一個補充在橫線上，并解答下面問題：
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列的前項和，求證.
19. 已知函數(shù)
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.
20. 已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.
（1）求直線的方程；
（2）若直線與雙曲線交于另一點求的面積.
21. 已知正項數(shù)列滿足，且
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若的前項和為，求.
22. 已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構(gòu)成的四邊形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.
2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)檢測試卷
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）
1. 已知方程表示橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解m的范圍.
【詳解】依題意，解得或
故選：D
2. 已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則的公比是（ ）.
A. 1B. 2.C. 3D. 5
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差與首項的關(guān)系即可得解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，
整理得，則，所以的公比.
故選：C
3. 已知，記在處的切線為，則過與垂直的直線方程為（ ）.
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再求出與其垂直的直線方程.
【詳解】由，求導(dǎo)得，則切線的斜率為，
因此過與垂直的直線斜率為1，方程為.
故選：A
4. 已知直線，圓，其中若點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）.
A. 相交B. 相切C. 相離D. 相交或相切
【正確答案】A
【分析】求出圓心到直線的距離的表達式，再由在圓外，求出，與的關(guān)系，進而求出 與的關(guān)系，判斷出直線與圓的位置關(guān)系．
【詳解】因為點在圓外，所以可得，
圓心到直線的距離，
所以直線與圓相交．
故選：A．
5. 數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項和為（ ）.
A. 63B. 127C. 255D. 256
【正確答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的特征，再利用等比數(shù)列前n項和公式計算即得.
【詳解】由，得，
因此數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
數(shù)列的前8項和為.
故選：C
6. 已知為圓上兩動點，且，則弦的中點到直線距離的最大值為（ ）．
A. B. C. D. 4
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合即可求點到直線距離的最大值.
【詳解】依題意，所以，
因為為的中點，所以，
如圖所示，過點作直線的垂線，垂足為，
連接，則圓心到直線的距離為，
因為當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，
所以，
所以的最大值為.
故選：C

7. 已知函數(shù)，則的最大值為（ ）.
A. 2B. C. D.
【正確答案】B
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值.
【詳解】，
由于，則，
令,即，解得，,即，解得，
因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
故，
故選：B
8. 已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，焦距為若雙曲線右支上存在點，使得，且，則雙曲線的離心率（ ）.
A. B. C. D.
【正確答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及三角形的面公式可以得到為直角三角形，進而由勾股定理可以求解.
【詳解】由雙曲線的定義可知得
因，，
設(shè)，則，
，
，
為直角三角形
，
，即，
，
故選：D
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）.
9. 已知為橢圓上一點，分別為橢圓的上焦點和下焦點，若構(gòu)成直角三角形，則點坐標(biāo)可能是（ ）.
A. B.
C. D.
【正確答案】AD
【分析】根據(jù)給定條件，按直角頂點為點和焦點分類求出點坐標(biāo).
【詳解】橢圓的焦點，設(shè)，
由為直角三角形，則直角可能為
若為直角，則，由，得；
若為直角，則，由，得；
若為直角，則在圓上，
由，解得，
所以點坐標(biāo)可能是AD.
故選：AD
10. 已知數(shù)列的前項和為，下列命題正確的有（ ）.
A. 若為等差數(shù)列，則一定是等差數(shù)列
B. 若為等比數(shù)列，則一定是等比數(shù)列
C. 若，則一定是等比數(shù)列
D. 若，則一定是等比數(shù)列
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和性質(zhì)即可求解A，舉反例即可求解BD，根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解C.
【詳解】對于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
則，
同理可得，
所以，所以，，仍為等差數(shù)列，故A項正確；
對于B,取數(shù)列為，1，，1，，，，不能成等比數(shù)列，故B項不正確；
對于C，由可得時，，相減可得（），
由可得，因此對任意都成立，故是等比數(shù)列，C正確，
對于D，由可得，相減可得，若，不是等比數(shù)列，故D錯誤．
故選：AC．
11. 下列不等式恒成立的有（ ）.
A. 當(dāng)時，
B. 當(dāng)時，
C. （其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）
D. 當(dāng)時，
【正確答案】ABD
【分析】分別構(gòu)造，，，，即可利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性得解.
【詳解】對于A，令，則，故在單調(diào)遞增，故，故，A正確，
對于B，設(shè)，則當(dāng)時在1,+∞單調(diào)遞減，
當(dāng)時，在0,1單調(diào)遞增，故，故，B正確，
對于C，令, ，當(dāng)在0,+∞單調(diào)遞增，
當(dāng)在單調(diào)遞減，所以，故，故C錯誤，
對于D，令，則，
故在1,+∞單調(diào)遞增，故，故，D正確，
故選：ABD
12. 已知點，點在曲線上運動，點在圓上運動，則的值可能是（ ）.
A. 1B. 3C. 4D. 5
【正確答案】CD
【分析】根據(jù)拋物線的定義及圓的性質(zhì)求出的最小值即可.
【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線，圓的圓心為，半徑為1，
過點作于，設(shè)點，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線，點位于之間時等號成立，
，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為4，AB不可能，CD可能.
故選：CD
關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笫阶颖硎緸殛P(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，從而配湊出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.
三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 已知為橢圓上一點，，分別為上動點，則的最大值為_________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義及圓的性質(zhì)求解即得.
【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
由在橢圓上，得，解得，，
則橢圓的焦點，，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)分別為線段的延長線與圓的交點，
所以的最大值為.
故
14. 已知在處取得極小值，則實數(shù)的值為_________．
【正確答案】1
【分析】根據(jù)給定條件，求出導(dǎo)數(shù)進而求出值，再驗證即可.
【詳解】由，求導(dǎo)得，由在處取得極小值，
得，解得，此時，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，
因此是函數(shù)的極小值點，所以.
故1
15. 已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為____________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)的關(guān)系即可作差求解.
【詳解】由可得，
兩式相減可得，
當(dāng)時，，
故，
故
16. 已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則_______．
【正確答案】
【分析】設(shè)出方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得，橫坐標(biāo)的積，結(jié)合已知向量等式求解，的坐標(biāo)，即可由面積公式求解.
【詳解】由題意可知直線有斜率且不為0,設(shè)所在直線方程為，
聯(lián)立，得．
不妨設(shè)在第一象限，,，,，
則，
又，，即，
聯(lián)立，解得或（舍，
則，即，進而可得
所以
解得，
故

四、解答題（本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 已知拋物線上一點到其焦點F的距離為2.
（1）求拋物線方程；
（2）直線與拋物線相交于兩點，求的長.
【正確答案】（1）
（2）
分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式即可得解；
（2）聯(lián)立方程組求出交點坐標(biāo)，即可得到弦長.
【小問1詳解】
由題：拋物線上一點到其焦點F的距離為2，
即，
所以拋物線方程：
【小問2詳解】
聯(lián)立直線和得，解得，
，
18. 已知數(shù)列的前項和為，且_________.
在①；②成等比數(shù)列；③三個條件中任選一個補充在橫線上，并解答下面問題：
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列的前項和，求證.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析
【分析】（1）先根據(jù)推出數(shù)列為等差數(shù)列，公差．若選①，根據(jù)等差中項求出，再求出，根據(jù)和可得通項公式；若選②，根據(jù)等比中項列式求出，可得；若選③，根據(jù)等差數(shù)列求和公式列式求出，可得；
（2）利用裂項相消法求和得，即可求證.
【小問1詳解】
由，得，得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差．
若選①，因為，所以，得，
所以，，
所以，
若選②，因為成等比數(shù)列，所以，
所以，所以，
所以，所以．
若選③，因為，所以，
所以，
【小問2詳解】
，
所以，
又因為，所以．
19. 已知函數(shù)
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍.
【正確答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得.
（2）求出導(dǎo)數(shù)，由在上恒成立求解即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，求導(dǎo)得，
由，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.
【小問2詳解】
由函數(shù)，求導(dǎo)得，
由在上單調(diào)遞減，得，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，，于是，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
20. 已知分別為雙曲線的左，右焦點，過雙曲線左頂點的直線與圓相切.
（1）求直線的方程；
（2）若直線與雙曲線交于另一點求的面積.
【正確答案】（1）或
（2）
【分析】（1）已知過A?2,0，討論直線斜率是否存在，斜率不存在時不符合題意，斜率存在時設(shè)直線的點斜式方程，由直線和圓相切得到圓心到直線的距離為半徑，解出的值即可得到直線方程；
（2）若直線與雙曲線有兩個交點，則直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得到點的縱坐標(biāo)，由得到三角形的面積.
【小問1詳解】
由知左頂點A?2,0，
當(dāng)直線斜率不存在時與圓不想切不符合題意；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)即，
由與圓相切得，解得或，
所以直線的方程為或.
【小問2詳解】
由知，所以漸近線斜率為，
若直線的斜率為，則與雙曲線只有點一個交點，不符合題意，舍去；
若直線的方程為，與雙曲線有兩個交點，
聯(lián)立消去并整理得，解得或，
因為，所以，
又因為，所以.
21. 已知正項數(shù)列滿足，且
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若的前項和為，求.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）對已知等式分解因式化簡可得，則數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式；
（2）由（1）得，然后利用錯位相減法可求出.
【小問1詳解】
由，得，
因為，所以，即，
因為，
所以數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列，
所以；
【小問2詳解】
由（1）得，
所以，
所以，
所以
，
所以.
22. 已知橢圓的離心率為，橢圓的左，右焦點與短軸兩個端點構(gòu)成的四邊形面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，過點作軸的垂線交橢圓交于另一點，求面積的最大值.
【正確答案】（1）；
（2）
【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合離心率及四邊形面積列式求出，即可求出橢圓的方程.
（2）聯(lián)立直線l與橢圓的方程得到，再利用切割法得到，化簡得到，進而利用基本不等式求得面積的最大值.
【小問1詳解】
設(shè)橢圓焦距為，則，即，則，，
由的左，右焦點與短軸的兩個端點構(gòu)成的四邊形的面積為，得，
即，解得，
所以橢圓的方程為.
【小問2詳解】
顯然，設(shè)，則，
由消去得，，
則，
又，而與同號，
因此
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以面積的最大值為.
思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

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