吉林省四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月期初考試數(shù)學(xué)試題（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷共6頁．考試結(jié)束后，將答題卡交回．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)．
2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆．
3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙?試卷上答題無效．
4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑．
5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破?弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液?修正帶?刮紙刀．
一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)0.3，0.33，0.333，0.3333，…與9，99，999，9999，…的關(guān)系，結(jié)合9，99，999，9999，…的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】數(shù)列9，99，999，9999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是，則數(shù)列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是，則數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是．
故選：C．
2. 已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二項(xiàng)分布期望公式求出，再由方差公式可計(jì)算出答案．
【詳解】由于離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，所以，，
因此，，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布期望與方差公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用二項(xiàng)分布的期望和方差公式是解本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解和掌握情況，屬于中等題．
3. 已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是（）
A. 1B. C. 2或1D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分別求得直線在坐標(biāo)軸上的截距，列出方程，即可求解.
【詳解】由直線，顯然，
當(dāng)時(shí)，可得，即直線在軸上的截距為；
當(dāng)時(shí)，可得，即直線在軸上的截距為；
因?yàn)橹本€在x軸和y軸上的截距相等，可得，
即，解得或.
故選：C.
4. 將一塊模板放置在空間直角坐標(biāo)系中，其位置及坐標(biāo)如圖所示，則點(diǎn)A到直線BC的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，，，
所以點(diǎn)A到直線BC的距離.
故選：A
5. 已知雙曲線的漸近線過點(diǎn)，則（）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】寫出雙曲線的漸近線方程，把點(diǎn)代入，即可求出的值.
【詳解】由雙曲線，可得漸近線為：，
把點(diǎn)代入漸近線方程：，得，解得.
故選：D.
6. 已知圓，圓，、分別是圓、上動(dòng)點(diǎn)，是軸上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩圓及的位置關(guān)系，將的最大轉(zhuǎn)化為求最大，再應(yīng)用將軍飲馬模型作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，利用三角形的三邊關(guān)系確定的最大值，進(jìn)而求的最大值.
【詳解】要使的最大，需盡可能大，盡可能小，
∴連接、，讓兩直線與兩圓的交點(diǎn)，離盡可能遠(yuǎn)，離盡可能近，如下圖示：

在△中最大即可，令，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
∴最大，故共線時(shí)的最大值為，
∴的最大值為.
故選：D
7. 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可得展開式各項(xiàng)的表達(dá)式，令可求得的取值，代入表達(dá)式即可求得所求系數(shù).
【詳解】由二項(xiàng)式定理可知：展開式各項(xiàng)的表達(dá)式為：，
其中，，；
令得：，或，
含的項(xiàng)的系數(shù)為.
故選：D.
8. 某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（）
A. 27B. 24C. 32D. 28
【答案】A
【解析】
【分析】先求得每一輪訓(xùn)練過關(guān)的概率，利用二項(xiàng)分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】設(shè)每一輪訓(xùn)練過關(guān)的概率為，
則
，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，
所以，
依題意，，則，
，所以至少需要輪.
故選：A
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)事件結(jié)合的問題，要注意區(qū)別兩者的不同，相互獨(dú)立事件的概率可以不相同，獨(dú)立重復(fù)事件概率是相同的.求最值的方法可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，也可以考慮基本不等式，利用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列結(jié)論正確有（）
A. 若隨機(jī)變量滿足，則
B. 若隨機(jī)變量，且；則
C. 根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05
D. 若樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)，則用最小二乘估計(jì)得到的經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過該組數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于A，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷即可；對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性判斷即可；對(duì)于C，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)判斷即可；對(duì)于D，根據(jù)回歸直線的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由方差的性質(zhì)可知，若隨機(jī)變量滿足量滿足，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)正態(tài)分布的圖象對(duì)稱性可得，故B正確；
對(duì)于C，由可知判斷與有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，故C正確；
對(duì)于D，根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)可知D正確.
故選：BCD.
10. 設(shè)，則下列說法正確的是（）
A. B.
C. D. 展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第5項(xiàng)
【答案】AC
【解析】
【分析】利用賦值法判斷A、B；寫出展開式的通項(xiàng)，即可求出、，進(jìn)而判斷C；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷D.
【詳解】因?yàn)?，令得，故A正確；
令得，所以，故B錯(cuò)誤；
二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，
所以，，所以，故C正確；
因?yàn)槎?xiàng)式展開式共項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第6項(xiàng)，為，故D錯(cuò)誤；
故選：AC.
11. 已知橢圓的焦點(diǎn)分別為，，焦距為2c，過的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).，，若的周長為20，則經(jīng)過點(diǎn)的直線（）
A. 與橢圓C可能相交B. 與橢圓C可能相切
C. 與橢圓C可能相離D. 與橢圓C不可能相切
【答案】AB
【解析】
【分析】利用給定條件，結(jié)合橢圓定義求出橢圓方程，再判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系作答.
【詳解】由橢圓的定義知，，設(shè)，則，
則，，而，即有，解得，
又的周長為20，則有，解得，，
因?yàn)椋?，解得，則，
橢圓C的方程為，顯然，即點(diǎn)在橢圓上，
所以經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓C相交或相切.
故選：AB
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知數(shù)列中，，，則_________.
【答案】##
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即得．
【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差，又，
所以．
故答案為：．
13. 已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標(biāo)為_________.
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)兩邊平方后得到，代入投影向量的公式進(jìn)行求解即可.
詳解】兩邊平方化簡得：，①
因?yàn)?，所以?br>又，代入①得：，解得：，
所以在上的投影向量坐標(biāo)為
.
故答案為：
14. 有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.
【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，
設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，
故，故，
故，
若，則，則為：，故有2種，
若，則，則：，
，故有10種，
當(dāng)，則，則為：
，
，
故有16種，
當(dāng)，則，同理有16種，
當(dāng)，則，同理有10種，
當(dāng)，則，同理有2種，
共與的差的絕對(duì)值不超過時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，
故所求概率為.
故答案為：
四?解答題：本大題共5小題，共7分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15. 已知直線與直線.
（1）當(dāng)時(shí)，求的值．
（2）當(dāng)時(shí)，求與之間的距離．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由兩直線垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解之即可；
（2）由兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式可求得與之間的距離．
【小問1詳解】
解：由，則，解得.
【小問2詳解】
解：由可得，解得，
直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
因此，與之間的距離為.
16. 某城市為了加快“兩型社會(huì)”（資源節(jié)約型，環(huán)境友好型）的建設(shè)，本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多，自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）.設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).
（1）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列.
【答案】（1）
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）結(jié)合相互獨(dú)立事件概率和互斥事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求的概率.
（2）求出隨機(jī)變量取值，并計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可.
【小問1詳解】
由題意得，甲、乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為，，
租車費(fèi)相同，即兩人都在同一時(shí)間段還車，
標(biāo)記甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同為事件A，
則，
所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率為；
【小問2詳解】
由題可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且
；
；
；
；
.
所以甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和X的分布列為
17. 已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).

（1）求證平面；
（2）求平面與平面的夾角余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，通過證明可得平面.
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求兩平面夾角的余弦值.
（3）利用空間向量可計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.
【小問1詳解】

如圖，取中點(diǎn)，連接，由是的中點(diǎn)得，且，
由是的中點(diǎn)得，且，
∴，即四邊形是平行四邊形，故，
∵平面，平面，∴平面.
【小問2詳解】
如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，
∴，，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，得，故，
設(shè)平面的法向量為，則，
令，得，故，
∴，故平面與平面的夾角余弦值為.
【小問3詳解】
由（2）得，，
∴點(diǎn)到平面的距離為.
18. 隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，年的考研人數(shù)是萬人，年考研人數(shù)是萬人.某省統(tǒng)計(jì)了該省其中四所大學(xué)年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：
（1）已知與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；
（2）假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放萬元的補(bǔ)貼.
（i）若該省大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)為千人，估計(jì)該省要發(fā)放多少萬元的補(bǔ)貼？
（ii）若A大學(xué)的畢業(yè)生中小江、小沈選擇考研的概率分別為p、2p－1，該省對(duì)小江、小沈兩人的考研補(bǔ)貼總金額的期望不超過萬元，求p的取值范圍.
參考公式：，.
【答案】（1）
（2）（i）5028萬元（ii）
【解析】
【分析】（1）利用題中的數(shù)據(jù)代入?yún)⒖脊?，即求出線性回歸方程；
（2）（i）直接將將x=120代入（1）中所求的線性回歸方程計(jì)算即可；
（ii）先求出小江、小沈兩人中考研人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再求出考研補(bǔ)貼的總期望，根據(jù)題意列出不等式組求解p的范圍.
【小問1詳解】
由題意得，，
又，

，
，
，
所以，
故得y關(guān)于x的線性回歸方程為；
【小問2詳解】
（i）將x=120代入，
估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總金額為（萬元）；
（ii）設(shè)小江、小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為、、，
，
，
，
，
，可得，
又因?yàn)椋傻茫?br>故.
19. 已知橢圓，定義橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為.
（1）求橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程;
（2）如果橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為，對(duì)于橢圓上的任意點(diǎn)及它的“伴隨點(diǎn)”，求的取值范圍;
（3）當(dāng)時(shí)，直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的“伴隨點(diǎn)”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上求解即可；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合（1）得，進(jìn)而得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)求解即可；
（3）設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)得，再聯(lián)立橢圓和直線的方程并結(jié)合韋達(dá)定理得，最后求弦長|AB|與點(diǎn)到直線的距離并求面積即可.
【小問1詳解】
設(shè).所以，根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義，有，則
又因?yàn)椋?br>所以，即
所以，橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程為
【小問2詳解】
由（1）知，橢圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”的軌跡方程為，
因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”為，
所以，根據(jù)“伴隨點(diǎn)”的定義與（1）中結(jié)論，有，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
所以，，且，
所以
因?yàn)椋浴?br>所以的取值范圍是
【小問3詳解】
由題意，得橢圓的方程為.
設(shè)，則
聯(lián)立橢圓和直線的方程，得
所以
由題意，得，所以.①
因?yàn)镻Q為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
所以，即，
所以.②
將①代入②，化簡，得.
所以，
所以
.
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以.
X
0
2
4
6
8
P
A大學(xué)
B大學(xué)
C大學(xué)
D大學(xué)
年畢業(yè)人數(shù)（千人）
年考研人數(shù)（千人）

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