高一 數(shù)學(xué)試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，那么陰影部分表示的集合為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)韋恩圖知陰影部分為，結(jié)合集合交集、補(bǔ)集的運(yùn)算求集合即可.
【詳解】由題圖，陰影部分為，而或，且，
所以.
故選：A
2. 命題的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由含有全稱量詞命題否定可得答案.
【詳解】由題，命題的否定是.
故選：A
3. 已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為8，則當(dāng)該扇形的面積取得最大值時(shí)，圓心角大小為（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)扇形面積公式及其基本不等式求出扇形面積取得最大值時(shí)的扇形半徑和弧長(zhǎng)，利用弧度數(shù)公式即可求出圓心角.
【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，由已知得，
扇形面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，則圓心角，
故選：D.
4. 若，，，則、、的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，函數(shù)在上為增函數(shù)，
則，即，
因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
因此，.
故選：B.
5. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件列出不等式組，解出即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，解得或，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故選：A.
6. 已知 ，則 的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由基本不等式的配湊法求解即可.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以最大值為.
故選：A
7. 在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，則第三次所取的區(qū)間可能是( )
A. [1,4]B. [－2,1]
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】∵第一次所取的區(qū)間是[－2,4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的區(qū)間可能為.
8. 已知函數(shù)，下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D. 函數(shù)在上單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)解析式，研究函數(shù)的周期、對(duì)稱軸對(duì)稱中心和單調(diào)區(qū)間.
【詳解】函數(shù)，最小正周期，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，
則函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，
則函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
時(shí)，，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式性質(zhì)判斷可得A正確，C正確，取特殊值可得B錯(cuò)誤，再由作差法計(jì)算可得D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，由可得，又，因此可得，即A正確；
對(duì)于B，若，此時(shí)，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，可得，所以，即C正確；
對(duì)于D，由可得，即，
同理，由可得，即，所以，即D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 下列化簡(jiǎn)，計(jì)算結(jié)果正確的時(shí)（ ）
A. 已知，則
B.
C. 若，，則
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用兩角和的正切公式判斷A，利用兩角差的余弦公式判斷B，利用兩角和的正弦公式判斷C，利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：若，則，A說(shuō)法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：
，B說(shuō)法正確；
選項(xiàng)C：若，，則，
所以，C說(shuō)法正確；
選項(xiàng)D：，D說(shuō)法正確；
故選：BCD
11. 已知定義在上的函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：（1）；（2），當(dāng)時(shí)，都有；（3）.則下列選項(xiàng)成立的是（ ）
A. B. 若，則
C. 若，則D. ，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，逐項(xiàng)判斷可確定答案.
【詳解】由（1）得，為偶函數(shù)，由（2）得，在上為增函數(shù)，
∴在上為減函數(shù).
A.∵，在上為增函數(shù)，∴，A錯(cuò)誤.
B.由為偶函數(shù)得，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，
由得同號(hào)，故，B正確.
C.由得，解得，故，C錯(cuò)誤.
D.由的圖象連續(xù)不斷，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，可得，
∴，存在，滿足，D正確.
故選：BD.
三．填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】結(jié)合指數(shù)冪、對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：1.
13. 已知函數(shù)滿足，則函數(shù)______．
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造關(guān)于的方程組后可解得.
【詳解】由題知用代換得到，，
與兩式聯(lián)立，消去，
解得．
故答案為：.
14. 函數(shù) (a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)點(diǎn)定，若角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得出定點(diǎn)，由任意角三角函數(shù)的定義得出三角函數(shù)值，結(jié)合誘導(dǎo)公式代入求值即可．
【詳解】，且
故答案為：
四．解答題：本題共5小題，共77分.
15. 已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合?br>（1）當(dāng)時(shí)，求，；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)并集，補(bǔ)集的定義即可求解；
（2）由題意可得，然后根據(jù)子集的定義即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
由，解得，即，
當(dāng)時(shí)，，
則，.
【小問(wèn)2詳解】
由，得，
又，
則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16. 已知且，命題甲：已知是上的增函數(shù)，命題乙：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，若甲、乙兩個(gè)命題有且僅有一個(gè)為真，求a的取值范圍.
【答案】或
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)為增函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分別確定的取值范圍，再根據(jù)有且僅有一個(gè)為真，分情況討論即可.
【詳解】若甲說(shuō)的正確，則由函數(shù)為增函數(shù)可得，解得，
若乙說(shuō)的正確，則需要，解得，
所以當(dāng)甲正確乙錯(cuò)誤時(shí)，則，解得，
當(dāng)甲錯(cuò)誤乙正確時(shí)，則，解得，
綜上，的取值范圍是或.
17. 已知，且．
（1）求，的值；
（2）求的值；
（3）已知，且，求的值．
【答案】（1）
（2）;
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用同角平方公式及象限角確定符號(hào)來(lái)求值；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求值；
（3）利用變單角為雙角差，再用兩角差余弦公式求值即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，所以?br>即；
【小問(wèn)2詳解】
由；
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?，所以?br>又因?yàn)?，所以?br>則.
18. 已知關(guān)于的不等式的解集為或.
（1）求，的值；
（2）當(dāng)，，且滿足時(shí)，有恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系，由韋達(dá)定理即可求解.
（2）利用不等式的乘“1”法求解最值，即可由一元二次不等式求解.
【小問(wèn)1詳解】
不等式的解集為或
和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根且
，解得
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，于是有，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
依題意有，即，
得，解得，
的取值范圍為
19. 已知，其圖像一個(gè)對(duì)稱軸為，
（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)上有個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）若在上最小值為，求使不等式成立的的取值集合.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用二倍角公式、降冪公式、輔助角公式化函數(shù)解析式為：，再根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸確定的值，將看做整體，即可求解函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將看做整體，結(jié)合已知條件即可確定的取值范圍；
（3）將看做整體，結(jié)合函數(shù)最小值，確定，即可求解不等式的解集.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)已知有：，
因?yàn)閳D像一個(gè)對(duì)稱軸為，所以，
解得，又因?yàn)?，所以?br>所以；
由，
解得：，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)楹瘮?shù)上有個(gè)不同零點(diǎn)，
令，即，
根據(jù)題意有：，即，解得，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，解得，
所以，
，即，所以，
所以，解得，
所以使成立的的取值集合為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
本題關(guān)鍵在于將看成整體，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，值域解析本題.

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